Максимальная компактная подгруппа - Maximal compact subgroup

В математика, а максимальная компактная подгруппа K из топологическая группа грамм это подгруппа K это компактное пространство, в топология подпространства, и максимальный среди таких подгрупп.

Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли нет в целом уникальны, но уникальны до спряжение - они есть по сути уникальный.

Пример

Примером может служить подгруппа O (2), ортогональная группа, внутри общая линейная группа GL (2, р). Связанный пример - круговая группа SO (2) внутри SL (2, р). Очевидно, SO (2) внутри GL (2, р) компактно и не является максимальным. Неединственность этих примеров можно рассматривать как любую внутренний продукт имеет ассоциированную ортогональную группу, и существенная уникальность соответствует существенной уникальности внутреннего продукта.

Определение

Максимальная компактная подгруппа - это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп - a максимальная (компактная подгруппа) - вместо того, чтобы быть (альтернативное возможное прочтение) максимальная подгруппа это оказывается компактным; который, вероятно, можно было бы назвать компактный (максимальная подгруппа), но в любом случае это не подразумевается (и на самом деле максимальные собственные подгруппы в общем случае не компактны).

Существование и уникальность

В Теорема Картана-Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и действительно каждая связная локально компактная группа) допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом. Для полупростая группа Ли уникальность является следствием Теорема Картана о неподвижной точке, который утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полной односвязной отрицательно изогнутый Риманово многообразие тогда он имеет фиксированную точку.

Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно нет уникальны, но они уникальны с точностью до сопряжения, что означает, что для данных двух максимальных компактных подгрупп K и L, есть элемент грамм ∈ грамм такой, что^[1] гкг⁻¹ = L. Следовательно, максимальная компактная подгруппа по сути уникальный, и люди часто говорят о «максимальной компактной» подгруппе.

Для примера полной линейной группы GL (п, р), это соответствует тому, что любой внутренний продукт на р^п определяет (компактную) ортогональную группу (ее группу изометрий) - и что она допускает ортонормированный базис: изменение базиса определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий классической ортогональной группе O (п, р).

Доказательства

Для вещественной полупростой группы Ли доказательство Картана существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти в Борель (1950) и Хельгасон (1978). Картье (1955) и Хохшильд (1965) обсудить расширение на связные группы Ли и связные локально компактные группы.

Для полупростых групп существование является следствием существования компактного реальная форма некомпактной полупростой группы Ли и соответствующей Картановское разложение. Доказательство единственности опирается на то, что соответствующие Риманово симметрическое пространство грамм/K имеет отрицательная кривизна и теорема Картана о неподвижной точке. Мостов (1955) показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке грамм/K удовлетворяет | d exp Икс| ≥ | X |. Отсюда следует, что грамм/K это Пространство Адамара, т.е. полное метрическое пространство удовлетворяющий ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Тогда уникальность может быть выведена из Теорема Брюа-Титса о неподвижной точке. Действительно, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется его шаром. центр окружности. В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.

Доказательство единственности для полупростых групп

Мостов (1955) также связал общую проблему для полупростых групп со случаем GL (п, р). Соответствующее симметрическое пространство - это пространство положительно симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, основанное на элементарных свойствах этого пространства, дано в Хильгерт и Ниб (2012).

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - вещественная полупростая алгебра Ли с Инволюция Картана σ. Таким образом подгруппа фиксированной точки группы σ - максимальная компактная подгруппа K и есть разложение на собственное подпространство

{ Displaystyle Displaystyle {{ mathfrak {g}} = { mathfrak {k}} oplus { mathfrak {p}},}}

куда ${ displaystyle { mathfrak {k}}}$ , алгебра Ли K, является +1 собственным подпространством. Разложение Картана дает

{ displaystyle displaystyle {G = K cdot exp { mathfrak {p}} = K cdot P = P cdot K.}}

Если B это Форма убийства на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ данный B(Икс,Y) = Tr (ad X) (ad Y), то

{ displaystyle displaystyle {(X, Y) _ { sigma} = - B (X, sigma (Y))}}

это настоящий внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . При присоединенном представлении K является подгруппой грамм который сохраняет этот внутренний продукт.

