Полином Каждана – Люстига - Kazhdan–Lusztig polynomial

В математической области теория представлений, а Полином Каждана – Люстига ${displaystyle P_ {y, w} (q)}$ является членом семьи целочисленные полиномы представлен Давид Каждан и Джордж Люстиг  (1979 ). Они индексируются парами элементов у, ш из Группа Коксетера W, который, в частности, может быть Группа Вейля из Группа Ли.

Мотивация и история

Весной 1978 года Каждан и Люстиг учились Представления Springer группы Вейля алгебраической группы на ${displaystyle ell}$-адические группы когомологий, связанные с классами унипотентной сопряженности. Они нашли новую конструкцию этих представлений над комплексными числами (Каждан и Люстиг, 1980a ). Представление имело два естественных базиса, а матрица переходов между этими двумя базами по существу дается полиномами Каждана – Люстига. Сама конструкция их многочленов Кажданом – Люстигом более элементарна. Каждан и Люстиг использовали это, чтобы построить каноническая основа в Алгебра Гекке группы Кокстера и ее представлений.

В своей первой статье Каждан и Люстиг упомянули, что их многочлены связаны с отказом локальных Двойственность Пуанкаре за Разновидности Шуберта. В Каждан и Люстиг (1980b) они переосмыслили это с точки зрения когомологии пересечения из Марк Горески и Роберт Макферсон, и дал другое определение такого базиса в терминах размерностей некоторых групп когомологий пересечений.

Две базы для представительства Springer напомнили Каждану и Люстигу две базы для Группа Гротендик некоторых бесконечномерных представлений полупростых алгебр Ли, заданных формулой Модули Verma и простые модули. Эта аналогия и работа Йенс Карстен Янцен и Энтони Джозеф относящийся примитивные идеалы из обертывающие алгебры к представлениям групп Вейля, привел к гипотезе Каждана – Люстига.

Определение

Исправить группу Кокстера W с генераторной установкой S, и писать ${displaystyle ell (w)}$ на длину элемента ш (наименьшая длина выражения для ш как продукт элементов S). В Алгебра Гекке из W имеет основу из элементов ${displaystyle T_ {w}}$ за ${displaystyle win W}$ над кольцом ${displaystyle mathbb {Z} [q ^ {1/2}, q ^ {- 1/2}]}$, с умножением, определяемым

${displaystyle {egin {align} T_ {y} T_ {w} & = T_ {yw}, && {mbox {if}} ell (yw) = ell (y) + ell (w) (T_ {s} + 1) (T_ {s} -q) & = 0, && {mbox {if}} sin S.end {выровнено}}}$

Из второго квадратичного соотношения следует, что каждый генератор Т_s обратима в алгебре Гекке с обратным Т_s⁻¹ = q⁻¹Т_s + q⁻¹ − 1. Эти обратные удовлетворяют соотношению (Т_s⁻¹ + 1)(Т_s⁻¹ − q⁻¹) = 0 (полученный умножением квадратичного соотношения для Т_s к −T_s⁻²q⁻¹), а также плести отношения. Отсюда следует, что алгебра Гекке имеет автоморфизм D что посылает q^1/2 к q^−1/2 и каждый Т_s к Т_s⁻¹. В более общем смысле ${displaystyle D (T_ {w}) = T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}}$; также D можно рассматривать как инволюцию.

Полиномы Каждана – Люстига. п_yw(q) индексируются парой элементов у, ш из W, и однозначно определяется следующими свойствами.

• Они равны 0, если у ≤ ш (в Заказ Брюа из W), 1 если у = ш, и для у < ш их степень не выше (ℓ(ш) − ℓ(у) − 1)/2.
• Элементы

${displaystyle C '_ {w} = q ^ {- {frac {ell (w)} {2}}} sum _ {yleq w} P_ {y, w} T_ {y}}$

инвариантны относительно инволюции D алгебры Гекке. Элементы ${displaystyle C '_ {w}}$ составляют основу алгебры Гекке как Z[q^1/2, q^−1/2]-модуль, называемый базисом Каждана – Люстига.

