Сложный многогранник - Complex polytope

В геометрия, а сложный многогранник является обобщением многогранник в реальное пространство к аналогичной структуре в сложный Гильбертово пространство, где каждое действительное измерение сопровождается воображаемый один.

Сложный многогранник можно понимать как набор сложных точек, линий, плоскостей и т. Д., Где каждая точка является соединением нескольких линий, каждая линия - множества плоскостей и т. Д.

Точные определения существуют только для правильные комплексные многогранники, которые конфигурации. Правильные комплексные многогранники полностью охарактеризованы и могут быть описаны с помощью символической записи, разработанной Coxeter.

Также были описаны некоторые сложные многогранники, которые не являются полностью регулярными.

Определения и введение

В сложная линия ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ имеет одно измерение с настоящий координаты и другой с воображаемый координаты. Говорят, что применение реальных координат к обоим измерениям дает два измерения по сравнению с действительными числами. Реальная плоскость с обозначенной таким образом воображаемой осью называется Диаграмма Аргана. Из-за этого ее иногда называют комплексной плоскостью. Сложное 2-пространство (также иногда называемое комплексной плоскостью), таким образом, представляет собой четырехмерное пространство над реалами и так далее в более высоких измерениях.

Комплекс п-политоп в комплексе п-пространство аналог реального п-многогранник в действительности п-Космос.

Не существует естественного комплексного аналога упорядочения точек на вещественной прямой (или связанных с ними комбинаторных свойств). Из-за этого сложный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность, и он не ограничивает внутреннюю часть так, как это делает реальный многогранник.

На случай, если регулярный многогранники, точное определение можно дать, используя понятие симметрии. Для любого правильный многогранник группа симметрии (здесь a комплексная группа отражений, называется Группа Шепард ) действует транзитивно на флаги, то есть на вложенных последовательностях точки, содержащейся в линии, содержащейся в плоскости, и так далее.

Более полно, скажем, что коллекция п аффинных подпространств (или квартиры) комплекса унитарное пространство V измерения п является правильным комплексным многогранником, если он удовлетворяет следующим условиям:^[1]^[2]

для каждого $-1 \leq я < j < k \leq п$ , если $F$ это квартира в п измерения я и $ЧАС$ это квартира в п измерения k такой, что $F \subset ЧАС$ то есть как минимум две квартиры г в п измерения j такой, что $F \subset г \subset ЧАС$ ;
для каждого $я, j$ такой, что $-1 \leq я < j - 2, j \leq п$ , если $F \subset г$ квартиры п размеров я, j, то набор квартир между F и г связан в том смысле, что от любого члена этого множества можно перейти к любому другому посредством последовательности включений; и
подмножество унитарных преобразований V это исправление п транзитивны на флаги $F 0 \subset F 1 \subset \dots \subset F п$ квартир п (с участием $F я$ измерения я для всех я).

(Здесь под плоскостью размерности −1 понимается пустое множество.) Таким образом, по определению, правильные комплексные многогранники конфигурации в сложном унитарном пространстве.

В правильные комплексные многогранники были обнаружены Шепард (1952), и теория была развита Кокстером (1974).

Три вида *правильный сложный многоугольник* ₄{4}₂,
Этот сложный многоугольник имеет 8 ребер (сложных линий), обозначенных как а..час, и 16 вершин. Четыре вершины лежат в каждом ребре, и два ребра пересекаются в каждой вершине. На левом изображении очерченные квадраты не являются элементами многогранника, а включены только для того, чтобы помочь идентифицировать вершины, лежащие в одной и той же сложной линии. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, но является многоугольник петри.^[3] На среднем изображении каждое ребро представлено как реальная линия, и четыре вершины в каждой линии видны более четко.	Перспективный набросок, представляющий 16 вершин в виде больших черных точек и 8 четырехугольников в виде ограниченных квадратов внутри каждого края. Зеленый путь представляет собой восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексный многогранник существует в комплексном пространстве эквивалентной размерности. Например, вершины сложный многоугольник точки на комплексной плоскости ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ , а края - сложные линии ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ существующие как (аффинные) подпространства плоскости и пересекающиеся в вершинах. Таким образом, ребру можно задать систему координат, состоящую из одного комплексного числа.^{[требуется разъяснение ]}

В правильном комплексном многограннике вершины, падающие на ребро, расположены симметрично относительно своих центроид, который часто используется как начало системы координат ребра (в реальном случае центроид - это просто середина ребра). Симметрия возникает из сложное отражение о центроиде; это отражение оставит величина любой вершины без изменений, но изменить ее аргумент на фиксированную величину, перемещая его в координаты следующей вершины по порядку. Таким образом, мы можем считать (после подходящего выбора масштаба), что вершины на ребре удовлетворяют уравнению ${ displaystyle x ^ {p} -1 = 0}$ где п - количество инцидентных вершин. Таким образом, на диаграмме Аргана ребра вершины лежат в вершинах ребра. правильный многоугольник с центром в начале координат.

Выше показаны три вещественные проекции правильного комплексного многоугольника 4 {4} 2 с ребрами а, б, в, г, д, е, ж, з. У него 16 вершин, которые для наглядности отдельно не отмечены. Каждое ребро имеет четыре вершины, и каждая вершина лежит на двух ребрах, следовательно, каждое ребро пересекает четыре других ребра. На первой диаграмме каждое ребро представлено квадратом. Стороны квадрата равны нет части многоугольника, но нарисованы исключительно для того, чтобы помочь визуально связать четыре вершины. Края выкладываем симметрично. (Обратите внимание, что диаграмма похожа на B₄ Проекция плоскости Кокстера из тессеракт, но он конструктивно другой).

На средней диаграмме отсутствует восьмиугольная симметрия в пользу ясности. Каждое ребро показано как реальная линия, а каждая точка встречи двух линий - вершина. Видно соединение между различными краями.

Последняя диаграмма дает представление о структуре, спроецированной в трех измерениях: два куба с вершинами на самом деле имеют одинаковый размер, но видны в перспективе на разных расстояниях в четвертом измерении.

Регулярные комплексные одномерные многогранники

Сложные 1-многогранники, представленные в Самолет Арганд как правильные многоугольники для п = 2, 3, 4, 5 и 6 с черными вершинами. Центроид п вершины показаны красным цветом. Стороны многоугольников представляют собой одно приложение генератора симметрии, сопоставляя каждую вершину со следующей копией против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются краевыми элементами многогранника, так как сложный 1-многогранник не может иметь ребер (часто является сложное ребро) и содержит только вершинные элементы.

Реальный одномерный многогранник существует как замкнутый отрезок вещественной прямой ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {1}}$ , определяемый двумя его конечными точками или вершинами на линии. это Символ Шлефли является {} .

Аналогично, комплексный 1-многогранник существует как множество п вершины в сложной прямой ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ . Их можно представить как набор точек в Диаграмма Аргана (Икс,у)=Икс+иу. А регулярный сложный одномерный многогранник _п{} имеет п (п ≥ 2) вершинные точки, образующие выпуклый правильный многоугольник {п} в самолете Арганд.^[4]

В отличие от точек на реальной прямой, точки на сложной прямой не имеют естественного порядка. Таким образом, в отличие от реальных многогранников, внутренняя часть не может быть определена.^[5] Несмотря на это, сложные 1-многогранники часто рисуются, как здесь, как ограниченный правильный многоугольник на плоскости Аргана.

Настоящая кромка создается как линия между точкой и ее отражающим изображением в зеркале. Унитарный порядок отражения 2 можно рассматривать как поворот на 180 градусов вокруг центра. Край неактивный если точка генератора находится на отражающей линии или в центре.

А регулярный вещественный одномерный многогранник представлен пустым Символ Шлефли {}, или же Диаграмма Кокстера-Дынкина . Сама точка или узел диаграммы Кокстера-Дынкина представляет собой генератор отражения, в то время как круг вокруг узла означает, что точка генератора не находится на отражении, поэтому его отражающее изображение является точкой, отличной от самой себя. По расширению, регулярный комплексный одномерный многогранник в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ имеет Диаграмма Кокстера-Дынкина , для любого положительного целого числа п, 2 или больше, содержащие п вершины. п может быть подавлено, если оно равно 2. Оно также может быть представлено пустым Символ Шлефли _п{}, }_п{, {}_п, или _п{2}₁. 1 - это обозначение-заполнитель, представляющее несуществующее отражение или генератор идентичности периода 1. (0-многогранник, действительный или сложный, представляет собой точку и обозначается как} {или ₁{2}₁.)

Симметрия обозначается символом Диаграмма Кокстера , и в качестве альтернативы может быть описан в Обозначение Кокстера так как _п[], []_п или же ]_п[, _п[2]₁ или _п[1]_п. Симметрия изоморфна симметрии циклическая группа, порядок п.^[6] Подгруппы _п[] - любой целый делитель d, _d[], куда d≥2.

А унитарный оператор генератор для рассматривается как поворот на 2π /п радианы против часовой стрелки, а край создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с п вершины $е 2π я / п = cos (2π / п) + я грех (2π / п)$ . Когда п = 2, генератор е^πя = –1, то же, что и точечное отражение в реальном самолете.

В более сложных многогранниках 1-многогранники образуют п-ребра. 2-ребро похоже на обычное реальное ребро тем, что оно содержит две вершины, но не обязательно на действительной прямой.

Правильные сложные многоугольники

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное количество п, конечные правильные комплексные многоугольники, исключая многоугольники двойной призмы _п{4}₂, ограничены 5-гранными (пятиугольными ребрами) элементами, а бесконечные правильные апейрогоны также включают 6-гранные (шестиугольные ребра) элементы.

Обозначения

Модифицированная нотация Шлефли Шепарда

Шепард первоначально разработал модифицированную форму Обозначения Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного п₁-ребра, с п₂-набор как фигура вершины и общая группа симметрии порядка г, обозначим многоугольник как п₁(г)п₂.

Количество вершин V затем г/п₂ и количество ребер E является г/п₁.

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер (п₁= 4) и шестнадцать вершин (п₂= 2). Из этого мы можем понять, что г = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4 (32) 2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Кокстера

Более современные обозначения _п₁{q}_п₂ связано с Coxeter,^[7] и основан на теории групп. Как группа симметрии, ее символ: _п₁[q]_п₂.

Группа симметрии _п₁[q]_п₂ представлен двумя образующими R₁, Р₂, где: R₁^п₁ = R₂^п₂ = I. Если q четно, (R₂р₁)^q/2 = (R₁р₂)^q/2. Если q нечетно, (R₂р₁)^{(q-1) / 2}р₂ = (R₁р₂)^(q-1)/2р₁. Когда q странно, п₁=п₂.

За ₄[4]₂ имеет R₁⁴ = R₂² = I, (R₂р₁)² = (R₁р₂)².

За ₃[5]₃ имеет R₁³ = R₂³ = I, (R₂р₁)²р₂ = (R₁р₂)²р₁.

Диаграммы Кокстера-Дынкина

Коксетер также обобщил использование Диаграммы Кокстера-Дынкина сложным многогранникам, например сложному многоугольнику _п{q}_р представлен и эквивалентная группа симметрии, _п[q]_р, является диаграммой без колец . Узлы п и р представляют собой зеркала, производящие п и р изображения в самолете. Узлы без меток на диаграмме имеют неявные 2 метки. Например, настоящий правильный многоугольник является ₂{q}₂ или же {q} или .

