Эрмитово симметричное пространство - Hermitian symmetric space

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, а Эрмитово симметричное пространство это Эрмитово многообразие который в каждой точке имеет инверсионную симметрию, сохраняющую эрмитову структуру. Впервые изучено Эли Картан, они образуют естественное обобщение понятия Риманово симметрическое пространство из реальные многообразия к комплексные многообразия.

Каждое эрмитово симметрическое пространство является однородным пространством для своей группы изометрий и имеет единственное разложение как произведение неприводимых пространств и евклидова пространства. Неприводимые пространства возникают попарно как некомпактное пространство, которое, как Борель как было показано, может быть вложено как открытое подпространство своего компактного двойственного пространства. Хариш Чандра показал, что каждое некомпактное пространство может быть реализовано как ограниченная симметричная область в сложном векторном пространстве. В простейшем случае участвуют группы SU (2), SU (1,1) и их общая комплексификация SL (2,C). В этом случае некомпактное пространство - это единичный диск, однородное пространство для SU (1,1). Это ограниченная область на комплексной плоскости. C. Одноточечная компактификация C, то Сфера Римана, - двойственное пространство, однородное пространство для SU (2) и SL (2,C).

Неприводимые компактные эрмитовы симметрические пространства - это в точности однородные пространства простых компактных групп Ли по максимальным замкнутым связным подгруппам, которые содержат максимальный тор и имеют центр, изоморфный группе окружности. Существует полная классификация неприводимых пространств с четырьмя классическими сериями, изученными Картаном, и двумя исключительными случаями; классификацию можно вывести из Теория Бореля – де Зибенталя, который классифицирует замкнутые связные подгруппы, содержащие максимальный тор. Эрмитовы симметрические пространства появляются в теории Иорданские тройные системы, несколько сложных переменных, сложная геометрия, автоморфные формы и групповые представления, в частности, разрешение на строительство представления голоморфных дискретных серий полупростых групп Ли.^[1]

Эрмитовы симметрические пространства компактного типа

Определение

Позволять ЧАС - связная компактная полупростая группа Ли, σ - автоморфизм ЧАС порядка 2 и ЧАС^σ подгруппа неподвижных точек в σ. Позволять K замкнутая подгруппа в ЧАС лежащий между ЧАС^σ и это компонент идентичности. Компактное однородное пространство ЧАС / K называется симметричное пространство компактного типа. Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ допускает разложение

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {h}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}},}}$

куда ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, алгебра Ли K, является +1 собственным подпространством σ и ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ собственное подпространство –1. Если ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ не содержит простого слагаемого ${displaystyle {mathfrak {h}}}$, пара (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) называется ортогональная симметрическая алгебра Ли из компактный тип.^[2]

Любой внутренний продукт на ${displaystyle {mathfrak {h}}}$, инвариантный относительно присоединенное представительство и σ, индуцирует риманову структуру на ЧАС / K, с ЧАС действуя изометриями. Канонический пример - минус Форма убийства. Под таким внутренним продуктом ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ ортогональны. ЧАС / K тогда является римановым симметрическим пространством компактного типа.^[3]

Симметричное пространство ЧАС / K называется Эрмитово симметричное пространство если у него есть почти сложная структура сохраняя риманову метрику. Это эквивалентно существованию линейного отображения J с J² = −я на ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ который сохраняет внутренний продукт и коммутирует с действием K.

Симметрия и центр подгруппы изотропии

Если (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) эрмитово, K имеет нетривиальный центр, а симметрия σ внутренняя, реализуемая элементом центра K.