Чтобы установить существование полиномов Каждана – Люстига, Каждан и Люстиг предложили простую рекурсивную процедуру вычисления полиномов п_yw(q) в терминах более элементарных многочленов, обозначенных р_yw(q). определяется

${displaystyle T_ {y ^ {- 1}} ^ {- 1} = sum _ {x} D (R_ {x, y}) q ^ {- ell (x)} T_ {x}.}$

Их можно вычислить с помощью рекурсивных соотношений

${displaystyle R_ {x, y} = {egin {case} 0, & {mbox {if}} xot leq y 1, & {mbox {if}} x = y R_ {sx, sy}, & {mbox {if}} sx x {mbox {and}} sy$

Тогда полиномы Каждана – Люстига можно вычислить рекурсивно, используя соотношение

${displaystyle q ^ {{frac {1} {2}} (ell (w) -ell (x))} D (P_ {x, w}) - q ^ {{frac {1} {2}} (ell (x) -ell (w))} P_ {x, w} = sum _ {x$

используя тот факт, что два члена слева являются полиномами от q^1/2 и q^−1/2 без постоянные условия. Эти формулы утомительно использовать вручную для ранга выше 3, но они хорошо адаптированы для компьютеров, и единственное ограничение на вычисление полиномов Каждана – Люстига с их помощью состоит в том, что для большого ранга количество таких полиномов превышает емкость памяти компьютеров. .

Примеры

• Если у ≤ ш тогда п_у,ш имеет постоянный член 1.
• Если у ≤ ш и ℓ(ш) − ℓ(у) ∈ {0, 1, 2} тогда п_у,ш = 1.
• Если ш = ш₀ это самый длинный элемент конечной группы Кокстера тогда п_у,ш = 1 для всех у.
• Если W это группа Кокстера А₁ или же А₂ (или вообще любая группа Кокстера ранга не выше 2), тогда п_у,ш равно 1, если у≤ш и 0 в противном случае.
• Если W это группа Кокстера А₃ с генераторной установкой S = {а, б, c} с а и c еду на работу тогда п_б,бакб = 1 + q и п_ac,acbca = 1 + q, приводя примеры непостоянных многочленов.
• Простые значения полиномов Каждана – Люстига для групп низкого ранга не типичны для групп более высокого ранга. Например, для расщепленной формы E₈ то сложнейший многочлен Люстига – Фогана (разновидность полиномов Каждана – Люстига: см. ниже)

${displaystyle {egin {выравниваться} 152q ^ {22} & + 3,472q ^ {21} + 38,791q ^ {20} + 293,021q ^ {19} + 1,370,892q ^ {18} + 4,067,059q ^ {17} +7,964,012 q ^ {16} & + 11,159,003q ^ {15} + 11,808,808q ^ {14} + 9,859,915q ^ {13} + 6,778,956q ^ {12} + 3,964,369q ^ {11} + 2,015,441q ^ {10} & + 906,567q ^ {9} + 363,611q ^ {8} + 129,820q ^ {7} + 41,239q ^ {6} + 11,426q ^ {5} + 2,677q ^ {4} + 492q ^ {3} + 61q ^ {2} + 3qend {выровнено}}}$

• Поло (1999) показал, что любой многочлен с постоянным членом 1 и целыми неотрицательными коэффициентами является многочленом Каждана – Люстига для некоторой пары элементов некоторой симметрической группы.

Гипотезы Каждана – Люстига

Полиномы Каждана – Люстига возникают как переходные коэффициенты между их каноническим базисом и естественным базисом алгебры Гекке. В Изобретения В статье также выдвинуты две эквивалентные гипотезы, известные теперь как гипотезы Каждана – Люстига, которые связывают значения их многочленов в 1 с представлениями комплексных полупростые группы Ли и Алгебры Ли, обращаясь к давней проблеме теории представлений.

