Медиана (геометрия) - Median (geometry)

Медианы треугольника и центроид.

В геометрия, а медиана из треугольник это отрезок присоединение к вершина к середина противоположной стороны, таким образом разделив эту сторону пополам. Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в точках треугольника. центроид. На случай, если равнобедренный и равносторонний треугольники, медиана делит пополам любой угол в вершине, две соседние стороны которой равны по длине.

Понятие медианы распространяется на тетраэдры.

Отношение к центру масс

Каждая медиана треугольника проходит через треугольник центроид, какой центр массы бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником.^[1] Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе по любой медиане к стороне, с которой она пересекается, чем к вершине, из которой он исходит.

Разделение на равные площади

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам; отсюда и название, а значит, треугольный объект однородной плотности будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, которые делят площадь треугольника на две равные части, не проходят через центроид.)^[2]^[3] Три медианы делят треугольник на шесть меньших равных треугольников. площадь.

Доказательство собственности равной площади

Рассмотрим треугольник ABC. Позволять D быть серединой ${ displaystyle { overline {AB}}}$ , E быть серединой ${ displaystyle { overline {BC}}}$ , F быть серединой ${ displaystyle { overline {AC}}}$ , и О быть центроидом (чаще всего обозначается грамм).

По определению, ${ Displaystyle AD = DB, AF = FC, BE = EC}$ . Таким образом ${ displaystyle [ADO] = [BDO], [AFO] = [CFO], [BEO] = [CEO],}$ и ${ displaystyle [ABE] = [ACE]}$ , куда ${ displaystyle [ABC]}$ представляет площадь треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания равной длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине его основания, умноженному на его высоту.

У нас есть:

{ displaystyle [ABO] = [ABE] - [BEO]}

{ displaystyle [ACO] = [ACE] - [CEO]}

Таким образом, ${ displaystyle [ABO] = [ACO]}$ и ${ displaystyle [ADO] = [DBO], [ADO] = { frac {1} {2}} [ABO]}$

С ${ displaystyle [AFO] = [FCO], [AFO] = { frac {1} {2}} [ACO] = { frac {1} {2}} [ABO] = [ADO]}$ , следовательно, ${ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO]}$ . Используя тот же метод, можно показать, что ${ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO] = [BEO] = [CEO]}$ .

Три конгруэнтных треугольника

В 2014 Ли Саллоус открыл следующую теорему:^[4]

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как на рисунке выше, где три соседние пары треугольников пересекаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре вращаются вокруг своей общей средней точки, пока они не будут встречаются так, чтобы иметь общую сторону, тогда три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, совпадают.

Формулы, включающие медианы длин

Длины медиан могут быть получены из Теорема Аполлония в качестве:

{ displaystyle m_ {a} = { sqrt { frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}},}

{ displaystyle m_ {b} = { sqrt { frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} {4}}},}

{ displaystyle m_ {c} = { sqrt { frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}},}

куда а, б и c стороны треугольника с соответствующими медианами м_а, м_б, и м_c от их середины.

Таким образом, мы имеем отношения:^[5]

{ displaystyle a = { frac {2} {3}} { sqrt {-m_ {a} ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} = { sqrt {2 (b ^ {2} + c ^ {2}) - 4m_ {a} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {b ^ {2}} {2}} - c ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {c ^ {2}} {2}} - b ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} ,}

{ displaystyle b = { frac {2} {3}} { sqrt {-m_ {b} ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} = { sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - 4m_ {b} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {2}} - c ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {c ^ {2}} {2}} - a ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} ,}

{ displaystyle c = { frac {2} {3}} { sqrt {-m_ {c} ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} = { sqrt {2 (b ^ {2} + a ^ {2}) - 4m_ {c} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {b ^ {2}} {2}} - a ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {2}} - b ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} .}

Другие свойства

Позволять ABC быть треугольником, пусть грамм быть его центроидом, и пусть D, E, и F быть серединой до н.э, CA, и AB, соответственно. Для любой точки п в плоскости ABC тогда

{ Displaystyle PA + PB + PC leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}

^[6]

Центроид делит каждую срединную часть на части в соотношении 2: 1, причем центроид находится в два раза ближе к средней точке стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами ${ displaystyle a, b, c}$ и медианы ${ displaystyle m_ {a}, m_ {b}, m_ {c},}$ ^[7]

{ displaystyle { tfrac {3} {4}} (a + b + c)

и

{ displaystyle { tfrac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}.}

Медианы по сторонам длин а и б находятся перпендикуляр если и только если ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 5c ^ {2}.}$ ^[8]

Медианы прямоугольный треугольник с гипотенузой c удовлетворить ${ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} = 5m_ {c} ^ {2}.}$

Площадь любого треугольника Т можно выразить через его медианы ${ displaystyle m_ {a}, m_ {b}}$ , и ${ displaystyle m_ {c}}$ следующим образом. Обозначая их полусумму (м_а + м_б + м_c)/2 в качестве σ имеем^[9]

{ displaystyle T = { frac {4} {3}} { sqrt { sigma ( sigma -m_ {a}) ( sigma -m_ {b}) ( sigma -m_ {c})}} .}

Тетраэдр

медианы тетраэдра

{ displaystyle { begin {align} & { frac {| AS |} {| SS_ {BCD} |}} = { frac {| BS |} {| SS_ {ACD} |}} = { frac { | CS |} {| SS_ {ABD} |}} = & { frac {| DS |} {| SS_ {ABC} |}} = { frac {3} {1}} end {выровнено} }}

А тетраэдр это трехмерный объект, имеющий четыре треугольных лица. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроид противоположной грани называется медиана тетраэдра. Всего четыре медианы, и все они одновременный на центроид тетраэдра.^[10] Как и в двумерном случае, центром тяжести тетраэдра является центр массы. Однако, в отличие от двумерного случая, центроид делит медианы не в соотношении 2: 1, а в соотношении 3: 1 (Теорема Коммандино ).

Смотрите также

внешняя ссылка

Медианы в завязать узел
Площадь срединного треугольника в завязать узел
Медианы треугольника С интерактивной анимацией
Построение медианы треугольника с помощью циркуля и линейки анимационная демонстрация
Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника». MathWorld.

[1] Вайсштейн, Эрик В. (2010). CRC Краткая энциклопедия математики, второе издание. CRC Press. С. 375–377. ISBN 9781420035223.

[Bottomley2002-2] Боттомли, Генри. «Медианы и биссектрисы площади треугольника». Архивировано из оригинал на 2019-05-10. Получено 27 сентября 2013.

[Dunn-3] Данн, Дж. А., Претти, Дж. Э., «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., 105-108. DOI 10.2307/3615256

[4] Саллоуз, Ли "Теорема о треугольнике " Математический журнал, Vol. 87, № 5 (декабрь 2014 г.), с. 381

[5] Депланш, Ю. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Эдунса. п. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Получено 2011-04-24.

[6] Джеральд А. Эдгар, Дэниел Х. Ульман и Дуглас Б. Уэст (2018) Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly, 125: 1, 81-89, DOI: 10.1080 / 00029890.2018.1397465

[P&S-7] Посаментьер, Альфред С., и Залкинд, Чарльз Т., Сложные задачи геометрии, Довер, 1996: стр. 86–87.

[8] Боскофф, Хоменцовски и Сучава (2009), Математический вестник, Примечание 93.15.

[9] Беньи, Арпад, "Формула типа Герона для треугольника", Математический вестник 87, июль 2003 г., 324–326.

[10] Люнг, Камтим; и Суен, Сук-нам; «Векторы, матрицы и геометрия», Hong Kong University Press, 1994, стр. 53–54.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]