Исключительный объект - Exceptional object

В Платоновы тела, показано здесь на иллюстрации из Иоганн Кеплер с Mysterium Cosmographicum (1596), являются ранним примером исключительных объектов. Симметрии трехмерного пространства можно разделить на два бесконечных семейства: циклический и двугранный симметрии пдвусторонние многоугольники и пять исключительных типов симметрии, а именно группы симметрии Платоновых тел.

Многие отрасли математика изучать объекты данного типа и доказывать классификационная теорема. Общей темой является то, что в результате классификации получается ряд серий объектов и конечное число исключений - часто с желательными свойствами - которые не вписываются ни в одну серию. Они известны как исключительные объекты. Во многих случаях эти исключительные объекты играют дополнительную и важную роль в субъекте. Более того, исключительные объекты в одной области математики часто соотносятся с исключительными объектами в других.^[1][2][3][4]

Связанное с этим явление исключительный изоморфизм, когда две серии в целом разные, но совпадают для некоторых небольших значений. Например, спиновые группы в малых размерах изоморфный другим классические группы Ли.^[5]

Правильные многогранники

Прототипные примеры исключительных объектов возникают при классификации правильные многогранники: в двух измерениях есть серия обычный п-угольники за п ≥ 3. В каждом измерении выше 2 можно найти аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. В трех измерениях можно найти еще два правильных многогранника - додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник) - получается пять Платоновы тела. В четырех измерениях всего шесть правильные многогранники существуют, в том числе 120 ячеек, то 600 ячеек и 24-элементный. Других правильных многогранников нет, так как единственные правильные многогранники в более высоких измерениях имеют гиперкуб, симплекс, ортоплекс серии. Таким образом, во всех измерениях, вместе взятых, есть три серии и пять исключительных многогранников.^[6]

Более того, картина аналогична, если включены невыпуклые многогранники: в двух измерениях существует правильный многоугольник для каждого Рациональное число ${displaystyle extstyle p / q> 2}$.^[7] В трех измерениях есть четыре Многогранники Кеплера – Пуансо, а в четырех измерениях десять Полихора Шлефли – Гесса; в более высоких измерениях нет невыпуклых правильных фигур.

Их можно обобщить на мозаика других пространств, особенно однородная мозаика, а именно мозаики евклидова пространства (соты ), у которых есть исключительные объекты, и мозаики гиперболического пространства. Существуют различные исключительные объекты в размерности ниже 6, но в размерности 6 и выше единственными правильными многогранниками / мозаиками / гиперболическими мозаиками являются симплекс, гиперкуб, кросс-многогранник и решетка гиперкуба.

Треугольники Шварца

(3 3 2)	(4 3 2)	(5 3 2)
(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Связанные с мозаиками и правильными многогранниками существуют исключительные Треугольники Шварца (треугольники, которые покрывают сферу, или, в более общем смысле, евклидову плоскость или гиперболическую плоскость через их группа треугольников отражений в их краях), особенно Треугольники Мебиуса. В сфере есть 3 треугольника Мёбиуса (и 1 однопараметрическое семейство), соответствующие 3 исключительным платоновым твердым группам, в то время как на евклидовой плоскости есть 3 треугольника Мёбиуса, соответствующие 3 особым треугольникам: 60-60- 60 (равносторонний ), 45-45-90 (равнобедренный вправо), и 30-60-90. Есть дополнительные исключительные треугольники Шварца на сфере и евклидовой плоскости. Напротив, на гиперболической плоскости существует 3-параметрическое семейство треугольников Мёбиуса, и ни одного исключительного.

Конечные простые группы

Отношения между отдельными группами, большинство из которых связаны с монстром.

Конечные простые группы были классифицированный в ряд серий, а также 26 спорадические группы.^[8] Из них 20 являются подгруппами или частями группа монстров, именуемых «Счастливая семья», а 6 - нет и именуются «парии ".

Некоторые из спорадических групп связаны с Решетка пиявки, в первую очередь Conway group Co₁, которая представляет собой группу автоморфизмов решетки Лича, выделенную по ее центру.