Фактически J лежит в ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ и опыт tJ образует однопараметрическую группу в центре K. Это следует потому, что если А, B, C, D роды ${displaystyle {mathfrak {m}}}$, то по инвариантности скалярного произведения на ${displaystyle {mathfrak {h}}}$^[4]

${displaystyle displaystyle {([[A, B], C], D) = ([A, B], [C, D]) = ([[C, D], B], A).}} »$

Замена А и B к JA и JB, следует, что

${displaystyle displaystyle {[JA, JB] = [A, B].}}$

Определим линейное отображение δ на ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ путем расширения J быть 0 на ${displaystyle {mathfrak {k}}}$. Последнее соотношение показывает, что δ является производным от ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. С ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ полупросто, δ должно быть внутренним дифференцированием, так что

${displaystyle displaystyle {delta (X) = [T + A, X],}}$

с Т в ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ и А в ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Принимая Икс в ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, следует, что А = 0 и Т лежит в центре ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ и, следовательно, что K не полупросто. Симметрия σ реализуется z = ехр πТ а почти комплексную структуру - по exp π / 2 Т.^[5]

Из внутреннего σ следует, что K содержит максимальный тор ЧАС, значит, имеет максимальный ранг. С другой стороны, централизатор подгруппы, порожденной тором S элементов exp tT связано, так как если Икс любой элемент в K существует максимальный тор, содержащий Икс и S, который лежит в централизаторе. С другой стороны, он содержит K поскольку S занимает центральное место в K и содержится в K поскольку z лежит в S. Так K является централизатором S и, следовательно, связаны. Особенно K содержит центр ЧАС.^[2]

Неприводимое разложение

Симметричное пространство или пара (${displaystyle {mathfrak {h}}}$, σ) называется несводимый если сопряженное действие ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ (или, что эквивалентно, компонент идентичности ЧАС^σ или же K) неприводима на ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Это эквивалентно максимальности ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ как подалгебра.^[6]

На самом деле между промежуточными подалгебрами существует однозначное соответствие ${displaystyle {mathfrak {l}}}$ и K-инвариантные подпространства ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {1}}$ из ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ данный

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {l}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}} _ {1} ,,,, {mathfrak {m}} _ {1} = {mathfrak {l}} cap {mathfrak {m}}.}}$

Любая ортогональная симметрическая алгебра (${displaystyle {mathfrak {g}}}$, σ) эрмитова типа можно разложить в (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметрических алгебр эрмитова типа.^[7]

Фактически ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ можно записать в виде прямой суммы простых алгебр

${displaystyle displaystyle {{mathfrak {h}} = oplus _ {i = 1} ^ {N} {mathfrak {h}} _ {i},}}$

каждый из которых остается инвариантным из-за автоморфизма σ и комплексной структуры J, поскольку они оба внутренние. Разложение собственного подпространства ${displaystyle {mathfrak {h}} _ {1}}$ совпадает с его пересечениями с ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Таким образом, ограничение σ на ${displaystyle {mathfrak {h}} _ {1}}$ неприводимо.

Это разложение ортогональной симметрической алгебры Ли дает разложение в прямое произведение соответствующего компактного симметрического пространства ЧАС / K когда ЧАС просто связано. В этом случае подгруппа неподвижной точки ЧАС^σ подключается автоматически. Для односвязных ЧАС, симметричное пространство ЧАС / K является прямым продуктом ЧАС_я / K_я с ЧАС_я просто и просто. В неприводимом случае K является максимальной связной подгруппой в ЧАС. С K действует несводимо на ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ (рассматривается как сложное пространство для сложной структуры, определяемой J), центр K - одномерный тор Т, задаваемые операторами exp tT. Поскольку каждый ЧАС просто связано и K связаны, частное ЧАС/K просто связано.^[8]

Сложная структура

если ЧАС / K неприводимо с K неполупростая, компактная группа ЧАС должно быть простым и K максимального ранга. Из Теория Бореля-де Зибенталя, инволюция σ внутренняя и K является централизатором своего центра, изоморфного Т. Особенно K подключен. Следует, что ЧАС / K односвязно и есть параболическая подгруппа п в комплексирование грамм из ЧАС такой, что ЧАС / K = грамм / п. В частности, есть сложная структура на ЧАС / K и действие ЧАС голоморфно. Поскольку любое эрмитово симметрическое пространство является произведением неприводимых пространств, в общем случае это верно.