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвлений, должны иметь одинаковые порядки узлов. В противном случае группа создаст "звездные" многоугольники с перекрывающимися элементами. Так и обычные, а звездный.

12 неприводимых групп Шепарда

12 неприводимых групп Шепарда с их отношениями индексов подгрупп.^[8] Подгруппы индекса 2 связаны удалением реального отражения:
_п[2q]₂ --> _п[q]_п, индекс 2.
_п[4]_q --> _п[q]_п, индекс q.

_п[4]₂ подгруппы: p = 2,3,4 ...
_п[4]₂ --> [п], индекс п
_п[4]₂ --> _п[]×_п[], индекс 2

Кокстер перечислил этот список правильных сложных многоугольников в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ . Правильный сложный многоугольник, _п{q}_р или , имеет п-ребра и р-гональный фигуры вершин. _п{q}_р является конечным многогранником, если (п+р)q>пр(q-2).

Его симметрия записывается как _п[q]_р, называется Группа Шепард, аналогично Группа Кокстера, а также позволяя унитарные отражения.

Для незвездных групп порядок группы _п[q]_р можно вычислить как ${ displaystyle g = 8 / q cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}$ .^[9]

В Число Кокстера за _п[q]_р является ${ Displaystyle ч = 2 / (1 / р + 2 / д + 1 / г-1)}$ , поэтому групповой порядок также можно вычислить как ${ displaystyle g = 2h ^ {2} / q}$ . Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с помощью час-угольная симметрия.

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники:

Группа	г₃= G (q,1,1)	г₂= G (п,1,2)	г₄	г₆	г₅	г₈	г₁₄	г₉	г₁₀	г₂₀	г₁₆	г₂₁	г₁₇	г₁₈
	₂[q]₂, q=3,4...	_п[4]₂, п=2,3...	₃[3]₃	₃[6]₂	₃[4]₃	₄[3]₄	₃[8]₂	₄[6]₂	₄[4]₃	₃[5]₃	₅[3]₅	₃[10]₂	₅[6]₂	₅[4]₃

порядок	2q	2п²	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
час	q	2п	6	12			24			30		60

Исключенные решения с нечетным q и неравный п и р находятся: ₆[3]₂, ₆[3]₃, ₉[3]₃, ₁₂[3]₃, ..., ₅[5]₂, ₆[5]₂, ₈[5]₂, ₉[5]₂, ₄[7]₂, ₉[5]₂, ₃[9]₂, и ₃[11]₂.

Другое целое q с неравным п и р, создайте звездные группы с перекрывающимися фундаментальными доменами: , , , , , и .

Двойственный многоугольник _п{q}_р является _р{q}_п. Многоугольник формы _п{q}_п самодвойственен. Группы формы _п[2q]₂ иметь полусимметрию _п[q]_п, поэтому правильный многоугольник то же самое, что и квазирегулярный . А также правильный многоугольник с таким же порядком узлов, , есть чередовались строительство , позволяя смежным краям быть двух разных цветов.^[10]

Групповой порядок, г, используется для вычисления общего количества вершин и ребер. Это будет иметь г/р вершины и г/п края. Когда п=р, количество вершин и ребер равно. Это условие требуется, когда q странно.

Генераторы матриц

Группа п[q]р, , могут быть представлены двумя матрицами:^[11]


имя	р₁	р₂
порядок	п	р
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 (e ^ {2 pi i / p} -1) k & 1 end {smallmatrix}} right ]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & (e ^ {2 pi i / r} -1) k 0 & e ^ {2 pi i / r} end {smallmatrix}} right ]}$

С участием

k =

{ displaystyle { sqrt { frac {cos ({ frac { pi} {p}} - { frac { pi} {r}}) + cos ({ frac {2 pi} {q}) })} {2 sin { frac { pi} {p}} sin { frac { pi} {r}}}}}}

Примеры


имя	р₁	р₂
порядок	п	q
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {2 pi i / q} end {smallmatrix}} right]}$


имя	р₁	р₂
порядок	п	2
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} e ^ {2 pi i / p} & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$


имя	р₁	р₂
порядок	3	3
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} & 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & { frac {-3 + { sqrt {3}} i} {2}} 0 & { frac {-1 + { sqrt {3}}] i} {2}} конец {smallmatrix}} right]}$


имя	р₁	р₂
порядок	4	4
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & i end {smallmatrix}} right]}$


имя	р₁	р₂
порядок	4	2
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} i & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$


имя	р₁	р₂
порядок	3	2
Матрица	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} { frac {-1 + { sqrt {3}} i} {2}} & 0 { frac {-3 + { sqrt {3}} i } {2}} & 1 end {smallmatrix}} right]}$	${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -2 0 & -1 end {smallmatrix}} right]}$

Перечисление правильных сложных многоугольников

Кокстер перечислил сложные многоугольники в Таблице III регулярных сложных многогранников.^[12]

Группа	порядок	Coxeter количество	Многоугольник		Вершины	Края		Примечания
G (д, д, 2) ₂[q]₂ = [q] q = 2,3,4, ...	2q	q	₂{q}₂		q	q	{}	Реальный правильные многоугольники Такой же как Такой же как если q даже

Группа	порядок	Coxeter количество	Многоугольник		Вершины	Края		Примечания
ГРАММ(п,1,2) _п[4]₂ р = 2,3,4, ...	2п²	2п	п(2п²)2	_п{4}₂	п²	2п	_п{}	такой же как _п{}×_п{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как п-п дуопризма
ГРАММ(п,1,2) _п[4]₂ р = 2,3,4, ...	2п²	2п	2(2п²)п	₂{4}_п	2п	п²	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как п-п дуопирамида
G (2,1,2) ₂[4]₂ = [4]	8	4		₂{4}₂ = {4}	4	4	{}	то же, что {} × {} или Настоящая площадь
G (3,1,2) ₃[4]₂	18	6	6(18)2	₃{4}₂	9	6	₃{}	такой же как ₃{}×₃{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 3-3 дуопризма
G (3,1,2) ₃[4]₂	18	6	2(18)3	₂{4}₃	6	9	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 3-3 дуопирамида
G (4,1,2) ₄[4]₂	32	8	8(32)2	₄{4}₂	16	8	₄{}	такой же как ₄{}×₄{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление в виде 4-4 дуопризмы или {4,3,3}
G (4,1,2) ₄[4]₂	32	8	2(32)4	₂{4}₄	8	16	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 4-4 дуопирамиды или {3,3,4}
G (5,1,2) ₅[4]₂	50	25	5(50)2	₅{4}₂	25	10	₅{}	такой же как ₅{}×₅{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 5-5 дуопризма
G (5,1,2) ₅[4]₂	50	25	2(50)5	₂{4}₅	10	25	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 5-5 дуопирамид
G (6,1,2) ₆[4]₂	72	36	6(72)2	₆{4}₂	36	12	₆{}	такой же как ₆{}×₆{} или же ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 6-6 дуопризма
G (6,1,2) ₆[4]₂	72	36	2(72)6	₂{4}₆	12	36	{}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как 6-6 дуопирамид
г₄= G (1,1,2) ₃[3]₃ <2,3,3>	24	6	3(24)3	₃{3}₃	8	8	₃{}	Конфигурация Мебиуса – Кантора самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,4}
г₆ ₃[6]₂	48	12	3(48)2	₃{6}₂	24	16	₃{}	такой же как
				₃{3}₂	24	16	₃{}	звездный многоугольник
			2(48)3	₂{6}₃	16	24	{}
				₂{3}₃	16	24	{}	звездный многоугольник
г₅ ₃[4]₃	72	12	3(72)3	₃{4}₃	24	24	₃{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,4,3}
г₈ ₄[3]₄	96	12	4(96)4	₄{3}₄	24	24	₄{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,4,3}
г₁₄ ₃[8]₂	144	24	3(144)2	₃{8}₂	72	48	₃{}	такой же как
				₃{8/3}₂	72	48	₃{}	звездный многоугольник, такой же, как
			2(144)3	₂{8}₃	48	72	{}
				₂{8/3}₃	48	72	{}	звездный многоугольник
г₉ ₄[6]₂	192	24	4(192)2	₄{6}₂	96	48	₄{}	такой же как
			2(192)4	₂{6}₄	48	96	{}
				₄{3}₂	96	48	{}	звездный многоугольник
				₂{3}₄	48	96	{}	звездный многоугольник
г₁₀ ₄[4]₃	288	24	4(288)3	₄{4}₃	96	72	₄{}
		12		₄{8/3}₃	96	72	₄{}	звездный многоугольник
		24	3(288)4	₃{4}₄	72	96	₃{}
		12		₃{8/3}₄	72	96	₃{}	звездный многоугольник
г₂₀ ₃[5]₃	360	30	3(360)3	₃{5}₃	120	120	₃{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,5}
г₂₀ ₃[5]₃	360	30		₃{5/2}₃	120	120	₃{}	самодвойственный звездный многоугольник
г₁₆ ₅[3]₅	600	30	5(600)5	₅{3}₅	120	120	₅{}	самодвойственный, как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление как {3,3,5}
г₁₆ ₅[3]₅	600	10		₅{5/2}₅	120	120	₅{}	самодвойственный, звездный многоугольник
г₂₁ ₃[10]₂	720	60	3(720)2	₃{10}₂	360	240	₃{}	такой же как
				₃{5}₂				звездный многоугольник
				₃{10/3}₂				звездный многоугольник, такой же, как
				₃{5/2}₂				звездный многоугольник
			2(720)3	₂{10}₃	240	360	{}
				₂{5}₃				звездный многоугольник
				₂{10/3}₃				звездный многоугольник
				₂{5/2}₃				звездный многоугольник
г₁₇ ₅[6]₂	1200	60	5(1200)2	₅{6}₂	600	240	₅{}	такой же как
		20		₅{5}₂				звездный многоугольник
		20		₅{10/3}₂				звездный многоугольник
		60		₅{3}₂				звездный многоугольник
		60	2(1200)5	₂{6}₅	240	600	{}
		20		₂{5}₅				звездный многоугольник
		20		₂{10/3}₅				звездный многоугольник
		60		₂{3}₅				звездный многоугольник
г₁₈ ₅[4]₃	1800	60	5(1800)3	₅{4}₃	600	360	₅{}
		15		₅{10/3}₃				звездный многоугольник
		30		₅{3}₃				звездный многоугольник
		30		₅{5/2}₃				звездный многоугольник
		60	3(1800)5	₃{4}₅	360	600	₃{}
		15		₃{10/3}₅				звездный многоугольник
		30		₃{3}₅				звездный многоугольник
		30		₃{5/2}₅				звездный многоугольник

Визуализации правильных сложных многоугольников

Полигоны формы _п{2р}_q можно визуализировать q цветные наборы п-край. Каждый п-edge рассматривается как правильный многоугольник без граней.

