Группа Матье М22 - Mathieu group M22

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₂₂ это спорадическая простая группа из порядок

   2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 = 443520

≈ 4×10⁵.

История и свойства

M₂₂ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это 3-кратный переходный группа перестановок по 22 объектам. В Множитель Шура из M₂₂ является циклическим порядка 12, а группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2.

В математической литературе есть несколько неверных утверждений о 2-х частях множителя Шура. Бургойн и Фонг (1966) неверно утверждал, что множитель Шура M₂₂ имеет порядок 3, а в исправлении Бургойн и Фонг (1968) неверно утверждал, что в нем порядок 6. Это вызвало ошибку в названии статьи. Янко (1976) объявляя об открытии Янко группа J4. Мазет (1979) показал, что множитель Шура на самом деле является циклическим порядка 12.

Адем и Милгрэм (1995) вычислил 2-часть всех когомологий M₂₂.

Представления

M₂₂ имеет 3-транзитивное перестановочное представление в 22 точках, с точечным стабилизатором группа PSL₃(4), иногда называемый M₂₁. Это действие устраняет Система Штейнера S (3,6,22) с 77 гексадами, полная группа автоморфизмов которых является группой автоморфизмов M₂₂.2 из M₂₂.

M₂₂ имеет три представления перестановок ранга 3: один на 77 шестиугольниках со стабилизатором точки 2⁴: А₆, и два действия ранга 3 на 176 гептадах, сопряженных относительно внешнего автоморфизма и имеющих точечный стабилизатор A₇.

M₂₂ точечный стабилизатор действия M₂₃ на 23 точки, а также точечный стабилизатор действие 3 ранга из Группа Хигмана – Симса на 100 = 1 + 22 + 77 очков.

Тройная обложка 3.M₂₂ имеет 6-мерное точное представление над полем из 4 элементов.

6-кратная обложка M₂₂ появляется в центраторе 2¹⁺¹².3. (M₂₂: 2) инволюции Янко группа J4.

Максимальные подгруппы

Нет собственных подгрупп, транзитивных по всем 22 точкам. Всего существует 8 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₂₂ следующее:

• PSL (3,4) или M₂₁, заказ 20160: стабилизатор одноточечный
• 2⁴: А₆, порядок 5760, орбиты 6 и 16

Стабилизатор Вт₂₂ блокировать

• А₇, порядок 2520, орбиты 7 и 15

Имеется 2 набора простых подгрупп порядка 168 по 15 в каждом. Подгруппы одного типа имеют орбиты 1, 7 и 14; остальные имеют орбиты 7, 8 и 7.

• А₇, орбиты 7 и 15

Сопряжение с предыдущим типом в M₂₂:2.

• 2⁴: S₅, порядок 1920, орбиты 2 и 20 (5 блоков по 4)

2-х точечный стабилизатор в группе секстета

• 2³: PSL (3,2), порядок 1344, орбиты 8 и 14
• M₁₀, порядок 720, орбиты 10 и 12 (2 блока по 6)

Одноточечный стабилизатор M₁₁ (точка на орбите 11)

Неразделенный расширение группы формы A₆.2

• PSL (2,11), порядок 660, орбиты 11 и 11

Еще один одноточечный стабилизатор М₁₁ (точка на орбите 12)

Классы сопряженности

Существует 12 классов сопряженности, хотя два класса элементов порядка 11 сливаются под действием внешнего автоморфизма.

Смотрите также

• M₂₂ график

Рекомендации

• Адем, Алехандро; Милгрэм, Р. Джеймс (1995), "Когомологии группы Матье M₂₂", Топология. Международный математический журнал, 34 (2): 389–410, Дои:10.1016 / 0040-9383 (94) 00029-К, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  1318884
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Нагойский математический журнал, 27 (2): 733–745, Дои:10.1017 / S0027763000026519, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0197542
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1968), "Поправка к:" Множители Шура групп Матье."", Нагойский математический журнал, 31: 297–304, Дои:10.1017 / S0027763000012782, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0219626
• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Харада, Коитиро; Соломон, Рональд (2008), «Конечные группы, имеющие стандартную компоненту L типа M₁₂ или M₂₂», Журнал алгебры, 319 (2): 621–628, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2006.09.034, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  2381799
• Янко, З. (1976). "Новая конечная простая группа порядка 86,775,570,046,077,562,880, которая обладает M₂₄ и полная накрывающая группа M₂₂ как подгруппы ". J. Алгебра. 42: 564–596. Дои:10.1016/0021-8693(76)90115-0. (Название статьи неверно, так как полная накрывающая группа M₂₂ позже было обнаружено, что он больше: центр порядка 12, а не 6.)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Мазе, Пьер (1979), "Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M₂₂", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 289 (14): A659 – A661, ISSN  0151-0509, МИСТЕР  0560327
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₂₂