Алгебры с делением

Есть только три конечномерных ассоциативных алгебры с делением над реалами - действительные числа, то сложные числа и кватернионы. Единственная неассоциативная алгебра с делением - это алгебра октонионы. Октонионы связаны с множеством исключительных объектов. Например, исключительное формально реальное Йорданова алгебра это Алгебра Альберта самосопряженных матриц размером 3 на 3 над октонионами.

Простые группы Ли

В простые группы Ли образуют ряд серий (классические группы Ли ) с метками A, B, C и D. Кроме того, существуют исключительные группы грамм₂ (группа автоморфизмов октонионов), F₄, E₆, E₇, E₈. Эти последние четыре группы можно рассматривать как группы симметрии проективных плоскостей над О, C⊗О, ЧАС⊗О и О⊗Осоответственно, где О - октонионы, а тензорные произведения - над вещественными числами.

Классификация групп Ли соответствует классификации корневые системы, и, таким образом, исключительные группы Ли соответствуют исключительным системам корней и исключительным Диаграммы Дынкина.

Суперсимметричные алгебры

Есть несколько исключительных объектов с суперсимметрия. Классификация супералгебры к Kac и Тьерри-Миг указывает, что Супералгебры Ли G (3) в 31 измерении и Ж (4) в 40 измерениях, а йордановы супералгебры K₃ и K₁₀, являются примерами исключительных объектов.^[9][10]

Унимодулярные решетки

До изометрии есть только одно четное унимодулярная решетка в 15 или менее измерениях - E₈ решетка. До размера 24, есть только одна четная унимодулярная решетка без корни, то Решетка пиявки. Три из спорадических простых групп были обнаружены Конвеем при исследовании группы автоморфизмов решетки Пиявки. Например, Co₁ - сама группа автоморфизмов по модулю ± 1. Группы Co₂ и Co₃, а также ряд других спорадических групп возникают как стабилизаторы различных подмножеств решетки Пиявки.

Коды

Немного коды также выделяются как исключительные объекты, в частности совершенный двоичный код Голея, который тесно связан с решеткой Пиявки. В Группа Матье ${displaystyle M_ {24}}$, одна из спорадических простых групп, является группой автоморфизмов расширенный двоичный код Голея, и еще четыре спорадических простых группы возникают как различные типы стабилизирующих подгрупп группы ${displaystyle M_ {24}}$.

Блочные конструкции

Исключительный блочная конструкция это Система Штейнера S (5,8,24), группа автоморфизмов которого является спорадически простой Группа Матье ${displaystyle M_ {24}}$.

Кодовые слова расширенный двоичный код Голея имеют длину 24 бита и веса 0, 8, 12, 16 или 24. Этот код может исправить до трех ошибок. Таким образом, каждое 24-битное слово с весом 5 может быть исправлено до кодового слова с весом 8. Биты 24-битного слова можно рассматривать как определяющие возможные подмножества набора из 24 элементов. Таким образом, расширенный двоичный код Голея дает уникальное подмножество из 8 элементов для каждого подмножества из 5 элементов. Фактически, он определяет S (5,8,24).

Внешние автоморфизмы

Определенные семьи групп часто имеют определенную группа внешних автоморфизмов, но в частных случаях у них есть другие исключительные внешние автоморфизмы.

Среди семейств конечных простых групп единственный пример - автоморфизмы симметрической и знакопеременной групп: за ${displaystyle ngeq 3, neq 6}$ то переменная группа ${displaystyle A_ {n}}$ имеет один внешний автоморфизм (соответствующий сопряжению нечетным элементом ${displaystyle S_ {n}}$) и симметричная группа ${displaystyle S_ {n}}$ не имеет внешних автоморфизмов. Однако для ${displaystyle n = 6,}$ существует исключительный внешний автоморфизм из ${displaystyle S_ {6}}$ (порядка 2) и, соответственно, группа внешних автоморфизмов ${displaystyle A_ {6}}$ не является ${displaystyle C_ {2}}$ (группа порядка 2), а скорее ${displaystyle C_ {2} imes C_ {2}}$, то Кляйн четыре группы.^[11][12][13]