2D ортогональные проекции сложных многоугольников ₂{р}_q

Полигоны формы ₂{4}_q называются обобщенными ортоплексы. У них общие вершины с 4D q-q дуопирамиды, вершины соединены 2-ребрами.

₂{4}₂, , с 4 вершинами и 4 ребрами
₂{4}₃, , с 6 вершинами и 9 ребрами^[13]
₂{4}₄, , с 8 вершинами и 16 ребрами
₂{4}₅, , с 10 вершинами и 25 ребрами
₂{4}₆, , с 12 вершинами и 36 ребрами
₂{4}₇, , с 14 вершинами и 49 ребрами
₂{4}₈, , с 16 вершинами и 64 ребрами
₂{4}₉, , с 18 вершинами и 81 ребром
₂{4}₁₀, , с 20 вершинами и 100 ребрами

Сложные полигоны _п{4}₂

Полигоны формы _п{4}₂ называются обобщенными гиперкубы (квадраты для многоугольников). У них общие вершины с 4D п-п дуопризма, вершины соединены p-ребрами. Вершины нарисованы зеленым, а п-ребра нарисованы чередующимися цветами - красным и синим. Перспектива немного искажена для нечетных размеров, чтобы переместить перекрывающиеся вершины от центра.

₂{4}₂, или , с 4 вершинами и 4 2-ребрами
₃{4}₂, или , с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами^[14]
₄{4}₂, или , с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами
₅{4}₂, или , с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-гранями
₆{4}₂, или , с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-гранями
₇{4}₂, или , с 49 вершинами и 14 (семиугольными) 7-гранями
₈{4}₂, или , с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-гранями
₉{4}₂, или , с 81 вершиной и 18 (эннеугольными) 9-гранями
₁₀{4}₂, или , со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-гранями

3D перспектива проекции сложных многоугольников _п{4}₂. Двойники ₂{4}_п: видны добавлением вершин внутри ребер и добавлением ребер вместо вершин.

₃{4}₂, или с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов
₂{4}₃, с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах
₄{4}₂, или с 16 вершинами, 8 4-ребрами в 2 наборах цветов и 4-гранными квадратами с заливкой
₅{4}₂, или с 25 вершинами, 10 5-гранями в 2 наборах цветов

Другие сложные полигоны _п{р}₂

₃{6}₂, или , с 24 вершинами в черном цвете и 16 3-ребрами, раскрашенными в 2 наборах 3-ребер в красный и синий^[15]
₃{8}₂, или , с 72 вершинами в черном цвете и 48 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-граней в красный и синий^[16]

2D ортогональные проекции сложных многоугольников, _п{р}_п

Полигоны формы _п{р}_п имеют равное количество вершин и ребер. Они также самодвойственны.

₃{3}₃, или , с 8 вершинами в черном цвете и 8 3-гранями, раскрашенными в 2 наборах 3-граней в красный и синий^[17]
₃{4}₃, или , с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен^[18]
₄{3}₄, или , с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными в 4 наборах цветов^[19]
₃{5}₃, или , со 120 вершинами и 120 3-ребрами^[20]
₅{3}₅, или , со 120 вершинами и 120 5-ребрами^[21]

Правильные сложные многогранники

В целом правильный комплексный многогранник представлен Кокстером как _п{z₁}_q{z₂}_р{z₃}_s… Или диаграмма Кокстера …, Имеющий симметрию _п[z₁]_q[z₂]_р[z₃]_s… или же ….^[22]

Есть бесконечные семейства правильных комплексных многогранников, которые встречаются во всех измерениях, обобщая гиперкубы и перекрестные многогранники в реальном космосе. «Обобщенный ортотоп» Шепарда обобщает гиперкуб; он имеет символ γ^п
_п = _п{4}₂{3}₂…₂{3}₂ и диаграмма …. Его группа симметрии имеет диаграмму _п[4]₂[3]₂…₂[3]₂; в классификации Шепарда – Тодда это группа G (п, 1, п), обобщающие матрицы перестановок со знаком. Его двойственный правильный многогранник, «обобщенный кросс-многогранник», обозначается символом β^п
_п = ₂{3}₂{3}₂…₂{4}_п и диаграмма ….^[23]

Одномерный правильный комплексный многогранник в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ представлен как , имея п вершины, с его реальным представлением a правильный многоугольник, {п}. Кокстер также дает ему символ γ^п
₁ или β^п
₁ как одномерный обобщенный гиперкуб или кросс-многогранник. Его симметрия _п[] или же , циклическая группа порядка п. В более высоком многограннике _п{} или же представляет п-реберный элемент, с 2-гранью, {} или , представляющий собой обычное реальное ребро между двумя вершинами.^[24]

А двойственный комплексный многогранник строится путем обмена k и (п-1-k) -элементы п-полигон. Например, у двойного сложного многоугольника вершины центрируются на каждом ребре, а новые ребра центрируются в старых вершинах. А v-valence вершина создает новый v-кра и е-ребра становятся е-валентность вершин.^[25] Двойник правильного комплексного многогранника имеет обратный символ. Правильные комплексные многогранники с симметричными символами, т.е. _п{q}_п, _п{q}_р{q}_п, _п{q}_р{s}_р{q}_пи др. самодвойственный.

Перечисление правильных комплексных многогранников

Некоторые ранжируют 3 группы Шепарда с их порядком групп и отношениями рефлексивных подгрупп.

Кокстер перечислил этот список незвездных правильных комплексных многогранников в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ , в том числе 5 платоновые тела в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ .^[26]

Правильный сложный многогранник, _п{п₁}_q{п₂}_р или , имеет лица края и фигуры вершин.

Сложный правильный многогранник _п{п₁}_q{п₂}_р требует обоих г₁ = заказ (_п[п₁]_q) и г₂ = заказ (_q[п₂]_р) быть конечным.

Данный г = заказ (_п[п₁]_q[п₂]_р) количество вершин равно г/г₂, а количество граней равно г/г₁. Количество ребер г/пр.

Космос	Группа	порядок	Число Кокстера	Многоугольник	Вершины	Края		Лица		Вершина фигура	Ван Осс многоугольник	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	G (1,1,3) ₂[3]₂[3]₂ = [3,3]	24	4	α₃ = ₂{3}₂{3}₂ = {3,3}	4	6	{}	4	{3}	{3}	никто	Реальный тетраэдр Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	г₂₃ ₂[3]₂[5]₂ = [3,5]	120	10	₂{3}₂{5}₂ = {3,5}	12	30	{}	20	{3}	{5}	никто	Реальный икосаэдр
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	г₂₃ ₂[3]₂[5]₂ = [3,5]	120	10	₂{5}₂{3}₂ = {5,3}	20	30	{}	12	{5}	{3}	никто	Реальный додекаэдр
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	G (2,1,3) ₂[3]₂[4]₂ = [3,4]	48	6	β² ₃ = β₃ = {3,4}	6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Реальный октаэдр То же, что {} + {} + {}, порядок 8 Такой же как , заказ 24
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	G (2,1,3) ₂[3]₂[4]₂ = [3,4]	48	6	γ² ₃ = γ₃ = {4,3}	8	12	{}	6	{4}	{3}	никто	Реальный куб То же, что {} × {} × {} или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (п, 1,3) ₂[3]₂[4]_п р = 2,3,4, ...	6п³	3п	β^п ₃ = ₂{3}₂{4}_п	3п	3п²	{}	п³	{3}	₂{4}_п	₂{4}_п	Обобщенный октаэдр Такой же как _п{}+_п{}+_п{}, порядок п³ Такой же как , заказ 6п²
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (п, 1,3) ₂[3]₂[4]_п р = 2,3,4, ...	6п³	3п	γ^п ₃ = _п{4}₂{3}₂	п³	3п²	_п{}	3п	_п{4}₂	{3}	никто	Обобщенный куб Такой же как _п{}×_п{}×_п{} или же
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (3,1,3) ₂[3]₂[4]₃	162	9	β³ ₃ = ₂{3}₂{4}₃	9	27	{}	27	{3}	₂{4}₃	₂{4}₃	Такой же как ₃{}+₃{}+₃{}, заказ 27 Такой же как , заказ 54
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (3,1,3) ₂[3]₂[4]₃	162	9	γ³ ₃ = ₃{4}₂{3}₂	27	27	₃{}	9	₃{4}₂	{3}	никто	Такой же как ₃{}×₃{}×₃{} или же
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (4,1,3) ₂[3]₂[4]₄	384	12	β⁴ ₃ = ₂{3}₂{4}₄	12	48	{}	64	{3}	₂{4}₄	₂{4}₄	Такой же как ₄{}+₄{}+₄{}, заказ 64 Такой же как , заказ 96
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (4,1,3) ₂[3]₂[4]₄	384	12	γ⁴ ₃ = ₄{4}₂{3}₂	64	48	₄{}	12	₄{4}₂	{3}	никто	Такой же как ₄{}×₄{}×₄{} или же
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (5,1,3) ₂[3]₂[4]₅	750	15	β⁵ ₃ = ₂{3}₂{4}₅	15	75	{}	125	{3}	₂{4}₅	₂{4}₅	Такой же как ₅{}+₅{}+₅{}, заказ 125 Такой же как , заказ 150
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (5,1,3) ₂[3]₂[4]₅	750	15	γ⁵ ₃ = ₅{4}₂{3}₂	125	75	₅{}	15	₅{4}₂	{3}	никто	Такой же как ₅{}×₅{}×₅{} или же
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (6,1,3) ₂[3]₂[4]₆	1296	18	β⁶ ₃ = ₂{3}₂{4}₆	36	108	{}	216	{3}	₂{4}₆	₂{4}₆	Такой же как ₆{}+₆{}+₆{}, заказ 216 Такой же как , заказ 216
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	G (6,1,3) ₂[3]₂[4]₆	1296	18	γ⁶ ₃ = ₆{4}₂{3}₂	216	108	₆{}	18	₆{4}₂	{3}	никто	Такой же как ₆{}×₆{}×₆{} или же
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	г₂₅ ₃[3]₃[3]₃	648	9	₃{3}₃{3}₃	27	72	₃{}	27	₃{3}₃	₃{3}₃	₃{4}₂	Такой же как . ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$ представление как 2₂₁ Гессенский многогранник
	г₂₆ ₂[4]₃[3]₃	1296	18	₂{4}₃{3}₃	54	216	{}	72	₂{4}₃	₃{3}₃	{6}
	г₂₆ ₂[4]₃[3]₃	1296	18	₃{3}₃{4}₂	72	216	₃{}	54	₃{3}₃	₃{4}₂	₃{4}₃	Такой же как ^[27] ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$ представление как 1₂₂

Визуализации правильных комплексных многогранников

2D ортогональные проекции комплексных многогранников, _п{s}_т{р}_р

Реальный {3,3}, или имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани
₃{3}₃{3}₃, или , имеет 27 вершин, 72 3-ребра и 27 граней, причем одна грань выделена синим цветом.^[28]
₂{4}₃{3}₃, имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 грани, одна грань выделена синим цветом.^[29]
₃{3}₃{4}₂, или , имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 вершины, причем одна грань выделена синим цветом.^[30]

Обобщенные октаэдры

Обобщенные октаэдры имеют правильную конструкцию как и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы.