Позволять W быть конечным Группа Вейля. Для каждого w ∈ W обозначим через M_ш быть Модуль Верма наивысшего веса −ш(ρ) − ρ где ρ - полусумма положительных корней (или Вектор Вейля ), и разреши L_ш его неприводимое частное, простой модуль наибольшего веса наивысшего веса −ш(ρ) − ρ. Обе M_ш и L_ш являются локально-конечными весовыми модулями над комплексной полупростой алгеброй Ли грамм с группой Вейля W, и поэтому допускаем алгебраический характер. Запишем ch (Икс) для персонажа грамм-модуль Икс. Гипотеза Каждана – Люстига гласит:

${displaystyle operatorname {ch} (L_ {w}) = sum _ {yleq w} (- 1) ^ {ell (w) -ell (y)} P_ {y, w} (1) operatorname {ch} (M_ {y})}$

${displaystyle operatorname {ch} (M_ {w}) = sum _ {yleq w} P_ {w_ {0} w, w_ {0} y} (1) operatorname {ch} (L_ {y})}$

куда ш₀ - элемент максимальной длины группы Вейля.

Эти гипотезы были доказаны над алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 независимо Александр Бейлинсон и Джозеф Бернштейн  (1981 ) и Жан-Люк Брылински и Масаки Кашивара  (1981 ). Методы, представленные в ходе доказательства, направляли развитие теории представлений на протяжении 1980-х и 1990-х годов под названием теория геометрических представлений.

Замечания

1. Как известно, эти две гипотезы эквивалентны. Более того, Принцип перевода Борхо – Янцена подразумевает, что ш(ρ) − ρ можно заменить на ш(λ + ρ) − ρ для любого доминирующего целого веса λ. Таким образом, гипотезы Каждана – Люстига описывают кратности Жордана – Гельдера модулей Верма в любом регулярном интегральном блоке Бернштейна – Гельфанда – Гельфанда. категория O.

2. Аналогичное толкование все коэффициентов полиномов Каждана – Люстига следует из Гипотеза Янцена, что примерно говорит о том, что отдельные коэффициенты п_{у, ш} кратности L_у в некотором подфакте модуля Верма, определяемом канонической фильтрацией, Янценская фильтрация. Гипотеза Янцена в регулярном интегральном случае была доказана в более поздней статье Бейлинсон и Бернштейн  (1993 ).

3. Дэвид Воган показал как следствие гипотез, что

${displaystyle P_ {y, w} (q) = sum _ {i} q ^ {i} dim (имя оператора {Ext} ^ {ell (w) -ell (y) -2i} (M_ {y}, L_ { w}))}$

и это Ext^j(M_у, L_ш) исчезает, если j + ℓ(ш) + ℓ(у) нечетно, поэтому размеры всех таких Внешние группы в категории О определяются через коэффициенты многочленов Каждана – Люстига. Этот результат показывает, что все коэффициенты многочленов Каждана – Люстига конечной группы Вейля являются целыми неотрицательными числами. Однако положительность для случая конечной группы Вейля W было уже известно из интерпретации коэффициентов полиномов Каждана – Люстига как размерностей групп когомологий пересечений, независимо от гипотез. Наоборот, связь между полиномами Каждана – Люстига и Ext-группами теоретически может быть использована для доказательства гипотез, хотя такой подход к их доказательству оказался более трудным для выполнения.

4. Некоторые частные случаи гипотез Каждана – Люстига легко проверяются. Например, M₁ - антидоминантный модуль Верма, который, как известно, является простым. Это означает, что M₁ = L₁, устанавливая вторую гипотезу для ш = 1, так как сумма сводится к одному члену. С другой стороны, первая гипотеза для ш = ш₀ следует из Формула характера Вейля и формула для характер модуля Верма, вместе с тем, что все многочлены Каждана – Люстига ${displaystyle P_ {y, w_ {0}}}$ равны 1.

5. Кашивара (1990) доказал обобщение гипотез Каждана – Люстига на симметризуемые Алгебры Каца – Муди.

