Лионская группа - Lyons group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Лионская группа Ly или же Группа Lyons-Sims LyS это спорадическая простая группа из порядок

    2⁸ · 3⁷ · 5⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67

= 51765179004000000

≈ 5×10¹⁶.

История

Ly является одной из 26 спорадических групп и была открыта Ричард Лайонс и Чарльз Симс в 1972-73 гг. Лайонс охарактеризовал 51765179004000000 как единственный возможный порядок любой конечной простой группы, в которой централизатор некоторых инволюция является изоморфный к нетривиальному центральному расширению переменная группа А₁₁ степени 11 циклическая группа C₂. Симс (1973) доказал существование такой группы и ее единственность с точностью до изоморфизма с помощью комбинации теории групп перестановок и машинных вычислений.

Когда Спорадическая группа Маклафлина было обнаружено, было замечено, что централизатор одной из его инволюций был совершенным двойная крышка из переменная группа А₈. Это предложило рассмотреть двойные покрытия других знакопеременных групп А_п как возможные централизаторы инволюций в простых группах. Случаи п ≤ 7 исключены Теорема Брауэра – Судзуки, дело п = 8 приводит к группе Маклафлина, случай п = 9 исключено Звонимир Янко, Сам Лайонс исключил случай п = 10 и нашел группу Лайона для п = 11, а случаи п ≥ 12 были исключены J.G. Томпсон и Рональд Соломон.

В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

Поскольку 37 и 67 не являются суперсингулярный простых чисел, группа Лайона не может быть подчастный из группа монстров. Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых парии.

Представления

Мейер, Нойч и Паркер (1985) показал, что у группы Lyons есть модульное представление размерности 111 над полем из пяти элементов, который является наименьшим измерением любого точного линейного представления и является одним из самых простых способов вычисления с его помощью. Это также было дано в нескольких сложных презентациях с точки зрения генераторов и отношений, например, представленных Симс (1973) или же Гебхардт (2000).

Самый маленький верный перестановочное представление представляет собой перестановочное представление ранга 5 на 8835156 точках со стабилизатором G₂(5). Также имеется немного большее представление перестановки ранга 5 на 9606125 точках со стабилизатором 3.McL: 2.

Максимальные подгруппы

Уилсон (1985) найдено 9 классов сопряженности максимальных подгрупп группы Ly следующее:

• грамм₂(5)
• 3.McL: 2
• 5³.PSL₃(5)
• 2.А₁₁
• 5¹⁺⁴: 4.S₆
• 3⁵: (2 × M₁₁)
• 3²⁺⁴: 2.A₅.D₈
• 67:22
• 37:18

Рекомендации

• Ричард Лайонс (1972,5) "Доказательства новой конечной простой группы", Журнал алгебры 20: 540–569 и 34: 188–189.
• Гебхардт, Фолькер (2000). «Две короткие презентации для разрозненной простой группы Лиона». Экспериментальная математика. 9 (3): 333–8. Дои:10.1080/10586458.2000.10504410.
• Мейер, Вернер; Нойч, Вольфрам; Паркер, Ричард (1985), "Минимальное 5-представление спорадической группы Лиона", Mathematische Annalen, 272 (1): 29–39, Дои:10.1007 / BF01455926, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0794089
• Симс, Чарльз С. (1973), "Существование и уникальность группы Лиона", Конечные группы '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972), Северная Голландия Math. Исследования, 7, Амстердам: Северная Голландия, стр. 138–141, МИСТЕР  0354881
• Уилсон, Роберт А. (1985), "Максимальные подгруппы группы Лайона", Математические труды Кембриджского философского общества, 97 (3): 433–436, Дои:10.1017 / S0305004100063003, ISSN  0305-0041, МИСТЕР  0778677

внешняя ссылка

• MathWorld: группа Lyons
• Атлас представлений конечных групп: группа Лиона