На Алгебра Ли уровне существует симметричное разложение

${displaystyle {mathfrak {h}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {m}},}$

куда ${displaystyle ({mathfrak {m}}, J)}$ это реальное векторное пространство со сложной структурой J, комплексная размерность которого приведена в таблице. Соответственно, есть градуированная алгебра Ли разложение

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {m}} _ {+} oplus {mathfrak {l}} oplus {mathfrak {m}} _ {-}}$

куда ${displaystyle {mathfrak {m}} иногда mathbb {C} = {mathfrak {m}} _ {-} oplus {mathfrak {m}} _ {+}}$ является разложением на +я и -я собственные подпространства J и ${displaystyle {mathfrak {l}} = {mathfrak {k}} иногда mathbb {C}}$. Алгебра Ли п является полупрямым продуктом ${displaystyle {mathfrak {m}} ^ {+} oplus {mathfrak {l}}}$. Комплексные алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$ абелевы. Действительно, если U и V роды ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$, [U,V] = J[U,V] = [JU,СП] = [±iU,±IV] = –[U,V], поэтому скобка Ли должна исчезнуть.

Комплексные подпространства ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {pm}}$ из ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$ неприводимы для действия K, поскольку J ездит с K так что каждый изоморфен ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ со сложной структурой ±J. Эквивалентно центр Т из K действует на ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ по представлению личности и на ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ его сопряженным.^[9]

Реализация ЧАС/K как обобщенная разновидность флагов грамм/п получается путем взятия грамм как в таблице ( комплексирование из ЧАС) и п быть параболическая подгруппа равняется полупрямому произведению L, усложнение K, с комплексной абелевой подгруппой exp ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$. (На языке алгебраические группы, L это Фактор Леви из п.)

Классификация

Любое эрмитово симметрическое пространство компактного типа односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметрических пространств ЧАС_я / K_я с ЧАС_я просто, K_я соединены максимального ранга с центром Т. Таким образом, неприводимые - это в точности неполупростые случаи, классифицируемые Теория Бореля – де Зибенталя.^[2]

Соответственно, неприводимые компактные эрмитовы симметрические пространства ЧАС/K классифицируются следующим образом.

грамм	ЧАС	K	сложное измерение	классифицировать	геометрическая интерпретация
${displaystyle mathrm {SL} (p + q, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SU} (p + q),}$	${displaystyle mathrm {S} (mathrm {U} (p) imes mathrm {U} (q))}$	pq	мин (п,q)	Грассманиан сложных п-мерные подпространства ${displaystyle mathbb {C} ^ {p + q}}$
${displaystyle mathrm {SO} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (2n),}$	${displaystyle mathrm {U} (n),}$	${displaystyle {frac {1} {2}} n (n-1)}$	${displaystyle [{frac {1} {2}} n]}$	Пространство ортогональных сложных структур на ${displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$
${displaystyle mathrm {Sp} (2n, mathbb {C}),}$	${displaystyle mathrm {Sp} (n),}$	${displaystyle mathrm {U} (n),}$	${displaystyle {frac {1} {2}} n (n + 1)}$	п	Пространство сложных конструкций на ${displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ совместим с внутренним продуктом
${displaystyle mathrm {SO} (n + 2, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (n + 2),}$	${displaystyle mathrm {SO} (n) imes mathrm {SO} (2)}$	п	2	Грассманиан ориентированных реальных 2-мерные подпространства ${displaystyle mathbb {R} ^ {n + 2}}$
${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}},}$	${displaystyle E_ {6},}$	${displaystyle mathrm {SO} (10) imes mathrm {SO} (2)}$	16	2	Комплексификация ${displaystyle (mathbb {C} иногда mathbb {O}) P ^ {2}}$ из Проективная плоскость Кэли ${displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle E_ {7},}$	${displaystyle E_ {6} imes mathrm {SO} (2)}$	27	3	Пространство симметрических подмногообразий Проективная плоскость Розенфельда ${displaystyle (mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ которые изоморфны ${displaystyle (mathbb {C} или mathbb {O}) P ^ {2}}$

С точки зрения классификации компактных римановых симметрических пространств, эрмитовы симметрические пространства - это четыре бесконечные серии AIII, DIII, CI и BDI с п = 2 или q = 2, и два исключительных пространства, а именно EIII и EVII.