Связь с когомологиями пересечений многообразий Шуберта

Посредством Разложение Брюа космос грамм/B алгебраической группы грамм с группой Вейля W является несвязным объединением аффинных пространств Икс_ш параметризованный элементами ш из W. Замыкания этих пространств Икс_ш называются Разновидности Шуберта, а Каждан и Люстиг, следуя предложению Делиня, показали, как выразить многочлены Каждана – Люстига через группы когомологий пересечений многообразий Шуберта.

Точнее, полином Каждана – Люстига п_у,ш(q) равно

${displaystyle P_ {y, w} (q) = sum _ {i} q ^ {i} dim IH_ {X_ {y}} ^ {2i} ({overline {X_ {w}}})}$

где каждый член справа означает: возьмем комплекс IC пучков, гипергомологии которых являются гомология пересечения из Сорт Шуберта из ш (закрытие ячейки Икс_ш), возьмем его когомологии степени 2я, а затем измерить размер ножки этого пучка в любой точке ячейки Икс_у замыкание которого является многообразием Шуберта у. Группы нечетномерных когомологий не входят в сумму, потому что все они равны нулю.

Это дало первое доказательство того, что все коэффициенты многочленов Каждана – Люстига для конечных групп Вейля являются целыми неотрицательными числами.

Обобщение на реальные группы

Полиномы Люстига – Фогана (также называемые многочленами Каждана – Люстига или Полиномы Каждана – Люстига – Вогана.) были введены в Люстиг и Фоган (1983). Они аналогичны многочленам Каждана – Люстига, но адаптированы к представлениям настоящий полупростые группы Ли и играют важную роль в предположительном описании их унитарные двойники. Их определение более сложное, отражающее относительную сложность представлений реальных групп по сравнению со сложными группами.

Различие в случаях, непосредственно связанных с теорией представлений, объясняется на уровне двойные классы; или иным образом действия на аналоги комплекса многообразия флагов грамм/B куда грамм комплексная группа Ли и B а Подгруппа Бореля. Исходный (K-L) случай касается деталей разложения

${displaystyle B ackslash G / B}$,

классическая тема Разложение Брюа, а до этого Клетки Шуберта в Грассманиан. Случай L-V занимает реальная форма грамм_р из грамм, а максимальная компактная подгруппа K_р в этом полупростая группа грамм_р, и делает комплексирование K из K_р. Тогда релевантным объектом исследования является

${displaystyle K ackslash G / B}$.

В марте 2007 г. было объявлено^{[кем? ]} что Полиномы L – V были вычислены для раздельной формы E₈.

Обобщение на другие объекты в теории представлений

Во второй статье Каждана и Люстига была установлена ​​геометрическая установка для определения полиномов Каждана – Люстига, а именно, геометрия особенностей многообразий Шуберта в разновидность флага. Большая часть более поздних работ Люстига исследовала аналоги многочленов Каждана – Люстига в контексте других естественных сингулярных алгебраических многообразий, возникающих в теории представлений, в частности, замыкания нильпотентные орбиты и разновидности колчана. Оказалось, что теория представлений квантовые группы, модулярные алгебры Ли и аффинные алгебры Гекке все они строго контролируются соответствующими аналогами многочленов Каждана – Люстига. Они допускают элементарное описание, но более глубокие свойства этих многочленов, необходимые для теории представлений, вытекают из сложных методов современной алгебраической геометрии и гомологическая алгебра, например, использование когомологии пересечения, извращенные снопы и Разложение Бейлинсона – Бернштейна – Делиня..

Предполагается, что коэффициенты многочленов Каждана – Люстига являются размерностями некоторых пространств гомоморфизмов в бимодульной категории Сёргеля. Это единственная известная положительная интерпретация этих коэффициентов для произвольных групп Кокстера.