Реальный {3,4}, или , с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями
₂{3}₂{4}₃, или , с 9 вершинами, 27 ребрами и 27 гранями
₂{3}₂{4}₄, или , с 12 вершинами, 48 ребрами и 64 гранями
₂{3}₂{4}₅, или , с 15 вершинами, 75 ребрами и 125 гранями
₂{3}₂{4}₆, или , с 18 вершинами, 108 ребрами и 216 гранями
₂{3}₂{4}₇, или , с 21 вершиной, 147 ребрами и 343 гранями
₂{3}₂{4}₈, или , с 24 вершинами, 192 ребрами и 512 гранями
₂{3}₂{4}₉, или , с 27 вершинами, 243 ребрами и 729 гранями
₂{3}₂{4}₁₀, или , с 30 вершинами, 300 ребрами и 1000 гранями

Обобщенные кубы

Обобщенные кубы имеют правильную конструкцию как и призматическая конструкция как , продукт трех п-гональные 1-многогранники. Элементы - это обобщенные кубы меньшей размерности.

Реальный {4,3}, или имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней
₃{4}₂{3}₂, или имеет 27 вершин, 27 3-ребер и 9 граней^[31]
₄{4}₂{3}₂, или , с 64 вершинами, 48 ребрами и 12 гранями
₅{4}₂{3}₂, или , со 125 вершинами, 75 ребрами и 15 гранями
₆{4}₂{3}₂, или , с 216 вершинами, 108 ребрами и 18 гранями
₇{4}₂{3}₂, или , с 343 вершинами, 147 ребрами и 21 гранью
₈{4}₂{3}₂, или , с 512 вершинами, 192 ребрами и 24 гранями
₉{4}₂{3}₂, или , с 729 вершинами, 243 ребрами и 27 гранями
₁₀{4}₂{3}₂, или , с 1000 вершинами, 300 ребрами и 30 гранями

Перечисление правильных комплексных 4-многогранников

Кокстер перечислил этот список незвездных правильных комплексных 4-многогранников в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$ , в том числе 6 выпуклые правильные 4-многогранники в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ .^[32]

Космос	Группа	порядок	Coxeter количество	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	Ван Осс многоугольник	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	G (1,1,4) ₂[3]₂[3]₂[3]₂ = [3,3,3]	120	5	α₄ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂ = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	никто	Реальный 5-элементный (симплекс)
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	г₂₈ ₂[3]₂[4]₂[3]₂ = [3,4,3]	1152	12	₂{3}₂{4}₂{3}₂ = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Реальный 24-элементный
	г₃₀ ₂[3]₂[3]₂[5]₂ = [3,3,5]	14400	30	₂{3}₂{3}₂{5}₂ = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	Реальный 600 ячеек
	г₃₀ ₂[3]₂[3]₂[5]₂ = [3,3,5]	14400	30	₂{5}₂{3}₂{3}₂ = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}	{10}	Реальный 120 ячеек
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	G (2,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_п =[3,3,4]	384	8	β² ₄ = β₄ = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	Реальный 16 ячеек Такой же как , заказ 192
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	G (2,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_п =[3,3,4]	384	8	γ² ₄ = γ₄ = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	никто	Реальный тессеракт Такой же как {}⁴ или , заказ 16
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (п, 1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_п р = 2,3,4, ...	24п⁴	4п	β^п ₄ = ₂{3}₂{3}₂{4}_п	4п	6п² {}	4п³ {3}	п⁴ {3,3}	₂{4}_п	Обобщенный 4-ортоплекс Такой же как , заказ 24п³
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (п, 1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]_п р = 2,3,4, ...	24п⁴	4п	γ^п ₄ = _п{4}₂{3}₂{3}₂	п⁴	4п³ _п{}	6п² _п{4}₂	4п _п{4}₂{3}₂	никто	Обобщенный тессеракт Такой же как _п{}⁴ или , порядок п⁴
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (3,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₃	1944	12	β³ ₄ = ₂{3}₂{3}₂{4}₃	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	₂{4}₃	Обобщенный 4-ортоплекс Такой же как , заказ 648
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (3,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₃	1944	12	γ³ ₄ = ₃{4}₂{3}₂{3}₂	81	108 ₃{}	54 ₃{4}₂	12 ₃{4}₂{3}₂	никто	Такой же как ₃{}⁴ или , заказ 81
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (4,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₄	6144	16	β⁴ ₄ = ₂{3}₂{3}₂{4}₄	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	₂{4}₄	Такой же как , заказ 1536
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (4,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₄	6144	16	γ⁴ ₄ = ₄{4}₂{3}₂{3}₂	256	256 ₄{}	96 ₄{4}₂	16 ₄{4}₂{3}₂	никто	Такой же как ₄{}⁴ или , заказ 256
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (5,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₅	15000	20	β⁵ ₄ = ₂{3}₂{3}₂{4}₅	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	₂{4}₅	Такой же как , заказ 3000
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (5,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₅	15000	20	γ⁵ ₄ = ₅{4}₂{3}₂{3}₂	625	500 ₅{}	150 ₅{4}₂	20 ₅{4}₂{3}₂	никто	Такой же как ₅{}⁴ или , заказ 625
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (6,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₆	31104	24	β⁶ ₄ = ₂{3}₂{3}₂{4}₆	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	₂{4}₆	Такой же как , заказ 5184
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	G (6,1,4) ₂[3]₂[3]₂[4]₆	31104	24	γ⁶ ₄ = ₆{4}₂{3}₂{3}₂	1296	864 ₆{}	216 ₆{4}₂	24 ₆{4}₂{3}₂	никто	Такой же как ₆{}⁴ или , заказ 1296
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	г₃₂ ₃[3]₃[3]₃[3]₃	155520	30	₃{3}₃{3}₃{3}₃	240	2160 ₃{}	2160 ₃{3}₃	240 ₃{3}₃{3}₃	₃{4}₃	Многогранник Виттинга ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {8}}$ представление как 4₂₁

Визуализации правильных комплексных 4-многогранников

Реальный {3,3,3}, , имел 5 вершин, 10 ребер, 10 {3} граней и 5 {3,3} ячеек
Реальный {3,4,3}, , имел 24 вершины, 96 ребер, 96 {3} граней и 24 {3,4} ячейки
Реальный {5,3,3}, , имел 600 вершин, 1200 ребер, 720 {5} граней и 120 {5,3} ячеек
Реальный {3,3,5}, , имел 120 вершин, 720 ребер, 1200 {3} граней и 600 {3,3} ячеек
Многогранник Виттинга, , имеет 240 вершин, 2160 3-ребер, 2160 3 {3} 3 грани и 240 3 {3} 3 {3} 3 ячейки

Обобщенные 4-ортоплексы

Обобщенные 4-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы.

Реальный {3,3,4}, или , с 8 вершинами, 24 ребрами, 32 гранями и 16 ячейками
₂{3}₂{3}₂{4}₃, или , с 12 вершинами, 54 ребрами, 108 гранями и 81 ячейкой
₂{3}₂{3}₂{4}₄, или , с 16 вершинами, 96 ребрами, 256 гранями и 256 ячейками
₂{3}₂{3}₂{4}₅, или , с 20 вершинами, 150 ребрами, 500 гранями и 625 ячейками
₂{3}₂{3}₂{4}₆, или , с 24 вершинами, 216 ребрами, 864 гранями и 1296 ячейками
₂{3}₂{3}₂{4}₇, или , с 28 вершинами, 294 ребрами, 1372 гранями и 2401 ячейкой
₂{3}₂{3}₂{4}₈, или , с 32 вершинами, 384 ребрами, 2048 гранями и 4096 ячейками
₂{3}₂{3}₂{4}₉, или , с 36 вершинами, 486 ребрами, 2916 гранями и 6561 ячейкой
₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, или , с 40 вершинами, 600 ребрами, 4000 граней и 10000 ячеек

Обобщенные 4-кубы

Обобщенные тессеракты имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция как , продукт четырех п-гональные 1-многогранники. Элементы - это обобщенные кубы меньшей размерности.

Реальный {4,3,3}, или , с 16 вершинами, 32 ребрами, 24 гранями и 8 ячейками
₃{4}₂{3}₂{3}₂, или с 81 вершиной, 108 ребрами, 54 гранями и 12 ячейками
₄{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 256 вершинами, 96 ребрами, 96 гранями и 16 ячейками
₅{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 625 вершинами, 500 ребрами, 150 гранями и 20 ячейками
₆{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 1296 вершинами, 864 ребрами, 216 гранями и 24 ячейками
₇{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 2401 вершиной, 1372 ребрами, 294 гранями и 28 ячейками
₈{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 4096 вершинами, 2048 ребрами, 384 гранями и 32 ячейками
₉{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 6561 вершиной, 2916 ребрами, 486 гранями и 36 ячейками
₁₀{4}₂{3}₂{3}₂, или , с 10000 вершинами, 4000 ребер, 600 граней и 40 ячеек

Перечисление правильных комплексных 5-многогранников

Правильные комплексные 5-многогранники в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$ или выше существуют в трех семьях, настоящие симплексы и обобщенные гиперкуб, и ортоплекс.

Космос	Группа	порядок	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	Ван Осс многоугольник	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {5}}$	G (1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α₅ = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	никто	Реальный 5-симплекс
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {5}}$	G (2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	β² ₅ = β₅ = {3,3,3,4}	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	Реальный 5-ортоплекс Такой же как , заказ 1920
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {5}}$	G (2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	γ² ₅ = γ₅ = {4,3,3,3}	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	никто	Реальный 5-куб Такой же как {}⁵ или , заказ 32
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (п, 1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_п	120п⁵	β^п ₅ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}_п	5п	10п² {}	10п³ {3}	5п⁴ {3,3}	п⁵ {3,3,3}	₂{4}_п	Обобщенный 5-ортоплекс Такой же как , заказ 120п⁴
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (п, 1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_п	120п⁵	γ^п ₅ = _п{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	п⁵	5п⁴ _п{}	10п³ _п{4}₂	10п² _п{4}₂{3}₂	5п _п{4}₂{3}₂{3}₂	никто	Обобщенный 5-куб Такой же как _п{}⁵ или , порядок п⁵
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (3,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₃	29160	β³ ₅ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	₂{4}₃	Такой же как , заказ 9720
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (3,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₃	29160	γ³ ₅ = ₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	243	405 ₃{}	270 ₃{4}₂	90 ₃{4}₂{3}₂	15 ₃{4}₂{3}₂{3}₂	никто	Такой же как ₃{}⁵ или , заказ 243
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (4,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₄	122880	β⁴ ₅ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	₂{4}₄	Такой же как , заказ 30720
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (4,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₄	122880	γ⁴ ₅ = ₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	1024	1280 ₄{}	640 ₄{4}₂	160 ₄{4}₂{3}₂	20 ₄{4}₂{3}₂{3}₂	никто	Такой же как ₄{}⁵ или , заказ 1024
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (5,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₅	375000	β⁵ ₅ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{5}₅	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	₂{5}₅	Такой же как , заказ 75000
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (5,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₅	375000	γ⁵ ₅ = ₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	3125	3125 ₅{}	1250 ₅{5}₂	250 ₅{5}₂{3}₂	25 ₅{4}₂{3}₂{3}₂	никто	Такой же как ₅{}⁵ или , заказ 3125
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (6,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₆	933210	β⁶ ₅ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	₂{4}₆	Такой же как , заказ 155520
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	G (6,1,5) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₆	933210	γ⁶ ₅ = ₆{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	7776	6480 ₆{}	2160 ₆{4}₂	360 ₆{4}₂{3}₂	30 ₆{4}₂{3}₂{3}₂	никто	Такой же как ₆{}⁵ или , заказ 7776

Визуализации правильных комплексных 5-многогранников

Обобщенные 5-ортоплексы

Обобщенные 5-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы.

