Прямая сумма топологических групп - Direct sum of topological groups

В математика, а топологическая группа г называется топологическая прямая сумма^[1] из двух подгруппы ЧАС₁ и ЧАС₂ если карта

${ displaystyle { begin {align} H_ {1} times H_ {2} & longrightarrow G (h_ {1}, h_ {2}) & longmapsto h_ {1} h_ {2} end { выровнено}}}$

является топологическим изоморфизмом.

В более общем смысле, г называется прямой суммой конечного множества подгруппы ${ Displaystyle H_ {я}, я = 1, ldots, n}$ карты

${ displaystyle { begin {align} prod _ {i = 1} ^ {n} H_ {i} & longrightarrow G (h_ {i}) _ {i in I} & longmapsto h_ {1 } h_ {2} cdots h_ {n} end {выровнено}}}$

Обратите внимание, что если топологическая группа г - топологическая прямая сумма семейства подгрупп ${ displaystyle H_ {i}}$ то, в частности, как абстрактная группа (без топологии) это также прямая сумма (обычным способом) семьи ${ displaystyle H_ {i}}$.

Топологические прямые слагаемые

Учитывая топологическую группу г, мы говорим, что подгруппа ЧАС это топологическое прямое слагаемое из г (или это топологически расщепляется от г) тогда и только тогда, когда существует другая подгруппа K ≤ г такой, что г прямая сумма подгрупп ЧАС и K.

Подгруппа ЧАС является топологическим прямым слагаемым тогда и только тогда, когда расширение топологических групп

${ displaystyle 0 to H { stackrel {i} {{} to {}}} G { stackrel { pi} {{} to {}}} G / H to 0}$

раскалывается, где ${ displaystyle i}$ является естественным включением и ${ displaystyle pi}$ это естественная проекция.

Примеры

• Предположим, что ${ displaystyle G}$ это локально компактная абелева группа который содержит единичный круг ${ displaystyle mathbb {T}}$ как подгруппа. потом ${ displaystyle mathbb {T}}$ является топологическим прямым слагаемым г. То же утверждение верно и для действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R}}$^[2]

использованная литература