Классические примеры

Все неприводимые эрмитовы симметрические пространства компактного типа односвязны. Соответствующая симметрия σ односвязной простой компактной группы Ли является внутренней и задается сопряжением единственным элементом S в Z(K) / Z(ЧАС) периода 2. Для классических групп, как и в таблице выше, эти симметрии следующие:^[10]

• AIII: ${displaystyle S = {egin {pmatrix} -alpha I_ {p} & 0 0 & alpha I_ {q} end {pmatrix}}}$ в S (U (п) × U (q)), где α^п+q=(−1)^п.
• DIII: S = я в U (п) ⊂ SO (2п); этот выбор эквивалентен ${displaystyle J_ {n} = {egin {pmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0end {pmatrix}}}$.
• CI: S=я в U (п) ⊂ Sp (п) = Sp (п,C) ∩ U (2п); этот выбор эквивалентен J_п.
• BDI: ${displaystyle S = {egin {pmatrix} I_ {p} & 0 0 & -I_ {2} end {pmatrix}}}$ в SO (п) × SO (2).

Максимальная параболическая подгруппа п можно явно описать в этих классических случаях. Для AIII

${displaystyle displaystyle {P (p, q) = {egin {pmatrix} A_ {pp} & B_ {pq} 0 & D_ {qq} end {pmatrix}}}}$

в SL (п+q,C). п(п,q) - стабилизатор подпространства размерности п в C^п+q.

Остальные группы возникают как неподвижные точки инволюций. Позволять J быть п × п матрицу с единицами на антидиагонали и нулями в другом месте и установите

${displaystyle displaystyle {A = {egin {pmatrix} 0 & J -J & 0end {pmatrix}}.}}$

Тогда Sp (п,C) - подгруппа неподвижных точек инволюции θ (грамм) = А (грамм^т)⁻¹ А⁻¹ SL (2п,C). ТАК(п,C) могут быть реализованы как неподвижные точки ψ (грамм) = B (грамм^т)⁻¹ B⁻¹ в SL (п,C) куда B = J. Эти инволюции оставляют инвариантными п(п,п) в случаях DIII и CI и п(п, 2) в случае BDI. Соответствующие параболические подгруппы п получаются взятием неподвижных точек. Компактная группа ЧАС действует транзитивно на грамм / п, так что грамм / п = ЧАС / K.

Эрмитовы симметрические пространства некомпактного типа

Определение

Как и в случае с симметрическими пространствами в целом, каждое компактное эрмитово симметрическое пространство ЧАС/K имеет некомпактный дуальный ЧАС^*/K получается заменой ЧАС с замкнутой вещественной подгруппой Ли ЧАС^* комплексной группы Ли грамм с алгеброй Ли

${displaystyle {mathfrak {h}} ^ {*} = {mathfrak {k}} oplus i {mathfrak {m}} подмножество {mathfrak {g}}.}$

Вложение Бореля

В то время как естественная карта из ЧАС/K к грамм/п является изоморфизмом, естественное отображение из ЧАС^*/K к грамм/п только включение в открытое подмножество. Это включение называется Вложение Бореля после Арман Борель. Фактически п ∩ ЧАС = K = п ∩ ЧАС*. Образы ЧАС и ЧАС* имеют такой же размер, поэтому открыты. Поскольку образ ЧАС компактно, поэтому замкнуто, отсюда следует, что ЧАС/K = грамм/п.^[11]

Картановское разложение

Полярное разложение в комплексной линейной группе грамм следует разложение Картана ЧАС* = K ⋅ exp ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ в ЧАС*.^[12]

Более того, для максимальной абелевой подалгебры ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ в т, А = exp ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ - торальная подгруппа такая, что σ (а) = а⁻¹ на А; и любые два таких ${displaystyle {mathfrak {a}}}$сопряжены элементом K. Аналогичное утверждение верно для ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*} = я {mathfrak {a}}}$. Моревоэр, если А* = exp ${displaystyle {mathfrak {a}} ^ {*}}$, тогда