Комбинаторная теория

Комбинаторные свойства полиномов Каждана – Люстига и их обобщений являются предметом активных текущих исследований. Учитывая их значение в теории представлений и алгебраической геометрии, были предприняты попытки развить теорию полиномов Каждана – Люстига чисто комбинаторным способом, опираясь в некоторой степени на геометрию, но без ссылки на когомологии пересечений и другие передовые методы. Это привело к захватывающим изменениям в алгебраическая комбинаторика, Такие как феномен избегания шаблонов. Некоторые ссылки даны в учебнике Бьёрнер и Бренти (2005). Монография исследования по теме Билли и Лакшмибай (2000).

По состоянию на 2005 г.^{[Обновить]}, не существует известной комбинаторной интерпретации всех коэффициентов полиномов Каждана – Люстига (как мощностей некоторых естественных множеств) даже для симметрических групп, хотя явные формулы существуют во многих частных случаях.

Рекомендации

• Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф (1981), Локализация g-модулей, Sér. I Math., 292, Париж: C.R. Acad. Sci., Стр. 15–18..
• Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф (1993), Доказательство гипотез Янцена, Успехи советской математики, 16, стр. 1–50.
• Билли, Сара; Лакшмибай, В. (2000), Особые локусы многообразий Шуберта, Успехи в математике, 182, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, ISBN  0-8176-4092-4.
• Бьёрнер, Андерс; Бренти, Франческо (2005), "Глава 5: Каждан – Люстиг и Р-полиномы », Комбинаторика групп Кокстера, Тексты для выпускников по математике, 231, Springer, ISBN  978-3-540-44238-7.
• Бренти, Франческо (2003), "Полиномы Каждана – Люстига: история, проблемы, комбинаторная инвариантность", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, Эльванген: Haus Schönenberg, 49: Исследовательская статья B49b.
• Брылински, Жан-Люк; Кашивара, Масаки (Октябрь 1981 г.), "Гипотеза Каждана – Люстига и голономные системы", Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 64 (3): 387–410, Дои:10.1007 / BF01389272, ISSN  0020-9910.
• Кашивара, Масаки (1990), "Гипотеза Каждана – Люстига для симметризуемых алгебр Каца-Муди", Гротендикский фестивальный сбор, II, Успехи в математике, 87, Boston: Birkhauser, стр. 407–433, МИСТЕР  1106905.
• Каждан, Давид; Люстиг, Джордж (Июнь 1979 г.), "Представления групп Кокстера и алгебр Гекке", Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 53 (2): 165–184, Дои:10.1007 / BF01390031, ISSN  0020-9910.
• Каждан, Давид; Люстиг, Джордж (1980a), "Топологический подход к представлениям Спрингера", Успехи в математике, 38 (2): 222–228, Дои:10.1016/0001-8708(80)90005-5.
• Каждан, Давид; Люстиг, Джордж (1980b), "Многообразия Шуберта и двойственность Пуанкаре", Proc. Симпози. Чистая математика., Американское математическое общество, XXXVI: 185–203.
• Люстиг, Джордж; Воган, Дэвид (1983), "Особенности замыканий K-орбит на флаговых многообразиях", Inventiones Mathematicae, Springer-Verlag, 71 (2): 365–379, Дои:10.1007 / BF01389103, ISSN  0020-9910.
• Поло, Патрик (1999), "Построение произвольных многочленов Каждана – Люстига в симметрических группах", Теория представлений. Электронный журнал Американского математического общества, 3 (4): 90–104, Дои:10.1090 / S1088-4165-99-00074-6, ISSN  1088-4165, МИСТЕР  1698201.
• Зёргель, Вольфганг (2006), "Многочлены Каждана – Люстига и неразложимые бимодули над кольцами многочленов", Журнал Инст. математики. Жасси, 6 (3): 501–525.

внешняя ссылка

• Чтения из весеннего курса 2005 г. по теории Каждана – Люстига в U.C. Дэвис Моника Вазирани
• Гореский Марк. «Таблицы полиномов Каждана – Люстига».
• Разрыв программы для вычисления полиномов Каждана – Люстига.
• Fokko du Cloux's Coxeter программное обеспечение для вычисления полиномов Каждана – Люстига для любой группы Кокстера
• Атлас программного обеспечения для вычисления полиномов Каждана – Люстига – Фогана.