Реальный {3,3,3,4}, , с 10 вершинами, 40 ребрами, 80 гранями, 80 ячейками и 32 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃, , с 15 вершинами, 90 ребрами, 270 гранями, 405 ячейками и 243 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, , с 20 вершинами, 160 ребрами, 640 гранями, 1280 ячейками и 1024 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, , с 25 вершинами, 250 ребрами, 1250 гранями, 3125 ячейками и 3125 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, , с 30 вершинами, 360 ребрами, 2160 гранями, 6480 ячейками, 7776 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, , с 35 вершинами, 490 ребрами, 3430 гранями, 12005 ячеек, 16807 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, , с 40 вершинами, 640 ребрами, 5120 гранями, 20480 ячейками, 32768 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, , с 45 вершинами, 810 ребрами, 7290 гранями, 32805 ячейками, 59049 4-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, , с 50 вершинами, 1000 ребер, 10000 граней, 50000 ячеек, 100000 4-граней

Обобщенные 5-кубы

Обобщенные 5-кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция как , продукт пяти п-гональные 1-многогранники. Элементы - это обобщенные кубы меньшей размерности.

Реальный {4,3,3,3}, , с 32 вершинами, 80 ребрами, 80 гранями, 40 ячейками и 10 4-гранями
₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 243 вершинами, 405 ребрами, 270 гранями, 90 ячейками и 15 4-гранями
₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 1024 вершинами, 1280 ребрами, 640 гранями, 160 ячейками и 20 4-гранями
₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 3125 вершинами, 3125 ребрами, 1250 гранями, 250 ячейками и 25 4-гранями
₆{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 7776 вершинами, 6480 ребрами, 2160 гранями, 360 ячейками и 30 4-гранями

Перечисление правильных комплексных 6-многогранников

Космос	Группа	порядок	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	Ван Осс многоугольник	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$	G (1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α₆ = {3,3,3,3,3}	7	21 {}	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	никто	Реальный 6-симплекс
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$	G (2,1,6) [3,3,3,4]	46080	β² ₆ = β₆ = {3,3,3,4}	12	60 {}	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{4}	Реальный 6-ортоплекс Такой же как , заказ 23040
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6}}$	G (2,1,6) [3,3,3,4]	46080	γ² ₆ = γ₆ = {4,3,3,3}	64	192 {}	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	никто	Реальный 6-куб Такой же как {}⁶ или , заказ 64
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	G (п, 1,6) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_п	720п⁶	β^п ₆ = ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}_п	6п	15п² {}	20п³ {3}	15п⁴ {3,3}	6п⁵ {3,3,3}	п⁶ {3,3,3,3}	₂{4}_п	Обобщенный 6-ортоплекс Такой же как , заказ 720п⁵
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	G (п, 1,6) ₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_п	720п⁶	γ^п ₆ = _п{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	п⁶	6п⁵ _п{}	15п⁴ _п{4}₂	20п³ _п{4}₂{3}₂	15п² _п{4}₂{3}₂{3}₂	6п _п{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	никто	Обобщенный 6-куб Такой же как _п{}⁶ или , порядок п⁶

Визуализации правильных комплексных 6-многогранников

Обобщенные 6-ортоплексы

Обобщенные 6-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярная форма как . Все элементы симплексы.

Реальный {3,3,3,3,4}, , с 12 вершинами, 60 ребрами, 160 гранями, 240 ячейками, 192 4-гранями и 64 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃, , с 18 вершинами, 135 ребрами, 540 гранями, 1215 ячейками, 1458 4-гранями и 729 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, , с 24 вершинами, 240 ребрами, 1280 граней, 3840 ячеек, 6144 4-гранями и 4096 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, , с 30 вершинами, 375 ребрами, 2500 гранями, 9375 ячейками, 18750 4-гранями и 15625 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, , с 36 вершинами, 540 ребрами, 4320 гранями, 19440 ячейками, 46656 4-гранями и 46656 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, , с 42 вершинами, 735 ребрами, 6860 гранями, 36015 ячеек, 100842 4-гранями, 117649 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, , с 48 вершинами, 960 ребрами, 10240 гранями, 61440 ячеек, 196608 4-гранями, 262144 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, , с 54 вершинами, 1215 ребрами, 14580 граней, 98415 ячеек, 354294 4-гранями, 531441 5-гранями
₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, , с 60 вершинами, 1500 ребер, 20000 граней, 150000 ячеек, 600000 4-граней, 1000000 5-граней

Обобщенные 6-кубы

Обобщенные 6-кубы имеют правильную конструкцию как и призматическая конструкция как , продукт шести п-гональные 1-многогранники. Элементы - это обобщенные кубы меньшей размерности.

Реальный {3,3,3,3,3,4}, , с 64 вершинами, 192 ребрами, 240 гранями, 160 ячейками, 60 4-гранями и 12 5-гранями
₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 729 вершинами, 1458 ребрами, 1215 гранями, 540 ячейками, 135 4-гранями и 18 5-гранями
₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 4096 вершинами, 6144 ребрами, 3840 гранями, 1280 ячеек, 240 4-гранями и 24 5-гранями
₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , с 15625 вершинами, 18750 ребрами, 9375 гранями, 2500 ячейками, 375 4-гранями и 30 5-гранями

Перечень регулярных сложных апейотопов.

Коксетер перечислил этот список нестандартных регулярных сложных апейротопов или сот.^[33]

Для каждого измерения существует 12 апейотопов, обозначенных как δ^п,р
_{п + 1} существует в любых измерениях ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ , или ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ если п=q= 2. Кокстер называет эти обобщенные кубические соты п>2.^[34]

У каждого есть пропорциональное количество элементов, указанное как:

k-лиц =

{ Displaystyle {п выбрать k} p ^ {n-k} r ^ {k}}

, где

{ displaystyle {n choose m} = { frac {n!} {m! , (n-m)!}}}

и п! обозначает факториал из п.

Правильные комплексные 1-многогранники

Единственный правильный комплексный 1-многогранник - это _∞{}, или же . Его реальное представление - это апейрогон, {∞} или .

Регулярные сложные апейрогоны

Некоторые подгруппы апейрогональных пастушьих групп

11 сложных апейрогонов _п{q}_р с внутренними краями, окрашенными в голубой цвет, а края вокруг одной вершины окрашены индивидуально. Вершины показаны маленькими черными квадратами. Края видны как п-сторонние правильные многоугольники и вершинные фигуры р-гональный.

Квазирегулярный апейрогон

представляет собой смесь двух обычных апейрогонов

и

здесь с синими и розовыми краями.

имеет только один цвет краев, потому что q странно, что делает его двойным покрытием.

Сложные апейрогоны 2-го ранга обладают симметрией _п[q]_р, где 1 /п + 2/q + 1/р = 1. Кокстер выражает их как δ^п,р
₂ где q вынужден удовлетворять $q = 2/(1 - (п + р)/ пр)$ .^[35]

Есть 8 решений:

₂[∞]₂	₃[12]₂	₄[8]₂	₆[6]₂	₃[6]₃	₆[4]₃	₄[4]₄	₆[3]₆

Есть два исключенных решения odd q и неравный п и р: ₁₀[5]₂ и ₁₂[3]₄, или и .

Обычный сложный апейрогон _п{q}_р имеет п-ребра и р-кональные вершинные фигуры. Двойной апейрогон _п{q}_р является _р{q}_п. Апейрогон формы _п{q}_п самодвойственен. Группы формы _п[2q]₂ иметь полусимметрию _п[q]_п, так что обычный апейрогон то же самое, что и квазирегулярный .^[36]

Апейрогоны могут быть представлены на Самолет Арганд разделяют четыре различных расположения вершин. Апейрогоны формы ₂{q}_р имеют расположение вершин как {q/2,п}. Форма _п{q}₂ имеют расположение вершин как r {п,q/ 2}. Апейрогоны формы _п{4}_р иметь расположение вершин {п,р}.

Включая аффинные узлы и ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ , есть еще 3 бесконечных решения: _∞[2]_∞, _∞[4]₂, _∞[3]₃, и , , и . Первая - это подгруппа индекса 2 второй. Вершины этих апейрогонов существуют в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$ .

2 место
Космос	Группа	Апейрогон	Край	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ респ.^[37]	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {1}}$	₂[∞]₂ = [∞]	δ^2,2 ₂ = {∞}	{}		Реальный апейрогон Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ / ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	_∞[4]₂	_∞{4}₂	_∞{}	{4,4}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	_∞[3]₃	_∞{3}₃	_∞{}	{3,6}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	_п[q]_р	δ^{п, г} ₂ = _п{q}_р	_п{}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₃[12]₂	δ^3,2 ₂ = ₃{12}₂	₃{}	г {3,6}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₃[12]₂	δ^2,3 ₂ = ₂{12}₃	{}	{6,3}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₃[6]₃	δ^3,3 ₂ = ₃{6}₃	₃{}	{3,6}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₄[8]₂	δ^4,2 ₂ = ₄{8}₂	₄{}	{4,4}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₄[8]₂	δ^2,4 ₂ = ₂{8}₄	{}	{4,4}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₄[4]₄	δ^4,4 ₂ = ₄{4}₄	₄{}	{4,4}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₆[6]₂	δ^6,2 ₂ = ₆{6}₂	₆{}	г {3,6}	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₆[6]₂	δ^2,6 ₂ = ₂{6}₆	{}	{3,6}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₆[4]₃	δ^6,3 ₂ = ₆{4}₃	₆{}	{6,3}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₆[4]₃	δ^3,6 ₂ = ₃{4}₆	₃{}	{3,6}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {1}}$	₆[3]₆	δ^6,6 ₂ = ₆{3}₆	₆{}	{3,6}	Такой же как

Правильные комплексные апейроэдры

Имеется 22 правильных комплексных апейроэдра вида _п{а}_q{б}_р. 8 самодуальных (п=р и а=б), а 14 существуют в виде пар двойственных многогранников. Три вполне реальные (п=q=р=2).

Кокстер символизирует 12 из них как δ^п,р
₃ или _п{4}₂{4}_р - регулярная форма произведения апейотопа δ^п,р
₂ × δ^п,р
₂ или _п{q}_р × _п{q}_р, где q определяется из п и р.