Если вместо этого рассматривать ${displaystyle A_ {6}}$ как (изоморфный) проективная специальная линейная группа ${displaystyle operatorname {PSL} (2,9)}$, то внешний автоморфизм не исключительный; таким образом, исключительность можно рассматривать как следствие исключительный изоморфизм ${displaystyle A_ {6} cong operatorname {PSL} (2,9).}$ Этот исключительный внешний автоморфизм реализуется внутри группы Матье ${displaystyle M_ {12}}$ и аналогично, ${displaystyle M_ {12}}$ действует на набор из 12 элементов двумя разными способами.

Среди Группы Ли, то вращательная группа ${displaystyle operatorname {Spin} (8)}$ имеет исключительно большую группу внешних автоморфизмов (а именно ${displaystyle S_ {3}}$), что соответствует исключительной симметрии Диаграмма Дынкина ${displaystyle D_ {4}}$. Это явление обозначается как триальность.

Исключительная симметрия ${displaystyle D_ {4}}$ диаграмма также приводит к Группы Штейнберга.

Алгебраическая топология

В Инвариант Кервера является инвариантом a (4k + 2) -мерное многообразие, измеряющее, может ли многообразие быть хирургическим путем преобразован в сферу. Этот инвариант принимает значение 0, если многообразие можно преобразовать в сферу, и 1 в противном случае. В частности, инвариант Кервера применяется к рамный коллектор, т. е. на многообразие, снабженное встраивание в Евклидово пространство и тривиализация нормальный комплект. Проблема инварианта Кервера - это проблема определения, в каких размерностях инвариант Кервера может быть отличным от нуля. Для дифференцируемых многообразий это может происходить в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым.^[14][15] Эти пять или шесть рамок классы кобордизма многообразий, имеющих инвариант Кервера 1, являются исключительными объектами, связанными с экзотические сферы. Первые три случая связаны с комплексными числами, кватернионами и октонионами соответственно: многообразие с инвариантом Кервера 1 может быть построено как произведение двух сфер, причем его экзотическое оснащение определяется нормированной алгеброй с делением.^[16]

Из-за сходства размеров предполагается, что остальные случаи (размеры 30, 62 и 126) относятся к Проективные плоскости Розенфельда, которые определены над алгебрами, построенными из октонионов. В частности, было высказано предположение, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и дает многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже, но это остается неподтвержденным.^[17]

Симметричные квантовые измерения

В квантовая теория информации, существуют структуры, известные как SIC-POVMs или SIC, которые соответствуют максимальным наборам сложных равносторонние линии. Некоторые из известных SIC - в векторных пространствах 2 и 3 измерений, а также определенные решения в 8 измерениях - считаются исключительными объектами и называются «спорадическими SIC». Они отличаются от других известных SIC тем, что связаны с их группами симметрии: Теория Галуа числовых значений их векторных компонент и т. д.^[18] Спорадические SIC в размерности 8 связаны с целочисленными октонионами.^[19]

Подключения

Между некоторыми, хотя и не всеми, из этих исключительных объектов наблюдались многочисленные связи. Чаще всего встречаются предметы, относящиеся к 8 и 24 размеры, отмечая, что 24 = 8 · 3. Напротив, группы изгоев стоять отдельно, как следует из названия.

8 и 24 измерения

Исключительные объекты, относящиеся к числу 8, включают следующее.

• Октонионы 8-мерны.
• В E₈ решетка могут быть реализованы в виде интегральных октонионов (с точностью до масштабного коэффициента).
• Исключительные группы Ли можно рассматривать как симметрии октонионов и структур, производных от октонионов;^[20] далее E₈ алгебра связана с E₈ решетка, как следует из обозначений (решетка порождается корневой системой алгебры).
• Триальность имеет место для Spin (8), что также связано с 8 · 3 = 24.

Аналогичным образом, исключительные объекты, относящиеся к числу 24, включают следующее.