${displaystyle displaystyle {H ^ {*} = KA ^ {*} K.}}$

Эти результаты являются частными случаями разложения Картана в любом римановом симметрическом пространстве и двойственном ему. Геодезические, исходящие из начала координат в однородных пространствах, можно отождествить с однопараметрическими группами с образующими в ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ или же ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Аналогичные результаты справедливы для компактного случая: ЧАС= K ⋅ exp ${displaystyle i {mathfrak {m}}}$ и ЧАС = КАК.^[8]

Свойства полностью геодезический подпространство А можно показать напрямую. А закрыт, потому что закрытие А - торальная подгруппа, удовлетворяющая σ (а) = а⁻¹, поэтому его алгебра Ли лежит в ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ и, следовательно, равно ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ по максимальности. А может быть сгенерирована топологически одним элементом exp Икс, так ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ является централизатором Икс в ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. в K-орбита любого элемента ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ есть элемент Y такое, что (X, Ad k Y) минимизируется при k = 1. Установка k = exp tT с Т в ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, следует, что (Икс,[Т,Y]) = 0 и, следовательно, [Икс,Y] = 0, так что Y должен лежать в ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Таким образом ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ является объединением конъюгатов ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. В частности, некоторые конъюгаты Икс заключается в любом другом выборе ${displaystyle {mathfrak {a}}}$, который централизует это сопряжение; так что по максимальности единственные возможности являются конъюгатами ${displaystyle {mathfrak {a}}}$.^[13]

Разложения

${displaystyle displaystyle {H = KAK ,,,, H = Kcdot exp {mathfrak {m}}}}$

можно доказать непосредственно, применяя теорема среза за компактные группы преобразований к действию K на ЧАС / K.^[14] На самом деле пространство ЧАС / K можно отождествить с

${displaystyle displaystyle {M = {sigma (g) g ^ {- 1}: джин H},}}$

замкнутое подмногообразие ЧАС, и разложение Картана следует, показывая, что M это союз kAk⁻¹ за k в K. Поскольку это объединение является непрерывным образом K × А, он компактен и связан. Итак, достаточно показать, что объединение открыто в M а для этого достаточно показать каждую а в А имеет открытое соседство в этом союзе. Теперь, вычисляя производные в 0, объединение содержит открытую окрестность 1. Если а является центральным, объединение инвариантно относительно умножения на а, поэтому содержит открытую окрестность а. Если а не в центре, напишите а = б² с б в А. Тогда τ = Ad б - Объявление б⁻¹ является кососопряженным оператором на ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ антикоммутирующий с σ, который можно рассматривать как Z₂-градуирующий оператор σ на ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. Автор Характеристика Эйлера – Пуанкаре Из аргумента следует, что сверхразмерность ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ совпадает с суперразмерностью ядра τ. Другими словами,

${displaystyle displaystyle {mathrm {dim}, {mathfrak {k}} - mathrm {dim}, {mathfrak {k}} _ {a} = mathrm {dim}, {mathfrak {m}} - mathrm {dim}, { mathfrak {m}} _ {a},}}$

куда ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a}}$ и ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {a}}$ - подпространства, фиксированные Ad а. Пусть ортогональное дополнение к ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a}}$ в ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ быть ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a} ^ {perp}}$. Вычисляя производные, следует, что Ad е^Икс (а е^Y), куда Икс лежит в ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {a} ^ {perp}}$ и Y в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {a}}$, - открытая окрестность а в союзе. Здесь условия а е^Y лежат в союзе аргументом в пользу центрального а: в самом деле а находится в центре составляющей идентичности централизатора а который инвариантен относительно σ и содержит А.

Размер ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ называется классифицировать эрмитова симметрического пространства.

