Простые соты - Simplectic honeycomb

${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$
Треугольная черепица	Тетраэдрально-восьмигранные соты
С красными и желтыми равносторонними треугольниками	С голубым и желтым тетраэдры, и красные выпрямленные тетраэдры (октаэдры )

В геометрия, то простые соты (или же n-симплексные соты) - бесконечный размерный ряд соты, на основе ${ displaystyle { tilde {A}} _ {n}}$ аффинный Группа Кокстера симметрия. Дается Символ Шлефли {3^{[n + 1]}} и представлен Диаграмма Кокстера-Дынкина как циклический граф п + 1 узлы с одним узлом в кольце. Он состоит из n-симплекс грани, вместе со всеми исправленный n-симплексы. Его можно рассматривать как n-мерное гиперкубические соты который был разделен по всем гиперплоскостям ${ Displaystyle х + Y + ... в mathbb {Z}}$ , затем растягивается по своей главной диагонали до тех пор, пока симплексы на концах гиперкубов не станут правильными. В вершина фигуры из n-симплексные соты является расширенный н-симплекс.

В двух измерениях соты представляют собой треугольная черепица, с графом Кокстера заполнение плоскости треугольниками попеременно окрашенных. В трех измерениях он представляет собой четырехгранно-октаэдрические соты, с графом Кокстера заполняя пространство попеременно тетраэдрическими и октаэдрическими ячейками. В четырех измерениях он называется 5-ячеечные соты, с графом Кокстера , с 5-элементный и выпрямленный 5-элементный грани. В пяти измерениях это называется 5-симплексные соты, с графом Кокстера , заполняя пространство 5-симплекс, выпрямленный 5-симплексный, и двуатомный 5-симплексный грани. В шести измерениях это называется 6-симплексные соты, с графом Кокстера , заполняя пространство 6-симплекс, выпрямленный 6-симплексный, и двунаправленный 6-симплексный грани.

По размеру

п	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2+}}$	Мозаика	Фигура вершины	Фасетов на фигуру вершины	Число вершин на вершину фигуры	Край фигура
1	${ displaystyle { tilde {A}} _ {1}}$	Апейрогон		1	2	-
2	${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	Треугольная черепица 2-симплексные соты	Шестиугольник (Усеченный треугольник)	3+3 треугольники	6	Отрезок
3	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	Тетраэдрально-восьмигранные соты 3-х симплексные соты	Кубооктаэдр (Кантеллированный тетраэдр)	4+4 тетраэдр 6 выпрямленные тетраэдры	12	Прямоугольник
4	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$	4-х симплексные соты	Ранцинированный 5-клеточный	5+5 5 ячеек 10+10 выпрямленный 5-элементный	20	Треугольная антипризма
5	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$	5-симплексные соты	Стерилизованный 5-симплексный	6+6 5-симплекс 15+15 выпрямленный 5-симплексный 20 двуатомный 5-симплекс	30	Тетраэдрическая антипризма
6	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$	6-симплексные соты	Пятисторонний 6-симплексный	7+7 6-симплекс 21+21 выпрямленный 6-симплексный 35+35 двунаправленный 6-симплексный	42	4-симплексная антипризма
7	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$	7-симплексные соты	Hexicated 7-симплекс	8+8 7-симплекс 28+28 выпрямленный 7-симплексный 56+56 двуатомный 7-симплексный 70 триректифицированный 7-симплексный	56	5-симплексная антипризма
8	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$	8-симплексные соты	Семеричный 8-симплексный	9+9 8-симплекс 36+36 выпрямленный 8-симплексный 84+84 двуатомный 8-симплексный 126+126 триректифицированный 8-симплексный	72	6-симплексная антипризма
9	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$	9-симплексные соты	Октеллированный 9-симплексный	10+10 9-симплекс 45+45 выпрямленный 9-симплексный 120+120 двунаправленный 9-симплексный 210+210 триректифицированный 9-симплексный 252 квадриректифицированный 9-симплексный	90	7-симплексная антипризма
10	${ displaystyle { tilde {A}} _ {10}}$	10-симплексные соты	Ennecated 10-симплекс	11+11 10-симплекс 55+55 выпрямленный 10-симплексный 165+165 двунаправленный 10-симплексный 330+330 триректифицированный 10-симплексный 462+462 квадриректифицированный 10-симплексный	110	8-симплексная антипризма
11	${ displaystyle { tilde {A}} _ {11}}$	11-симплексные соты	...	...	...	...

Проекция складыванием

(2n-1) -симплексные соты и 2n-симплексные соты можно проецировать в n-мерную гиперкубические соты по геометрическая складка операция, которая отображает две пары зеркал друг в друга, разделяя одни и те же расположение вершин:

${ displaystyle { tilde {A}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {4}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {6}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {8}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {10}}$	...
${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {5}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {7}}$	${ displaystyle { tilde {A}} _ {9}}$	...
${ displaystyle { tilde {C}} _ {1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {2}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {3}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {4}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {5}}$	...

Целующий номер

Эти соты, рассматриваемые как касательные n-сфер, расположенные в центре каждой вершины сот, имеют фиксированное количество контактирующих сфер и соответствуют количеству вершин в вершина фигуры. Для двух и трех измерений это самый высокий номер поцелуя для 2-х и 3-х измерений, но не хватает для более высоких измерений. В 2-х измерениях треугольная мозаика определяет упаковку кругов из 6 касательных сфер, расположенных в правильный шестиугольник, а для 3-х измерений есть 12 касательных сфер, расположенных в кубоктаэдр конфигурация. Для измерений от 4 до 8 числа поцелуев 20, 30, 42, 56, и 72 сфер, а наилучшие решения - 24, 40, 72, 126 и 240 сфер соответственно.

Смотрите также

Рекомендации

Георгий Ольшевский, Однородные паноплоидные тетракомбы, Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб)
Бранко Грюнбаум, Равномерные мозаики трехмерного пространства. Геомбинаторика 4(1994), 49 - 56.
Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись (1991)
Кокстер, H.S.M. Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
Калейдоскопы: избранные произведения Х. С. М. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайса, публикации Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) Х.С.М. Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
- (Документ 24) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

v т е Фундаментальный выпуклый обычный и однородные соты в размерах 2-9
Космос	Семья	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Равномерная черепица	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Шестиугольный
E³	Равномерно выпуклые соты	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Равномерные 4-соты	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24-ячеечные соты
E⁵	Равномерные 5-соты	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Равномерные 6-соты	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Равномерные 7-соты	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Равномерные 8-соты	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Равномерные 9-соты	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^п-1	Униформа (п-1)-соты	{3^[n]}	δ_п	hδ_п	qδ_п	1_k2 • 2_k1 • k₂₁