• Решетка пиявки 24-мерная.
• Большинство спорадических простых групп могут быть связаны с решеткой Пиявки или, в более широком смысле, с Монстром.
• Исключительный Йорданова алгебра имеет представление в виде вещественных матриц 24 × 24 вместе с правилом произведения Жордана.

Эти объекты связаны с различными другими явлениями в математике, которые можно считать удивительными, но сами по себе не «исключительными». Например, в алгебраическая топология, 8-кратное реальное Периодичность Ботта можно увидеть как исходящие от октонионов. В теории модульные формы, 24-мерный характер решетки Пиявки лежит в основе наличия 24 в формулах для Функция Дедекинда эта и модульный дискриминант, связь которого углубляется Чудовищный самогон, разработка, которая связала модульные функции с группой Monster.^[21]

Физика

В теория струн и в теории суперструн мы часто обнаруживаем, что отдельные измерения выделяются в результате исключительных алгебраических явлений. Например, теория бозонных струн требует пространства-времени размерности 26, что напрямую связано с присутствием 24 в Функция Дедекинда эта. Точно так же возможные размеры супергравитация связаны с размерами алгебры с делением.^[22]

Чудовищный самогон

Было обнаружено, что многие исключительные объекты математики и физики связаны друг с другом. Такие разработки, как Чудовищный самогон предположения показывают, как, например, Группа монстров связан с теория струн. Теория модульные формы показывает, как алгебра E₈ связан с группой монстров. (Фактически, задолго до доказательства гипотезы о чудовищном самогоне, эллиптический j-функция было обнаружено, что он кодирует представления E₈.^[3][23][24]) Другие интересные связи включают в себя то, как Решетка пиявки подключен через Код Голея к матрице смежности додекаэдр (еще один исключительный объект). Ниже приводится карта разума показывая, как связаны некоторые из исключительных объектов математики и математической физики.

Связи можно частично объяснить, если рассматривать алгебры как решетчатую башню. алгебры вершинных операторов. Так уж получилось, что вершинные алгебры внизу настолько просты, что изоморфны знакомым невершинным алгебрам. Таким образом, связи можно рассматривать просто как следствие того, что одни решетки являются подрешетками других.

Суперсимметрии

В Иорданские супералгебры представляют собой параллельный набор исключительных объектов с суперсимметрия. Эти Супералгебры Ли которые связаны с лоренцевыми решетками. Этот предмет менее изучен, и связи между объектами менее четко установлены. Есть новые гипотезы параллельно с Чудовищный самогон гипотезы об этих суперобъектах с участием различных спорадических групп.^{[нужна цитата ]}

Необычные объекты

Патологии

«Исключительный» объект зарезервирован для необычных, то есть редких, исключительных, а не для непредвиденный или же нестандартный объекты. Эти неожиданные, но типичные (или общие) явления обычно называют патологический, Такие как нигде не дифференцируемые функции, или "экзотика", как в экзотические сферы - существуют экзотические сферы сколь угодно высокой размерности (не только конечный набор исключений), а во многих измерениях большинство сфер (дифференциальные структуры на) являются экзотическими.

Экстремальные объекты

Исключительные объекты следует отличать от экстремальный объекты: те, которые входят в семью и в какой-то мере являются наиболее ярким примером, представляют интерес, но не являются необычными в том смысле, в каком являются исключительными объектами. Например, Золотое сечение φ имеет самый простой непрерывная дробь приближение, и соответственно труднее всего приблизительно по рациональному; однако это лишь одно из бесконечного множества таких квадратичных чисел (цепных дробей).

Аналогично (2,3,7) Треугольник Шварца - наименьший гиперболический треугольник Шварца, и связанный с ним (2,3,7) треугольная группа представляет особый интерес, будучи универсальным Группа Гурвиц, и, таким образом, ассоциируется с Кривые Гурвица, максимально симметричные алгебраические кривые. Однако он попадает в семейство таких треугольников ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7) и т. Д.), И хотя он самый маленький, он не является исключительным или непохожим на другие.

Смотрите также

• Исключительный изоморфизм
• Исключение, подтверждающее правило

Рекомендации