Сильно ортогональные корни

В случае эрмитовых симметрических пространств Хариш-Чандра сделал канонический выбор для ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Этот выбор ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ определяется взятием максимального тора Т из ЧАС в K с алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Поскольку симметрия σ реализуется элементом Т лежащий в центре ЧАС, корневые пространства ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}}$ в ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ остаются инвариантными по σ. Он действует как идентичность тех, которые содержатся в ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {mathbb {C}}}$ и минус личность тех, кто в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$.

Корни с корневыми пространствами в ${displaystyle {mathfrak {k}} _ {mathbb {C}}}$ называются компактные корни и те, у кого корневые пробелы в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {mathbb {C}}}$ называются некомпактные корни. (Эта терминология происходит от симметричного пространства некомпактного типа.) Если ЧАС прост, генератор Z центра K может использоваться для определения набора положительных корней в соответствии со знаком α (Z). С этим выбором корней ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ и ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ являются прямой суммой корневых пространств ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}}$ над положительными и отрицательными некомпактными корнями α. Корневые векторы E_α можно выбрать так, чтобы

${displaystyle displaystyle {X_ {alpha} = E_ {alpha} + E _ {- alpha} ,,,, Y_ {alpha} = i (E_ {alpha} -E _ {- alpha})}}$

роды ${displaystyle {mathfrak {h}}}$. Простые корни α₁, ...., α_п - неразложимые положительные корни. Их можно пронумеровать так, чтобы α_я исчезает в центре ${displaystyle {mathfrak {h}}}$ за я, тогда как α₁ не. Таким образом, α₁ - единственный некомпактный простой корень, а остальные простые корни компактны. Тогда любой положительный некомпактный корень имеет вид β = α₁ + c₂ α₂ + ⋅⋅⋅ + c_п α_п с неотрицательными коэффициентами c_я. Эти коэффициенты приводят к лексикографический порядок на положительные корни. Коэффициент при α₁ всегда один, потому что ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$ неприводимо для K поэтому натянута на векторы, полученные последовательным применением понижающих операторов E_–Α для простых компактных корней α.

Два корня α и β называются сильно ортогональный если ± α ± β не являются корнями или нулем, записывается α ≐ β. Старший положительный корень ψ₁ некомпактный. Возьмем ψ₂ быть наивысшим некомпактным положительным корнем, сильно ортогональным ψ₁ (в лексикографическом порядке). Затем продолжаем так же, беря ψ_{я + 1} быть наивысшим некомпактным положительным корнем, сильно ортогональным ψ₁, ..., ψ_я пока процесс не завершится. Соответствующие векторы

${displaystyle displaystyle {X_ {i} = E_ {psi _ {i}} + E _ {- psi _ {i}}}}$

роды ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ и коммутируют по сильной ортогональности. Их продолжительность ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ является канонической максимальной абелевой подалгеброй Хариш-Чандры.^[15] (Как позже показал Сагиура, исправив Т, множество сильно ортогональных корней определяется однозначно с точностью до элемента из группы Вейля K.^[16])

Максимальность можно проверить, показав, что если

${displaystyle displaystyle {[sum c_ {alpha} E_ {alpha} + {overline {c_ {alpha}}} E _ {- alpha}, E_ {psi _ {i}} + E _ {- psi _ {i}}] = 0}}$

для всех я, тогда c_α = 0 для всех положительных некомпактных корней α, отличных от ψ_jс. Это следует из индуктивного доказательства того, что если c_α ≠ 0, то α сильно ортогонален ψ₁, ψ₂, ... противоречие. Действительно, указанное выше соотношение показывает ψ_я + α не может быть корнем; и что если ψ_я - α - корень, тогда он обязательно имел бы вид β - ψ_я. Если ψ_я - α были отрицательными, тогда α был бы более высоким положительным корнем, чем ψ_я, сильно ортогональные ψ_j с j < я, что невозможно; аналогично, если β - ψ_я были положительными.

Теорема о полисфере и полидиске

Канонический выбор Хариш-Чандрой ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ приводит к теореме полидиска и полисферы в ЧАС*/K и ЧАС/K. Этот результат сводит геометрию к продуктам прототипного примера с SL (2,C), SU (1,1) и SU (2), а именно единичный круг внутри сферы Римана.