такой же как , а также , за п,р= 2,3,4,6. Также = .^[38]

3 место
Космос	Группа	Апейроэдр	Вершина	Край		Лицо		ван Осс апейрогон	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₂[3]₂[4]_∞	_∞{4}₂{3}₂			_∞{}		_∞{4}₂		Такой же как _∞{}×_∞{}×_∞{} или же Реальное представление {4,3,4}
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	_п[4]₂[4]_р	_п{4}₂{4}_р	п²	2pq	_п{}	р²	_п{4}₂	₂{q}_р	Такой же как , п,р=2,3,4,6
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$	[4,4]	δ^2,2 ₃ = {4,4}	4	8	{}	4	{4}	{∞}	Реальный квадратная черепица Такой же как или или
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₃[4]₂[4]₂ ₃[4]₂[4]₃ ₄[4]₂[4]₂ ₄[4]₂[4]₄ ₆[4]₂[4]₂ ₆[4]₂[4]₃ ₆[4]₂[4]₆	₃{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₃ ₃{4}₂{4}₃ ₄{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₄ ₄{4}₂{4}₄ ₆{4}₂{4}₂ ₂{4}₂{4}₆ ₆{4}₂{4}₃ ₃{4}₂{4}₆ ₆{4}₂{4}₆	9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	₃{} {} ₃{} ₄{} {} ₄{} ₆{} {} ₆{} ₃{} ₆{}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	₃{4}₂ {4} ₃{4}₂ ₄{4}₂ {4} ₄{4}₂ ₆{4}₂ {4} ₆{4}₂ ₃{4}₂ ₆{4}₂	_п{q}_р	Такой же как или или Такой же как Такой же как Такой же как или или Такой же как Такой же как Такой же как или или Такой же как Такой же как Такой же как Такой же как

Космос	Группа	Апейроэдр	Вершина	Край		Лицо		ван Осс апейрогон	Примечания
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₂[4]_р[4]₂	₂{4}_р{4}₂	2		{}	2	_п{4}_2'	₂{4}_р	Такой же как и , г = 2,3,4,6
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$	[4,4]	{4,4}	2	4	{}	2	{4}	{∞}	Такой же как и
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₂[4]₃[4]₂ ₂[4]₄[4]₂ ₂[4]₆[4]₂	₂{4}₃{4}₂ ₂{4}₄{4}₂ ₂{4}₆{4}₂	2	9 16 36	{}	2	₂{4}₃ ₂{4}₄ ₂{4}₆	₂{q}_р	Такой же как и Такой же как и Такой же как и ^[39]

Космос	Группа	Апейроэдр	Вершина	Край		Лицо		ван Осс апейрогон	Примечания
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{3,6}	1	3	{}	2	{3}	{∞}	Реальный треугольная черепица
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$	₂[6]₂[3]₂ = [6,3]	{6,3}	2	3	{}	1	{6}	никто	Реальный шестиугольная черепица
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₃[4]₃[3]₃	₃{3}₃{4}₃	1	8	₃{}	3	₃{3}₃	₃{4}₆	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₃[4]₃[3]₃	₃{4}₃{3}₃	3	8	₃{}	2	₃{4}₃	₃{12}₂
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₄[3]₄[3]₄	₄{3}₄{3}₄	1	6	₄{}	1	₄{3}₄	₄{4}₄	Самодвойственный, такой же, как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₄[3]₄[4]₂	₄{3}₄{4}₂	1	12	₄{}	3	₄{3}₄	₂{8}₄	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$	₄[3]₄[4]₂	₂{4}₄{3}₄	3	12	{}	1	₂{4}₄	₄{4}₄

Регулярные сложные 3-апейротопы

Есть 16 регулярных сложных апейротопов в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ . Кокстер выражает 12 из них величиной δ^п,р
₃ где q вынужден удовлетворять $q = 2/(1 - (п + р)/ пр)$ . Их также можно разложить на апейотопы продукта: = . Первый случай - это ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ кубические соты.

4 место
Космос	Группа	3-апейротоп	Край	Лицо	Ячейка	ван Осс апейрогон	Примечания
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	_п[4]₂[3]₂[4]_р	δ^п,р ₃ = _п{4}₂{3}₂{4}_р	_п{}	_п{4}₂	_п{4}₂{3}₂	_п{q}_р	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	₂[4]₂[3]₂[4]₂ =[4,3,4]	δ^2,2 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₂	{}	{4}	{4,3}		Кубические соты Такой же как или или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₃[4]₂[3]₂[4]₂	δ^3,2 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₂	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Такой же как или или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₃[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,3 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₃	{}	{4}	{4,3}		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₃[4]₂[3]₂[4]₃	δ^3,3 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₃	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₄[4]₂[3]₂[4]₂	δ^4,2 ₃ = ₄{4}₂{3}₂{4}₂	₄{}	₄{4}₂	₄{4}₂{3}₂		Такой же как или или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₄[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,4 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₄	{}	{4}	{4,3}		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₄[4]₂[3]₂[4]₄	δ^4,4 ₃ = ₄{4}₂{3}₂{4}₄	₄{}	₄{4}₂	₄{4}₂{3}₂		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₆[4]₂[3]₂[4]₂	δ^6,2 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₂	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Такой же как или или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₆[4]₂[3]₂[4]₂	δ^2,6 ₃ = ₂{4}₂{3}₂{4}₆	{}	{4}	{4,3}		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₆[4]₂[3]₂[4]₃	δ^6,3 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₃	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₆[4]₂[3]₂[4]₃	δ^3,6 ₃ = ₃{4}₂{3}₂{4}₆	₃{}	₃{4}₂	₃{4}₂{3}₂		Такой же как
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₆[4]₂[3]₂[4]₆	δ^6,6 ₃ = ₆{4}₂{3}₂{4}₆	₆{}	₆{4}₂	₆{4}₂{3}₂		Такой же как

Ранг 4, исключительные случаи
Космос	Группа	3-апейротоп	Вершина	Край	Лицо	Ячейка	ван Осс апейрогон	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₂[4]₃[3]₃[3]₃	₃{3}₃{3}₃{4}₂	1	24 ₃{}	27 ₃{3}₃	2 ₃{3}₃{3}₃	₃{4}₆	Такой же как
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₂[4]₃[3]₃[3]₃	₂{4}₃{3}₃{3}₃	2	27 {}	24 ₂{4}₃	1 ₂{4}₃{3}₃	₂{12}₃
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₂[3]₂[4]₃[3]₃	₂{3}₂{4}₃{3}₃	1	27 {}	72 ₂{3}₂	8 ₂{3}₂{4}₃	₂{6}₆
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	₂[3]₂[4]₃[3]₃	₃{3}₃{4}₂{3}₂	8	72 ₃{}	27 ₃{3}₃	1 ₃{3}₃{4}₂	₃{6}₃	Такой же как или

Регулярные сложные 4-апейротопы

Есть 15 регулярных сложных апейротопов в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$ . Кокстер выражает 12 из них величиной δ^п,р
₄ где q вынужден удовлетворять $q = 2/(1 - (п + р)/ пр)$ . Их также можно разложить на продуктовые апейотопы: = . Первый случай - это ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ тессерактические соты. В 16-ячеечные соты и 24-ячеечные соты реальные решения. Последнее сгенерированное решение имеет Многогранник Виттинга элементы.

5 место
Космос	Группа	4-апейротоп	Вершина	Край	Лицо	Ячейка	4-гранный	ван Осс апейрогон	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	_п[4]₂[3]₂[3]₂[4]_р	δ^п,р ₄ = _п{4}₂{3}₂{3}₂{4}_р		_п{}	_п{4}₂	_п{4}₂{3}₂	_п{4}₂{3}₂{3}₂	_п{q}_р	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	₂[4]₂[3]₂[3]₂[4]₂	δ^2,2 ₄ = {4,3,3,3}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Тессерактические соты Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	₂[3]₂[4]₂[3]₂[3]₂ =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	1	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Реальный 16-ячеечные соты Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	₂[3]₂[4]₂[3]₂[3]₂ =[3,4,3,3]	{3,4,3,3}	3	24 {}	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Реальный 24-ячеечные соты Такой же как или
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	₃[3]₃[3]₃[3]₃[3]₃	₃{3}₃{3}₃{3}₃{3}₃	1	80 ₃{}	270 ₃{3}₃	80 ₃{3}₃{3}₃	1 ₃{3}₃{3}₃{3}₃	₃{4}₆	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {8}}$ представление 5₂₁

Регулярные сложные 5-апейротопы и выше

Регулярных сложных апейротопов всего 12. ${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$ или выше,^[40] выразил δ^п,р
_п где q вынужден удовлетворять $q = 2/(1 - (п + р)/ пр)$ . Их также можно разложить на продукт п апейрогоны: ... = ... . Первый случай - настоящий ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ гиперкубические соты.

Ранг 6
Космос	Группа	5-апейротопы	Вершины	Край	Лицо	Ячейка	4-гранный	5-гранный	ван Осс апейрогон	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	_п[4]₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]_р	δ^п,р ₅ = _п{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}_р		_п{}	_п{4}₂	_п{4}₂{3}₂	_п{4}₂{3}₂{3}₂	_п{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂	_п{q}_р	Такой же как
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {5}}$	₂[4]₂[3]₂[3]₂[3]₂[4]₂ =[4,3,3,3,4]	δ^2,2 ₅ = {4,3,3,3,4}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5-кубовые соты Такой же как

многоугольник ван Осса

Красный квадрат многоугольник ван Осса в плоскости ребра и центра правильного октаэдра.

А многоугольник ван Осса - правильный многоугольник на плоскости (реальная плоскость ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , или унитарная плоскость ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ ), в котором лежат и ребро, и центр тяжести правильного многогранника, образованный элементами многогранника. Не все правильные многогранники имеют многоугольники Ван Осса.

Например, многоугольники Ван Осса реального октаэдр это три квадрата, плоскости которых проходят через его центр. В отличие от куб не имеет многоугольника Ван Осса, потому что плоскость от края до центра пересекает две квадратные грани по диагонали, а два ребра куба, лежащие в плоскости, не образуют многоугольник.

Бесконечные соты также имеют ван Осс апейрогоны. Например, настоящий квадратная черепица и треугольная черепица имеют апейрогоны {∞} апейрогоны ван Осса.^[41]

Если он существует, то многоугольник ван Осса правильного комплексного многогранника вида _п{q}_р{s}_т... имеет п-ребра.

Неправильные комплексные многогранники

Многогранники сложного произведения

Пример сложного многогранника произведения
Многоугольник сложного продукта или {} ×₅{} имеет 10 вершин, соединенных 5 2-ребрами и 2 5-ребрами, с его реальным представлением в виде 3-мерного пятиугольная призма.	Двойной многоугольник, {} +₅{} имеет 7 вершин с центрами на краях оригинала, соединенных 10 ребрами. Его реальное представление - это пятиугольная бипирамида.

Некоторые сложные многогранники можно представить в виде Декартовы произведения. Эти многогранники-произведения не являются строго регулярными, поскольку у них будет более одного типа фасетов, но некоторые могут представлять более низкую симметрию регулярных форм, если все ортогональные многогранники идентичны. Например, товар _п{}×_п{} или же двух одномерных многогранников совпадает с правильным _п{4}₂ или . Более общие продукты, например _п{}×_q{} имеют реальные представления в виде 4-мерного п-q дуопризма. Двойник многогранника-произведения можно записать в виде суммы _п{}+_q{} и имеют реальные представления в виде четырехмерного п-q дуопирамида. В _п{}+_п{} может иметь удвоенную симметрию как правильный комплексный многогранник ₂{4}_п или .

