Тессерактические соты - Tesseractic honeycomb

Тессерактические соты
Перспективная проекция красно-синей шахматной доски 3x3x3x3.
Тип	Обычные соты на 4 места Равномерные 4-соты
Семья	Гиперкубические соты
Символы Шлефли	{4,3,3,4} т0,4{4,3,3,4} {4,3,31,1} {4,4}2 {4,3,4} х {∞} {4,4} х {∞}2 {∞}4
Диаграммы Кокстера-Дынкина
4-гранный тип	{4,3,3}
Тип ячейки	{4,3}
Тип лица	{4}
Край фигура	{3,4} (октаэдр )
Фигура вершины	{3,3,4} (16 ячеек )
Группы Кокстера	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$, [4,3,3,4] ${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$, [4,3,31,1]
Двойной	самодвойственный
Характеристики	вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, лицо переходный, клеточно-транзитивный, 4-гранный переходный

В четырехмерный евклидова геометрия, то тессерактические соты один из трех обычный заполнение пространства мозаика (или же соты ), представлена Символ Шлефли {4,3,3,4}, и построенный 4-мерной упаковкой тессеракт грани.

Его вершина фигуры это 16 ячеек. Два тессеракта встречаются в каждом кубе клетка, четыре встречаются на каждом квадрат лицо, восемь встречаются на каждом край, и шестнадцать встречаются в каждом вершина.

Это аналог квадратная черепица, {4,4}, плоскости и кубические соты, {4,3,4}, из 3-х пространств. Все это часть гиперкубические соты семейство мозаик вида {4,3, ..., 3,4}. Тесселяции в этом семействе Самодвойственный.

Координаты

Вершины этой соты могут быть расположены в 4-м пространстве во всех целочисленных координатах (i, j, k, l).

Упаковка сфер

Как и все обычные гиперкубические соты, тессерактические соты соответствуют упаковка сфер сфер длиной ребро и диаметром с центром в каждой вершине или (вдвойне) вписанными в каждую ячейку. в гиперкубические соты четырех размеров, 3-сферы с центром в вершинах и 3-сферы, вписанные в ячейки, подходят одновременно, образуя уникальный регулярный объемно-центрированный кубический решетка из сфер одинакового размера (в любом количестве измерений). Поскольку тессеракт радиально равносторонний, в отверстии между 16 3-сферами с центром в вершине ровно достаточно места для другой 3-сферы с диаметром ребра и диаметром. (Этот 4-мерная объемно-центрированная кубическая решетка на самом деле представляет собой объединение двух тессерактических сот в двойных положениях.)

Это та же самая плотная из известных регулярных 3-сферических упаковок с номер поцелуя 24, что также видно в двух других регулярных мозаиках четырехмерного пространства. 16-ячеечные соты и 24-элементный сотовый. Каждая вписанная в тессеракт 3-сфера целует окружающую оболочку из 24 3-сфер, 16 в вершинах тессеракта и 8 вписанных в соседние тессеракты. Эти 24 точки поцелуя вершины 24-клеточного радиуса (и длины кромки) 1/2.

Конструкции

Есть много разных Конструкции Wythoff этой соты. Самая симметричная форма - это обычный, с Символ Шлефли {4,3,3,4}. Другая форма имеет два чередующихся тессеракт грани (как шахматная доска) с символом Шлефли {4,3,3^1,1}. Самая низкая симметрия конструкция Wythoff имеет 16 типов граней вокруг каждой вершины и призматическое произведение символа Шлефли {∞}⁴. Один может быть сделан стерилизация еще один.

Связанные многогранники и мозаики

[4,3,3,4], , Группа Кокстера генерирует 31 перестановку однородных мозаик, 21 с четкой симметрией и 20 с отличной геометрией. В расширенный Тессерактические соты (также известные как стерилизованные тессерактические соты) геометрически идентичны тессерактическим сотам. Три симметричные соты относятся к семейству [3,4,3,3]. Два чередования (13) и (17), а также четверть тессерактика (2) повторяются в других семействах.