В случае ЧАС = SU (2) симметрия σ задается сопряжением диагональной матрицей с элементами ±я так что

${displaystyle displaystyle {sigma {egin {pmatrix} alpha & eta - {overline {eta}} & {overline {alpha}} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} alpha & - eta {overline {eta}}) & {overline {alpha}} end {pmatrix}}}}$

Подгруппа неподвижной точки - это максимальный тор Т, диагональные матрицы с элементами е ^±Это. SU (2) действует на сфере Римана ${displaystyle mathbf {CP} ^ {1}}$ транзитивно преобразованиями Мёбиуса и Т стабилизатор 0. SL (2,C), комплексификация SU (2), также действует преобразованиями Мёбиуса, а стабилизатором 0 является подгруппа B нижнетреугольных матриц. Некомпактная подгруппа SU (1,1) действует ровно с тремя орбитами: открытый единичный круг |z| <1; единичный круг z = 1; и его внешний вид |z| > 1. Таким образом

${displaystyle displaystyle {mathrm {SU} (1,1) / mathbf {T} = {z: | z | <1} ,,, subset ,,, B _ {+} / mathbf {T} _ {mathbb {C} } = mathbb {C} ,,, подмножество ,,, mathrm {SL} (2, mathbb {C}) / B = mathbb {C} чашка {infty},}}$

куда B₊ и Т_C обозначим подгруппы верхнетреугольных и диагональных матриц в SL (2,C). Средний член - это орбита 0 под верхними унитреугольными матрицами

${displaystyle displaystyle {{egin {pmatrix} 1 & z 0 & 1end {pmatrix}} = exp {egin {pmatrix} 0 & z 0 & 0end {pmatrix}}.}}$

Теперь для каждого корня ψ_я существует гомоморфизм π_я SU (2) в ЧАС что совместимо с симметриями. Он однозначно продолжается до гомоморфизма SL (2,C) в грамм. Образы алгебр Ли для различных ψ_якоммутируют, поскольку они сильно ортогональны. Таким образом, существует гомоморфизм π прямого произведения SU (2)^р в ЧАС совместимы с симметриями. Он продолжается до гомоморфизма SL (2,C)^р в грамм. Ядро π содержится в центре (± 1)^р СУ (2)^р которая поточечно фиксируется симметрией. Таким образом, образ центра под π лежит в K. Таким образом, имеется вложение полисферы (SU (2) / T)^р в ЧАС / K = грамм / п а полисфера содержит полидиск (SU (1,1) / T)^р. Полисфера и полидиск являются прямым продуктом р копии сферы Римана и единичного круга. По разложениям Картана в SU (2) и SU (1,1) полисфера является орбитой Т_рА в ЧАС / K а полидиск - это орбита Т_рА*, куда Т_р = π (Т^р) ⊆ K. С другой стороны, ЧАС = КАК и ЧАС* = K А* K.

Следовательно, каждый элемент компактного эрмитова симметрического пространства ЧАС / K находится в K-орбита точки в полисфере; и каждый элемент изображения при борелевском вложении некомпактного эрмитова симметрического пространства ЧАС* / K находится в K-орбита точки на полидиске.^[17]

Вложение Хариш-Чандры

ЧАС* / K, эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа, лежит в образе ${displaystyle exp {mathfrak {m}} _ {+}}$, плотное открытое подмножество ЧАС / K биголоморфный ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$. Соответствующий домен в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ ограничено. Это Вложение Хариш-Чандры названный в честь Хариш-Чандра.

Фактически Хариш-Чандра показал следующие свойства пространства ${displaystyle mathbf {X} = exp ({mathfrak {m}} _ {+}) cdot K_ {mathbb {C}} cdot exp ({mathfrak {m}} _ {-}) = exp ({mathfrak {m} } _ {+}) cdot P}$:

1. Как пространство, Икс является прямым продуктом трех факторов.
2. Икс открыт в грамм.
3. Икс плотно в грамм.
4. Икс содержит ЧАС*.
5. Закрытие ЧАС* / K в Икс / п = ${displaystyle exp {mathfrak {m}} _ {+}}$ компактный.

