Спорадическая группа Томпсона - Thompson sporadic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Томпсона Чт это спорадическая простая группа из порядок

   2¹⁵ · 3¹⁰ · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31

= 90745943887872000

≈ 9×10¹⁶.

История

Чт является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Джон Г. Томпсон  (1976 ) и построен Джефф Смит. Они построили его как группа автоморфизмов некоторой решетки в 248-мерной алгебре Ли E₈. Он не сохраняет скобку Ли этой решетки, но сохраняет скобку Ли по модулю 3, поэтому является подгруппой Группа Шевалле E₈(3). Подгруппа, сохраняющая скобку Ли (над целыми числами), является максимальной подгруппой группы Томпсона, называемой Группа Демпвольф (которая в отличие от группы Томпсона является подгруппой компактной группы Ли E₈).

Представления

Центратор элемента 3-го порядка типа 3C в Группа монстров является произведением группы Томпсона и группы порядка 3, в результате чего группа Томпсона действует на алгебра вершинных операторов над полем с 3 элементами. Эта вершинная операторная алгебра содержит E₈ Алгебра Ли над F₃, давая вложение Чт в E₈(3).

В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов группы Томпсона оба тривиальны.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для Чт, соответствующая серия Маккея-Томпсона ${ Displaystyle Т_ {3C} ( тау)}$ (OEIS: A007245),

${ Displaystyle T_ {3C} ( tau) = { Big (} j (3 tau) { Big)} ^ {1/3} = { frac {1} {q}} , + , 248q ^ {2} , + , 4124q ^ {5} , + , 34752q ^ {8} , + , 213126q ^ {11} , + , 1057504q ^ {14} + cdots , }$

и j(τ) это j-инвариантный.

Максимальные подгруппы

Линтон (1989) найдено 16 классов сопряженности максимальных подгрупп группы Чт следующим образом:

• 2₊¹⁺⁸ · А
• 2⁵ · L₅(2)   Это Группа Демпвольф
• (3 х г₂(3)) : 2
• (3³ × 3₊¹⁺²) · 3₊¹⁺² : 2S₄
• 3² · 3⁷ : 2S₄
• (3 × 3⁴ : 2 · А₆) : 2
• 5₊¹⁺² : 4S₄
• 5² : GL₂(5)
• 7² : (3 × 2S₄)
• 31 : 15
• ³D₄(2) : 3
• U₃(8) : 6
• L₂(19)
• L₃(3)
• M₁₀
• S₅

использованная литература

• Линтон, Стивен А. (1989), "Максимальные подгруппы группы Томпсона", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 39 (1): 79–88, Дои:10.1112 / jlms / s2-39.1.79, ISSN  0024-6107, Г-Н  0989921
• Смит, П. Е. (1976), "Простая подгруппа в M? И E₈(3)", Бюллетень Лондонского математического общества, 8 (2): 161–165, Дои:10.1112 / blms / 8.2.161, ISSN  0024-6093, Г-Н  0409630
• Томпсон, Джон Г. (1976), "Теорема сопряженности для E₈", Журнал алгебры, 38 (2): 525–530, Дои:10.1016/0021-8693(76)90235-0, ISSN  0021-8693, Г-Н  0399193

внешние ссылки

• MathWorld: группа Томпсона
• Атлас представлений конечных групп: группа Томпсона