Спорадическая группа Маклафлина - McLaughlin sporadic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Маклафлина McL - это спорадическая простая группа из порядок

   2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000

≈ 9×10⁸.

История и свойства

McL - одна из 26 спорадических групп, обнаруженная Джеком Маклафлином (1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на График Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершины. Это исправляет 2-2-3 треугольник в Решетка пиявки и, таким образом, является подгруппой группы Конвей группы ${displaystyle mathrm {Co} _ {0}}$, ${displaystyle mathrm {Co} _ {2}}$, и ${displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$. Его Множитель Шура имеет порядок 3, а его группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL: 2 является максимальной подгруппой группы Лионская группа.

McL имеет один класс сопряженной инволюции (элемент порядка 2), централизатор которого является максимальной подгруппой типа 2.₈. Это центр порядка 2; фактор по центру изоморфен знакопеременной группе A₈.

Представления

в Конвей группа Co₃, McL имеет нормализатор McL: 2, максимальный в Co₃.

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Группа Матье M₂₂. Внешний автоморфизм меняет местами два класса M₂₂ группы. Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа в Co₃.

Удобное представление M₂₂ находится в матрицах перестановок по последним 22 координатам; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами начала координат и тип 2 точки Икс = (−3, 1²³) и у = (−4,-4,0²²)'. Край треугольника Икс-у = (1, 5, 1²²) является тип 3; он фиксируется Co₃. Это M₂₂ это одночлен, и максимальное, подгруппа представления McL.

Уилсон (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL определена корректно. в Решетка пиявки, предположим, что точка типа 3 v фиксируется экземпляром ${displaystyle mathrm {Co} _ {3}}$. Подсчитайте тип 2 балла ш так что внутренний продукт v·ш = 3 (и, следовательно, v-ш это тип 2). Он показывает, что их количество 552 = 2³⋅3⋅23 и что этот Co₃ транзитивен на этих ш.

| McL | = | Co3 | / 552 = 898,128,000.

McL - единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионный тип. Он имеет 2 таких представления, одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Максимальные подгруппы

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп группы McL следующим образом:

• U₄(3) заказ 3 265 920 индекс 275 - точечный стабилизатор его действия на графе Маклафлина
• M₂₂ порядок 443,520, индекс 2,025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
• U₃(5) порядок 126,000 индекс 7,128
• 3¹⁺⁴: 2.S₅ заказ 58,320 индекс 15,400
• 3⁴:M₁₀ заказ 58,320 индекс 15,400
• L₃(4):2₂ заказ 40,320 индекс 22,275
• 2.А₈ порядок 40,320, индекс 22,275 - централизатор инволюции
• 2⁴: А₇ порядок 40,320, индекс 22,275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
• M₁₁ заказ 7,920 индекс 113,400
• 5₊¹⁺²: 3: 8 индекс порядка 3000 299,376

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп.^[2]

Показаны циклические структуры в представлении перестановки ранга 3, степени 275, McL.^[3]

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для Конвей группы, соответствующий ряд Маккея – Томпсона есть ${displaystyle T_ {2A} (au)}$ и ${displaystyle T_ {4A} (au)}$.

Рекомендации

• Конвей, Дж. Х.; Curtis, R.T .; Нортон, С. П.; Паркер, Р. А .; и Уилсон, Р.А.: "Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп."Оксфорд, Англия, 1985 год.
• Финкельштейн, Ларри (1973), "Максимальные подгруппы группы Конвея C₃ и группа Маклафлина ", Журнал алгебры, 25: 58–89, Дои:10.1016/0021-8693(73)90075-6, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0346046
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», в Брауэр, Р.; Сах, Чих-хан (ред.), Теория конечных групп (Симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968), Бенджамин, Нью-Йорк, стр. 109–111, МИСТЕР  0242941
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

внешняя ссылка

• MathWorld: группа Маклафлина
• Атлас представлений конечных групп: группа Маклафлина