Аналогично ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ сложный многогранник можно построить как тройное произведение: _п{}×_п{}×_п{} или же такой же, как и обычный обобщенный куб, _п{4}₂{3}₂ или , а также товар _п{4}₂×_п{} или же .^[42]

Квазирегулярные многоугольники

А квазирегулярный многоугольник - это усечение правильного многоугольника. Квазирегулярный многоугольник содержит альтернативные ребра правильных многоугольников и . Квазирегулярный многоугольник имеет п вершины на p-ребрах правильной формы.

Пример квазирегулярных многоугольников
_п[q]_р	₂[4]₂	₃[4]₂	₄[4]₂	₅[4]₂	₆[4]₂	₇[4]₂	₈[4]₂	₃[3]₃	₃[4]₃
Обычный	4 2-кромки	9 3 кромки	16 4-граней	25 5-граней	36 6-граней	49 8-граней	64 8 кромок
Квазирегулярный	= 4 + 4 2 ребра	6 2-граней 9 3 кромки	8 2-гранный 16 4-граней	10 2-гранный 25 5-граней	12 2-гранный 36 6-граней	14 2-гранный 49 7-граней	16 2-граней 64 8 кромок	=	=
Обычный	4 2-кромки	6 2-граней	8 2-гранный	10 2-гранный	12 2-гранный	14 2-гранный	16 2-граней

Квазирегулярные апейрогоны

Есть 7 квазирегулярных сложных апейрогонов, чередующихся ребра обычный апейрогон и его обычный двойник. В расположение вершин этих апейрогонов имеют вещественные представления с регулярными и однородными мозаиками евклидовой плоскости. Последний столбец для апейрогона 6 {3} 6 не только самодвойственный, но и дуальный совпадает с самим собой с перекрывающимися шестиугольными краями, поэтому их квазирегулярная форма также имеет перекрывающиеся шестиугольные края, поэтому его нельзя нарисовать двумя чередующимися цветами как и другие. Симметрия самодвойственных семейств может быть увеличена вдвое, создавая геометрию, идентичную обычным формам: =

_п[q]_р	₄[4]₄	₃[6]₃	₆[3]₆
Обычный или _п{q}_р
Квазирегулярный	=	=	=
Обычный двойной или _р{q}_п

Квазирегулярные многогранники

Пример усечения 3-обобщенного октаэдра, ₂{3}₂{4}₃,

, до его исправленного предела, показывая вначале обведенные зеленые треугольники лица и синие ₂{4}₃,

, фигуры вершин расширяются как новые грани.

Как и реальные многогранники, сложный квазирегулярный многогранник может быть построен как исправление (полный усечение ) правильного многогранника. Вершины создаются посредине ребра правильного многогранника, а грани правильного многогранника и его двойственные чередуются поперек общих ребер.

Например, p-обобщенный куб, , имеет п³ вершины, 3п² края и 3п п-общие квадратные грани, а п-обобщенный октаэдр, , имеет 3п вершины, 3п² края и п³ треугольные грани. Средняя квазирегулярная форма п-обобщенный кубооктаэдр, , имеет 3п² вершины, 3п³ края и 3п+п³ лица.

Так же исправление из Гессенский многогранник , является , квазирегулярная форма, разделяющая геометрию правильного комплексного многогранника .

Квазирегулярные примеры
Обобщенный куб / октаэдр						Гессенский многогранник
	p = 2 (реальный)	р = 3	р = 4	р = 5	р = 6	Гессенский многогранник
Обобщенный кубики (обычный)	Куб , 8 вершин, 12 2-ребер и 6 граней.	, 27 вершин, 27 3-ребер и 9 граней, с одним лицо синее и красное	, 64 вершины, 48 4-ребер и 12 граней.	, 125 вершин, 75 5-ребер и 15 граней.	, 216 вершин, 108 6-ребер и 18 граней.	, 27 вершин, 72 6-ребер и 27 граней.
Обобщенный кубооктаэдр (квазирегулярный)	Кубооктаэдр , 12 вершин, 24 2-ребра и 6 + 8 граней.	, 27 вершин, 81 2-ребро и 9 + 27 граней, с одним лицо синее	, 48 вершин, 192 2-ребра и 12 + 64 грани с одной лицо синее	, 75 вершин, 375 2-ребер и 15 + 125 граней.	, 108 вершин, 648 2-ребер и 18 + 216 граней.	= , 72 вершины, 216 3-ребер и 54 грани.
Обобщенный октаэдры (обычный)	Октаэдр , 6 вершин, 12 2-ребер и 8 {3} граней.	, 9 вершин, 27 2-ребер и 27 {3} граней.	, 12 вершин, 48 2-ребер и 64 {3} грани.	, 15 вершин, 75 2-ребер и 125 {3} граней.	, 18 вершин, 108 2-ребер и 216 {3} граней.	, 27 вершин, 72 6-ребер и 27 граней.

Другие сложные многогранники с унитарными отражениями периода два

Другие нерегулярные комплексные многогранники могут быть построены в унитарных группах отражений, которые не образуют линейные графы Кокстера. На диаграммах Кокстера с петлями Кокстер отмечает особый интерьер периода, например или символ (1₁ 1 1)³, и группа [1 1 1]³.^[43]^[44] Эти сложные многогранники систематически не исследовались, за исключением нескольких случаев.

Группа определяется тремя унитарными отражениями, R₁, Р₂, Р₃, все порядка 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁р₂)³ = (R₂р₃)³ = (R₃р₁)³ = (R₁р₂р₃р₁)^п = 1. Период п можно рассматривать как двойное вращение в действительности ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ .

Как и все Конструкции Wythoff, многогранники, порожденные отражениями, количество вершин многогранника с однокольцевой диаграммой Кокстера равно порядку группы, деленному на порядок подгруппы, в которой удален окольцованный узел. Например, настоящий куб имеет диаграмму Кокстера , с участием октаэдрическая симметрия порядка 48 и подгрупповой диэдральной симметрии порядка 6, поэтому количество вершин куба 48/6 = 8. Фасеты создаются путем удаления одного узла, наиболее удаленного от кольцевого узла, например для куба. Фигуры вершин генерируются путем удаления кольцевого узла и звонка одному или нескольким подключенным узлам, и для куба.

Кокстер представляет эти группы следующими символами. Некоторые группы имеют одинаковый порядок, но разную структуру, определяя одинаковые расположение вершин в сложных многогранниках, но с разными ребрами и более высокими элементами, например и с п≠3.^[45]

Группы, порожденные унитарными отражениями
Диаграмма Кокстера	порядок	Символ или положение в таблице VII Шепарда и Тодда (1954)
, ( и ), , ...	п^{п − 1} п!, п ≥ 3	г(п, п, п), [п], [1 1 1]^п, [1 1 (п−2)^п]³
,	72·6!, 108·9!	№№ 33, 34, [1 2 2]³, [1 2 3]³
, ( и ), ( и )	14·4!, 3·6!, 64·5!	№№ 24, 27, 29

Кокстер называет некоторые из этих сложных многогранников почти обычный потому что они имеют правильные грани и вершины. Первый - это форма более низкой симметрии обобщенного кросс-политопа в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$ . Второй - дробный обобщенный куб, сокращающий п-ребра в одиночные вершины, оставляя обычные 2-ребра. Три из них связаны с конечный правильный косой многогранник в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ .

Некоторые почти правильные комплексные многогранники^[46]
Космос	Группа	порядок	Coxeter символы	Вершины	Края	Лица	Вершина фигура	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1^п]³ п=2,3,4...	6п²	(1 1 1₁^п)³	3п	3п²	{3}	{2п}	Символ Шепарда (1 1; 1₁)^п то же, что и β^п ₃ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1^п]³ п=2,3,4...	6п²	(1₁ 1 1^п)³	п²		{3}	{6}	Символ Шепарда (1₁ 1; 1)^п 1/п γ^п ₃
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	[1 1 1²]³	24	(1 1 1₁²)³	6	12	8 {3}	{4}	То же, что и β² ₃ = = реальный октаэдр
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$	[1 1 1²]³	24	(1₁ 1 1²)³	4	6	4 {3}	{3}	1/2 γ² ₃ = = α₃ = реальный тетраэдр
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1]³	54	(1 1 1₁)³	9	27	{3}	{6}	Символ Шепарда (1 1; 1₁)³ то же, что и β³ ₃ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1]³	54	(1₁ 1 1)³	9	27	{3}	{6}	Символ Шепарда (1₁ 1; 1)³ 1/3 γ³ ₃ = β³ ₃
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]³	96	(1 1 1₁⁴)³	12	48	{3}	{8}	Символ Шепарда (1 1; 1₁)⁴ то же, что и β⁴ ₃ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]³	96	(1₁ 1 1⁴)³	16		{3}	{6}	Символ Шепарда (1₁ 1; 1)⁴ 1/4 γ⁴ ₃
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁵]³	150	(1 1 1₁⁵)³	15	75	{3}	{10}	Символ Шепарда (1 1; 1₁)⁵ то же, что и β⁵ ₃ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁵]³	150	(1₁ 1 1⁵)³	25		{3}	{6}	Символ Шепарда (1₁ 1; 1)⁵ 1/5 γ⁵ ₃
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁶]³	216	(1 1 1₁⁶)³	18	216	{3}	{12}	Символ Шепарда (1 1; 1₁)⁶ то же, что и β⁶ ₃ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁶]³	216	(1₁ 1 1⁶)³	36		{3}	{6}	Символ Шепарда (1₁ 1; 1)⁶ 1/6 γ⁶ ₃
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]⁴	336	(1 1 1₁⁴)⁴	42	168	112 {3}	{8}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {3,8\|,4} = {3,8}₈
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]⁴	336	(1₁ 1 1⁴)⁴	56		{3}	{6}
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁵]⁴	2160	(1 1 1₁⁵)⁴	216	1080	720 {3}	{10}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {3,10 \|, 4} = {3,10}₈
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁵]⁴		(1₁ 1 1⁵)⁴	360		{3}	{6}
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]⁵		(1 1 1₁⁴)⁵	270	1080	720 {3}	{8}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {3,8 \|, 5} = {3,8}₁₀
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1 1⁴]⁵		(1₁ 1 1⁴)⁵	360		{3}	{6}

Кокстер определяет другие группы с антиунитарными конструкциями, например эти три. Первый был обнаружен и нарисован Питер МакМаллен в 1966 г.^[47]

Более почти правильные комплексные многогранники^[48]
Космос	Группа	порядок	Coxeter символы	Вершины	Края	Лица	Вершина фигура	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1 1⁴ 1⁴]⁽³⁾	336	(1₁ 1⁴ 1⁴)⁽³⁾	56	168	84 {4}	{6}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {4,6 \|, 3} = {4,6}₆
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1⁵ 1⁴ 1⁴]⁽³⁾	2160	(1₁⁵ 1⁴ 1⁴)⁽³⁾	216	1080	540 {4}	{10}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {4,10 \|, 3} = {4,10}₆
${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$	[1⁴ 1⁵ 1⁵]⁽³⁾	2160	(1₁⁴ 1⁵ 1⁵)⁽³⁾	270	1080	432 {5}	{8}	${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ представление {5,8 \|, 3} = {5,8}₆