C4 соты
Расширенный симметрия	Расширенный диаграмма	Заказ	Соты
[4,3,3,4]:		×1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
[[4,3,3,4]]		×2	(1), (2), (13), 18 (6), 19, 20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]] ↔ [(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×6	14, 15, 16, 17

[4,3,3^1,1], , Группа Кокстера генерирует 31 перестановку однородных мозаик, 23 с четкой симметрией и 4 с отличной геометрией. Есть две чередующиеся формы: чередования (19) и (24) имеют ту же геометрию, что и 16-ячеечные соты и курносый 24-элементный сотовый соответственно.

В4 соты
Расширенный симметрия	Расширенный диаграмма	Заказ	Соты
[4,3,31,1]:		×1	5, 6, 7, 8
<[4,3,31,1]>: ↔[4,3,3,4]	↔	×2	9, 10, 11, 12, 13, 14, (10), 15, 16, (13), 17, 18, 19
[3[1+,4,3,31,1]] ↔ [3[3,31,1,1]] ↔ [3,3,4,3]	↔ ↔	×3	1, 2, 3, 4
[(3,3)[1+,4,3,31,1]] ↔ [(3,3)[31,1,1,1]] ↔ [3,4,3,3]	↔ ↔	×12	20, 21, 22, 23

В 24-ячеечные соты аналогично, но помимо вершин в целых числах (i, j, k, l), у него есть вершины в полуцелых числах (i + 1/2, j + 1/2, k + 1/2, l + 1 / 2) только нечетных чисел. Это наполовину заполненный объемно центрированный кубический (шахматная доска, на которой красные 4-кубы имеют центральную вершину, а черные 4-кубы - нет).

В тессеракт может сделать регулярную тесселяцию 4-сфера, с тремя мозаиками на грань, с символом Шлефли {4,3,3,3}, называемым тессерактические соты порядка 3. Он топологически эквивалентен правильному многограннику вторгаться в 5-м пространстве.

Тессеракт может выполнять регулярную мозаику 4-х мерного гиперболическое пространство, с 5 мозаиками вокруг каждой грани, с символом Шлефли {4,3,3,5}, называемым тессерактические соты порядка 5.

Двуправленные тессерактические соты

А двунаправленные тессерактические соты, , содержит все выпрямленные 16-элементные (24-элементный ) граней и является Мозаика Вороного из D₄^* решетка. Грани могут быть одинаково окрашены из сдвоенного ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$× 2, [[4,3,3,4]] симметрия, попеременно окрашенная в ${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{4}}$, [4,3,3,4] симметрия, три цвета из ${displaystyle {ilde {B}} _ {4}}$, [4,3,3^1,1] симметрия и 4 цвета из ${displaystyle {ilde {D}} _ {4}}$, [3^1,1,1,1] симметрия.

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-м пространстве:

• 16-ячеечные соты
• 24-ячеечные соты
• 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеечные соты

Рекомендации

• Кокстер, H.S.M. Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 п. 296, Таблица II: Обычные соты
• Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайса, публикации Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 24) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Георгий Ольшевский, Однородные паноплоидные тетракомбы, Рукопись (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) - Модель 1
• Клитцинг, Ричард. «4D евклидова мозаика». x∞ox∞ox∞ox∞o, x∞xx∞ox∞ox∞o, x∞xx∞xx∞ox∞o, x∞xx∞xx∞xx∞o, x∞xx∞xx∞xx∞x, x∞ox∞o x4o4o, x∞ox∞o o4x4o, x∞xx∞o x4o4o, x∞xx∞o o4x4o, x∞ox∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4o, x∞xx∞x o4x4o, x ∞xx∞o x4o4x, x∞xx∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o * d4xo, x∞x o3o3o * d4xo x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o * b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - тест - O1

Фундаментальный выпуклый обычный и однородные соты в размерах 2-9
Космос	Семья	${displaystyle {ilde {A}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${displaystyle {ilde {B}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {D}} _ {n-1}}$	${displaystyle {ilde {G}} _ {2}}$ / ${displaystyle {ilde {F}} _ {4}}$ / ${displaystyle {ilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Равномерная черепица	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Шестиугольный
E3	Равномерно выпуклые соты	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Равномерные 4-соты	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24-ячеечные соты
E5	Равномерные 5-соты	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Равномерные 6-соты	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Равномерные 7-соты	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Равномерные 8-соты	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Равномерные 9-соты	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
Eп-1	Униформа (п-1)-соты	{3[n]}	δп	hδп	qδп	1k2 • 2k1 • k21