Если ЧАС - еще одна компактная подгруппа в грамм, затем усреднение внутреннего продукта по ЧАС относительно меры Хаара дает скалярное произведение, инвариантное относительно ЧАС. Операторы Ad п с п в п положительно симметричные операторы. Этот новый внутренний продукт можно записать как

{ Displaystyle (S cdot X, Y) _ { sigma},}

куда S является положительным симметрическим оператором на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ такое, что Ad (час)^тS Объявление час = S за час в ЧАС (с транспонированием, вычисленным относительно внутреннего продукта). Более того, для Икс в грамм,

{ displaystyle displaystyle { mathrm {Ad} , sigma (x) = ( mathrm {Ad} , (x) ^ {- 1}) ^ {t}.}}

Таким образом, для час в ЧАС,

{ Displaystyle Displaystyle {S circ mathrm {Ad} ( sigma (h)) = mathrm {Ad} (h) circ S.}}

За Икс в ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ определять

{ Displaystyle Displaystyle {е (е ^ {X}) = mathrm {Tr} , mathrm {Ad} (е ^ {X}) S.}}

Если е_я является ортонормированным базисом собственных векторов для S с Se_я = λ_я е_я, тогда

{ Displaystyle Displaystyle {е (е ^ {X}) = сумма лямбда _ {я} ( mathrm {Ad} (е ^ {X}) е_ {я}, е_ {я}) _ { сигма } geq ( min lambda _ {i}) cdot mathrm {Tr} , e ^ { mathrm {ad} , X},}}

так что ж строго положительно и стремится к ∞ при |Икс| стремится к ∞. Фактически эта норма эквивалентна операторной норме симметрических операторов ad Икс и каждое ненулевое собственное значение встречается со своим отрицательным числом, поскольку i ad Икс это кососопряженный оператор в компактной вещественной форме ${ Displaystyle { mathfrak {k}} oplus я { mathfrak {p}}}$ .

Так ж имеет глобальный минимум на Y сказать. Этот минимум уникален, потому что если Z были еще тогда

{ Displaystyle Displaystyle {е ^ {Z} = е ^ {Y / 2} е ^ {X} е ^ {Y / 2},}}

куда Икс в ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ определяется разложением Картана

{ displaystyle displaystyle {e ^ {Z / 2} e ^ {- Y / 2} = k cdot e ^ {X / 2}.}}

Если ж_я является ортонормированным базисом собственных векторов ad Икс с соответствующими действительными собственными значениями μ_я, тогда

{ displaystyle displaystyle {g (t) = f (e ^ {Y / 2} e ^ {tX} e ^ {Y / 2}) = sum e ^ { mu _ {i} t} | Ad (e ^ {Y / 2}) f_ {i} | _ { sigma} ^ {2}.}}

Поскольку правая часть представляет собой положительную комбинацию экспонент, действительная функция грамм является строго выпуклый если Икс 0, поэтому имеет единственный минимум. С другой стороны, он имеет локальные минимумы на т = 0 и т = 1, поэтому Икс = 0 и п = exp Y - единственный глобальный минимум. По конструкцииж(Икс) = ж(σ (час)хх⁻¹) за час в ЧАС, так что п = σ (час)ph⁻¹ за час в ЧАС. Следовательно, σ (час)= php⁻¹. Следовательно, если грамм = exp Y/2, gHg⁻¹ фиксируется σ и поэтому лежит в K.

Приложения

Теория представлений

Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теория представлений когда грамм не компактный. В этом случае максимальная компактная подгруппа K это компактная группа Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которых теория проще.

Операции, связанные с теориями представлений грамм и K находятся ограничивающие представления из грамм к K, и побуждение к представлениям из K к грамм, и они довольно хорошо поняты; их теория включает теорию сферические функции.

Топология

В алгебраическая топология групп Ли также в значительной степени переносится максимальной компактной подгруппой K. Точнее, связная группа Ли - это топологическое произведение (но не теоретико-групповое произведение) максимального компакта. K и евклидово пространство - грамм = K × р^d - таким образом, в частности K это деформационный отвод из ГРАММ, и является гомотопический эквивалент, и поэтому у них одинаковые гомотопические группы. Действительно, включение ${ displaystyle K hookrightarrow G}$ и ретракция деформации ${ displaystyle G twoheadrightarrow K}$ находятся гомотопические эквивалентности.

Для полной линейной группы это разложение есть QR-разложение, а деформационный ретракт - Процесс Грама-Шмидта. Для общей полупростой группы Ли разложением является Разложение Ивасавы из грамм в качестве грамм = KAN в котором K встречается в продукте с стягиваемый подгруппа AN.

Смотрите также

Примечания

^ Обратите внимание, что этот элемент грамм не уникален - любой элемент в одном смежном классе gK тоже подойдет.