Закрытый набор - Closed set

Эта статья о дополнении открытый набор. Для комплекта, закрытого на операцию, см. закрытие (математика). Для использования в других целях см. Закрыто (значения).

В геометрия, топология, и родственные отрасли математика, а закрытый набор это набор чей дополнять является открытый набор.[1][2] В топологическое пространство, замкнутый набор можно определить как набор, содержащий все его предельные точки. В полное метрическое пространство, замкнутое множество - это множество, которое закрыто под предел операция.

Эквивалентные определения замкнутого множества

В топологическое пространство, набор закрыто тогда и только тогда, когда он совпадает со своим закрытие. Точно так же набор закрывается тогда и только тогда, когда он содержит все предельные точки. Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки.

Это не следует путать с закрытый коллектор.

Свойства замкнутых множеств

Закрытый набор содержит свой граница. Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и по-прежнему оставаться вне набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница - пустой набор, например. в метрическом пространстве рациональных чисел, для множества чисел которых квадрат меньше 2.

  • Любой пересечение замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств)
  • В союз из конечно много закрытые наборы закрыты.
  • В пустой набор закрыто.
  • Весь набор закрыт.

Фактически, учитывая набор Икс и коллекция F подмножеств Икс обладающий этими свойствами, то F будет набором замкнутых множеств для уникальной топологии на Икс.Свойство пересечения также позволяет определить закрытие набора А в пространстве Икс, который определяется как наименьшее замкнутое подмножество Икс это суперсет из А. В частности, закрытие А можно построить как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.

Наборы, которые могут быть построены как объединение счетно обозначены многие замкнутые множества Fσ наборы. Эти наборы не нужно закрывать.

Примеры замкнутых множеств

  • Закрытый интервал [а,б] из действительные числа закрыто. (Видеть Интервал (математика) для объяснения обозначений скобок и скобок.)
  • В единичный интервал [0,1] замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество [0,1] ∩Q из рациональное число между 0 и 1 (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но [0,1] ∩Q не закрывается в реальных числах.
  • Некоторые наборы ни открыты, ни закрыты, например, полуоткрытые интервал [0,1) в действительных числах.
  • Некоторые наборы бывают как открытыми, так и закрытыми и называются Clopen наборы.
  • В луч [1, + ∞) замкнуто.
  • В Кантор набор является необычным замкнутым множеством в том смысле, что оно целиком состоит из граничных точек и нигде не является плотным.
  • Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в Хаусдорфовы пространства.
  • Набор целые числа Z - бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел.
  • Если Икс и Y топологические пространства, функция ж из Икс в Y непрерывна тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в Y закрыты в Икс.

Подробнее о закрытых наборах

В топология набора точек, множество А закрывается, если он содержит все свои граница точки.

Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытые наборы, концепция, которая имеет смысл для топологические пространства, а также для других пространств, несущих топологические структуры, такие как метрические пространства, дифференцируемые многообразия, равномерные пространства, и калибровочные пространства.

Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети. Подмножество А топологического пространства Икс закрыт в Икс если и только если каждый предел каждой сети элементов А также принадлежит А.В место с первым счетом (например, метрическое пространство) достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности, а не все сети. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать как определение в контексте пространства сходимости, которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства Икс, потому что независимо от того, сходится ли последовательность или сеть в Икс зависит от того, какие точки присутствуют в Икс.

Закрыт ли набор, зависит от пространства, в которое он встроен. Тем не менее компактный Хаусдорфовы пространства находятся "абсолютно закрытый "в том смысле, что если вложить компактное хаусдорфово пространство K в произвольном хаусдорфовом пространстве Икс, тогда K всегда будет закрытым подмножеством Икс; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Каменно-чешская компактификация, процесс, который превращает полностью обычный Хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, можно описать как примыкающие пределы некоторых несходящихся сетей к пространству.

Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.

Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств X с пустым пересечением допускает конечное подмножество с пустым пересечением.

Топологическое пространство X есть отключен если существуют непересекающиеся непустые открытые подмножества A и B в X, объединение которых есть X. Кроме того, X является полностью отключен если у него есть открытая основа состоящий из замкнутых множеств.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-054235-X.
  2. ^ Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.