Некоторые сложные 4-многогранники^[49]
Космос	Группа	порядок	Coxeter символы	Вершины	Другой элементы	Клетки	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2^п]³ п=2,3,4...	24п³	(1 1 2₂^п)³	4п			Шепард (2₂ 1; 1)^п то же, что и β^п ₄ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2^п]³ п=2,3,4...	24п³	(1₁ 1 2^п )³	п³			Шепард (2 1; 1₁)^п 1/п γ^п ₄
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	[1 1 2²]³ =[3^1,1,1]	192	(1 1 2₂²)³	8	24 края 32 лица	16	β² ₄ = , настоящий 16 ячеек
${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$	[1 1 2²]³ =[3^1,1,1]	192	(1₁ 1 2² )³	8	24 края 32 лица	16	1/2 γ² ₄ = = β² ₄, настоящий 16 ячеек
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2]³	648	(1 1 2₂)³	12			Шепард (2₂ 1; 1)³ то же, что и β³ ₄ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2]³	648	(1₁ 1 2³)³	27			Шепард (2 1; 1₁)³ 1/3 γ³ ₄
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2⁴]³	1536	(1 1 2₂⁴)³	16			Шепард (2₂ 1; 1)⁴ то же, что и β⁴ ₄ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2⁴]³	1536	(1₁ 1 2⁴ )³	64			Шепард (2 1; 1₁)⁴ 1/4 γ⁴ ₄
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1⁴ 1 2]³	7680	(2₂ 1⁴ 1)³	80			Шепард (2₂ 1; 1)⁴
			(1₁⁴ 1 2)³	160			Шепард (2 1; 1₁)⁴
			(1₁ 1⁴ 2)³	320			Шепард (2 1₁; 1)⁴
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2]⁴		(1 1 2₂)⁴	80	640 граней 1280 треугольников	640
${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$	[1 1 2]⁴		(1₁ 1 2)⁴	320

Некоторые сложные 5-многогранники^[50]
Космос	Группа	порядок	Coxeter символы	Вершины	Примечания
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	[1 1 3^п]³ п=2,3,4...	120п⁴	(1 1 3₃^п)³	5п	Шепард (3₃ 1; 1)^п то же, что и β^п ₅ =
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	[1 1 3^п]³ п=2,3,4...	120п⁴	(1₁ 1 3^п)³	п⁴	Шепард (3 1; 1₁)^п 1/п γ^п ₅
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	[2 2 1]³	51840	(2 1 2₂)³	80	Шепард (2 1; 2₂)³
${ displaystyle mathbb {C} ^ {5}}$	[2 2 1]³	51840	(2 1₁ 2)³	432	Шепард (2 1₁; 2)³

Некоторые сложные 6-многогранники^[51]
Космос	Группа	порядок	Coxeter символы	Вершины	Примечания
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	[1 1 4^п]³ п=2,3,4...	720п⁵	(1 1 4₄^п)³	6п	Шепард (4₄ 1; 1)^п то же, что и β^п ₆ =
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	[1 1 4^п]³ п=2,3,4...	720п⁵	(1₁ 1 4^п)³	п⁵	Шепард (4 1; 1₁)^п 1/п γ^п ₆
${ Displaystyle mathbb {C} ^ {6}}$	[1 2 3]³	39191040	(2 1 3₃)³	756	Шепард (2 1; 3₃)³
			(2₂ 1 3)³	4032	Шепард (2₂ 1; 3)³
			(2 1₁ 3)³	54432	Шепард (2 1₁; 3)³

Визуализации

(1 1 1₁⁴)⁴, имеет 42 вершины, 168 ребер и 112 треугольных граней, видимых в этой 14-угольной проекции.
(1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, имеет 56 вершин, 168 ребер и 84 квадратных грани, видимых в этой 14-угольной проекции.
(1 1 2₂)⁴, имеет 80 вершин, 640 ребер, 1280 треугольных граней и 640 тетраэдрических ячеек, видимых в этой 20-угольной проекции.^[52]

Смотрите также

Кватернионный многогранник

Примечания

^ Питер Орлик, Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое изображение для групп Шепард. Mathematische Annalen. Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 115
^ Кокстер, Регулярные сложные многогранники, 11.3 Полигон Петри, просто час-угольник, образованный орбитой флага (O₀, O₀О₁) для произведения двух образующих отражений любого незвездного правильного комплексного многоугольника, п₁{q}п₂.
^ Сложные правильные многогранники, 11.1 Правильные сложные многоугольники стр.103
^ Шепард, 1952; «Именно из таких соображений мы выводим понятие внутренности многогранника, и будет видно, что в унитарном пространстве, где числа не могут быть упорядочены таким образом, такое понятие внутренности невозможно. [Параграф] Следовательно. .. мы должны рассматривать унитарные многогранники как конфигурации ».
^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 96
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. xiv
^ Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр. 177, таблица III
^ Лерер и Тейлор 2009, стр.87
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, Таблица IV. Правильные многоугольники. стр. 178–179
^ Сложные многогранники, 8.9 Двумерный случай, стр.88
^ Регулярные комплексные многогранники, Кокстер, стр.177-179.
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 108
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 108
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 109
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 30 диаграмма и стр. 47 индексов для 8 3-граней
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 110
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 110
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 48
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 49
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 116–140.
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 118–119.
^ Коксетер, Регулярные комплексные многогранники, с. 118-119.
^ Сложные правильные многогранники, стр.29
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, таблица V. Нестзвездные правильные многогранники и 4-многогранники. п. 180.
^ Кокстер, Калейдоскопы - Избранные труды H.S.M. Coxeter, Документ 25 Удивительные отношения между унитарными группами размышлений, п. 431.
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 131
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 126
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 125
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 131
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, таблица V. Нестзвездные правильные многогранники и 4-многогранники. п. 180.
^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, Таблица VI. Обычные соты. п. 180.
^ Комплексный правильный многогранник, стр.174
^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, Таблица VI. Обычные соты. п. 111, 136.
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, Таблица IV. Правильные многоугольники. стр. 178–179
^ Коксетер, Регулярные комплексные многогранники, 11.6 апейрогонов, стр. 111-112.
^ Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.140.
^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 139-140.
^ Сложные правильные многогранники, стр.146
^ Сложные правильные многогранники, с.141
^ Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 118–119, 138.
^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, глава 14, Почти правильные многогранникиС. 156–174.
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два., 1956
^ Coxeter, Конечные группы, порожденные унитарными отражениями, 1966, 4. Графическое обозначение, Таблица п-мерные группы, порожденные n унитарными отражениями. стр. 422-423
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413
^ Кокстер, Сложные правильные многогранники, (1991), 14.6 Два многогранника МакМаллена с 84 квадратными гранями, стр. 166-171.
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413
^ Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413
^ Кокстер, Сложные правильные многогранники, стр.172-173

использованная литература

Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
Кокстер, H.S.M. (1991), Регулярные сложные многогранники, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-39490-2
Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,
Shephard, G.C .; Правильные сложные многогранники, Proc. Лондонская математика. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
Г. К. Шепард, Дж. А. Тодд, Конечные унитарные группы отражений, Канадский математический журнал. 6 (1954), 274-304 [2]^{[постоянная мертвая ссылка ]}
Густав И. Лерер и Дональд Э. Тейлор, Унитарные группы отражений, Cambridge University Press, 2009 г.

дальнейшее чтение

Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон и Асия Ивич Вайс, редакторы: Калейдоскопы - Избранные труды H.S.M. Кокстер., Документ 25, Конечные группы, порожденные унитарными отражениями, p 415-425, John Wiley, 1995, ISBN 0-471-01003-0
Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-81496-0 Глава 9 Унитарные группы и эрмитовы формы, стр. 289–298

[1] Питер Орлик, Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое изображение для групп Шепард. Mathematische Annalen. Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]

[2] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 115

[3] Кокстер, Регулярные сложные многогранники, 11.3 Полигон Петри, просто час-угольник, образованный орбитой флага (O₀, O₀О₁) для произведения двух образующих отражений любого незвездного правильного комплексного многоугольника, п₁{q}п₂.

[4] Сложные правильные многогранники, 11.1 Правильные сложные многоугольники стр.103

[5] Шепард, 1952; «Именно из таких соображений мы выводим понятие внутренности многогранника, и будет видно, что в унитарном пространстве, где числа не могут быть упорядочены таким образом, такое понятие внутренности невозможно. [Параграф] Следовательно. .. мы должны рассматривать унитарные многогранники как конфигурации ».

[6] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 96

[7] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. xiv

[8] Кокстер, Комплексные правильные многогранники, стр. 177, таблица III

[9] Лерер и Тейлор 2009, стр.87

[10] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, Таблица IV. Правильные многоугольники. стр. 178–179

[11] Сложные многогранники, 8.9 Двумерный случай, стр.88

[12] Регулярные комплексные многогранники, Кокстер, стр.177-179.

[13] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 108

[14] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 108

[15] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 109

[16] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111

[17] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 30 диаграмма и стр. 47 индексов для 8 3-граней

[18] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 110

[19] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 110

[20] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 48

[21] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 49

[22] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 116–140.

[23] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 118–119.

[24] Коксетер, Регулярные комплексные многогранники, с. 118-119.

[25] Сложные правильные многогранники, стр.29

[26] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, таблица V. Нестзвездные правильные многогранники и 4-многогранники. п. 180.

[27] Кокстер, Калейдоскопы - Избранные труды H.S.M. Coxeter, Документ 25 Удивительные отношения между унитарными группами размышлений, п. 431.

[28] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 131

[29] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 126

[30] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 125

[31] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, с. 131

[32] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, таблица V. Нестзвездные правильные многогранники и 4-многогранники. п. 180.

[33] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, Таблица VI. Обычные соты. п. 180.

[34] Комплексный правильный многогранник, стр.174

[35] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, Таблица VI. Обычные соты. п. 111, 136.

[36] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, Таблица IV. Правильные многоугольники. стр. 178–179

[37] Коксетер, Регулярные комплексные многогранники, 11.6 апейрогонов, стр. 111-112.

[38] Кокстер, Сложные регулярные многогранники, стр.140.

[39] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 139-140.

[40] Сложные правильные многогранники, стр.146

[41] Сложные правильные многогранники, с.141

[42] Кокстер, Правильные комплексные многогранники, стр. 118–119, 138.

[43] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, глава 14, Почти правильные многогранникиС. 156–174.

[44] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два., 1956

[45] Coxeter, Конечные группы, порожденные унитарными отражениями, 1966, 4. Графическое обозначение, Таблица п-мерные группы, порожденные n унитарными отражениями. стр. 422-423

[46] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413

[47] Кокстер, Сложные правильные многогранники, (1991), 14.6 Два многогранника МакМаллена с 84 квадратными гранями, стр. 166-171.

[48] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413

[49] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413

[50] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413

[51] Кокстер, Группы, порожденные унитарными отражениями периода два (1956), Таблица III: Некоторые сложные многогранники, стр. 413

[52] Кокстер, Сложные правильные многогранники, стр.172-173

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]