Личность Якоби - Jacobi identity

В математика, то Личность Якоби является собственностью бинарная операция который описывает, как порядок оценки (размещение скобок в нескольких продуктах) влияет на результат операции. Напротив, для операций с ассоциативное свойство, любой порядок оценки дает один и тот же результат (скобки в нескольких продуктах не нужны). Идентичность названа в честь немецкого математика. Карл Густав Якоб Якоби.

В перекрестное произведение ${ displaystyle a times b}$ и Операция со скобкой Ли ${ Displaystyle [а, б]}$ оба удовлетворяют тождеству Якоби. В аналитическая механика, тождеству Якоби удовлетворяет Скобки Пуассона. В квантовая механика, это удовлетворяет оператор коммутаторы на Гильбертово пространство и, что то же самое, в формулировка фазового пространства квантовой механики Кронштейн Мойял.

Определение

Рассмотрим набор А с двумя бинарными операциями + и × , с аддитивным тождеством 0. Это удовлетворяет тождеству Якоби, если:

{ Displaystyle х раз (у раз г) + г раз (х раз у) + у раз (г раз х) = 0 квад форалл {х, у, z} in A.}

Левая часть представляет собой сумму всех четных перестановок $х \times (y \times z)$ : то есть, мы оставляем круглые скобки фиксированными и меняем буквы местами четное количество раз.

Форма кронштейна коммутатора

Простейший пример Алгебра Ли строится из (ассоциативного) кольца ${ Displaystyle п раз п}$ матриц, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения п-мерное векторное пространство. Операция × - это коммутатор, который измеряет отказ коммутативности в матричном умножении; вместо ${ Displaystyle X раз Y}$ , используются скобки Ли:

{ displaystyle [X, Y] = XY-YX.}

В этих обозначениях тождество Якоби:

${ Displaystyle [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0.}$

Это легко проверить расчетом.

В более общем плане предположим А ассоциативная алгебра и V является подпространством А который закрывается операцией скобок: ${ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ принадлежит V для всех ${ displaystyle X, Y in V}$ . Тогда тождество Якоби продолжает сохраняться. V.^[1] Таким образом, если бинарная операция ${ displaystyle [X, Y]}$ удовлетворяет тождеству Якоби, можно сказать, что он ведет себя как если бы это было дано ${ displaystyle XY-YX}$ в некоторой ассоциативной алгебре, даже если она фактически не определена таким образом.

С использованием свойство антисимметрии ${ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$ , тождество Якоби можно переписать как модификацию ассоциативное свойство:

{ displaystyle [[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] ~.}

Учитывая ${ displaystyle [X, Z]}$ как действие бесконечно малого движения Икс на Z, это можно сформулировать так:

Действие Y с последующим Икс (оператор ${ Displaystyle [X, [Y, cdot ]]}$ ), за вычетом действия Икс с последующим Y (оператор ${ Displaystyle ([Y, [X, cdot ]]}$ ), равно действию ${ displaystyle [X, Y]}$ , (оператор ${ Displaystyle [[X, Y], cdot ]}$ ).

Есть также множество градуированные тождества Якоби с участием антикоммутаторы ${ displaystyle {X, Y }}$ , Такие как:

{ Displaystyle [ {X, Y }, Z] + [ {Y, Z }, X] + [ {Z, X }, Y] = 0, qquad [ {X, Y }, Z] + {[Z, Y], X } + {[Z, X], Y } = 0.}

Присоединенная форма

Большинство распространенных примеров тождества Якоби происходит от умножения скобок ${ Displaystyle [х, у]}$ на Алгебры Ли и Кольца лжи. Личность Якоби записывается как:

{ displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.}

Поскольку умножение скобок равно антисимметричный, тождество Якоби допускает две эквивалентные переформулировки. Определение сопряженный оператор ${ displaystyle operatorname {ad} _ {x}: y mapsto [x, y]}$ , личность становится:

{ displaystyle operatorname {ad} _ {x} [y, z] = [ operatorname {ad} _ {x} y, z] + [y, operatorname {ad} _ {x} z].}

Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебре является происхождение. Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия Алгебра Лейбница.

Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами присоединенного представления:

{ displaystyle operatorname {ad} _ {[x, y]} = [ operatorname {ad} _ {x}, operatorname {ad} _ {y}].}

Здесь скобка слева - это операция исходной алгебры, скобка справа - коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что ${ displaystyle mathrm {ad}}$ карта, отправляющая каждый элемент в сопряженное действие, является Гомоморфизм алгебр Ли.

Связанные личности

В Тождество Холла-Витта аналогичное тождество для коммутатор операция в группа.

Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и имеет место в произвольной алгебре Ли:^[2]

{ displaystyle [x, [y, [z, w]]] + [y, [x, [w, z]]]] + [z, [w, [x, y]]] + [w, [z , [y, x]]] = 0.}

Смотрите также

Константы структуры
Супер личность Якоби
Лемма о трех подгруппах (Тождество Холла – Витта)

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Якоби идентичности". MathWorld.

[1] Зал 2015 Пример 3.3

[2] Алексеев, Илья; Иванов, Сергей О. (18 апреля 2016 г.). «Высшие личности Якоби». arXiv:1604.05281.

[1]

[2]