Фактически ${displaystyle M_ {pm} = exp {mathfrak {m}} _ {pm}}$ комплексные абелевы группы, нормированные K_C. Более того, ${displaystyle [{mathfrak {m}} _ {+}, {mathfrak {m}} _ {-}] подмножество {mathfrak {k}} _ {mathfrak {C}}}$ поскольку ${displaystyle [{mathfrak {m}}, {mathfrak {m}}] подмножество {mathfrak {k}}}$.

Из этого следует п ∩ M₊ = {1}. Ибо если Икс = е^Икс с Икс в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ лежит в п, он должен нормализовать M₋ и поэтому ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$. Но если Y лежит в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$, тогда

${displaystyle displaystyle {Y = mathrm {Ad} (X) cdot Y = Y + [X, Y] + {1 over 2} [X, [X, Y]] в {mathfrak {m}} _ {+} oplus { mathfrak {k}} _ {mathbb {C}} oplus {mathfrak {m}} _ {-},}}$

так что Икс ездит с ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {-}}$. Но если Икс коммутирует с каждым некомпактным корневым пространством, он должен быть равен 0, поэтому Икс = 1. Отсюда следует, что отображение умножения μ на M₊ × п инъективно, поэтому следует (1). Аналогично производная μ в точке (Икс,п) является

${displaystyle displaystyle {mu ^ {prime} (X, Y) = mathrm {Ad} (p ^ {- 1}) X + Y = mathrm {Ad} (p ^ {- 1}) (Xoplus mathrm {Ad} ( p) Y),}}$

что является инъективным, поэтому следует (2). Для особого случая ЧАС = SU (2), ЧАС* = SU (1,1) и грамм = SL (2,C) остальные утверждения являются следствием отождествления со сферой Римана, C и единичный диск. Их можно применить к группам, определенным для каждого корня ψ_я. По теореме о полисфере и полидиске ЧАС*/K, Икс/п и ЧАС/K являются союзом K-переводы полидиска, C^р и полисфера. Так ЧАС* лежит в Икс, закрытие ЧАС*/K компактна в Икс/п, который, в свою очередь, плотен в ЧАС/K.

Обратите внимание, что (2) и (3) также являются следствием того факта, что изображение Икс в грамм/п это большая ячейка B₊B в Разложение Гаусса из грамм.^[18]

Использование результатов на ограниченная корневая система симметричных пространств ЧАС/K и ЧАС*/K, Германн показал, что изображение ЧАС*/K в ${displaystyle {mathfrak {m}} _ {+}}$ представляет собой обобщенный единичный диск. Фактически это выпуклый набор из Икс для чего норма оператора объявления Im Икс меньше единицы.^[19]

Ограниченные симметричные области

Ограниченная область Ω в комплексном векторном пространстве называется ограниченная симметричная область если для каждого Икс в Ω, существует инволютивный биголоморфизм σ_Икс из Ω для которого Икс - изолированная неподвижная точка. Вложение Хариш-Чандры демонстрирует каждое эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа ЧАС* / K как ограниченная симметричная область. Группа биголоморфизмов ЧАС^* / K равна своей группе изометрий ЧАС^*.

Наоборот, так возникает всякая ограниченная симметричная область. Действительно, в ограниченной симметричной области Ω, то Ядро Бергмана определяет метрика на Ω, то Метрика Бергмана, для которой каждый биголоморфизм является изометрией. Это понимает Ω как эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа.^[20]

Классификация

Неприводимые ограниченные симметрические области называются Картанские домены и классифицируются следующим образом.

Тип	сложное измерение	геометрическая интерпретация
яpq	pq	Сложный п × q матрицы с операторной нормой меньше 1
IIп (п > 4)	п(п − 1)/2	Комплекс антисимметричный п × п матрицы с операторной нормой меньше 1
IIIп (п > 1)	п(п + 1)/2	Комплексный симметричный п × п матрицы с операторной нормой меньше 1
IVп	п	Сфера Ли:${displaystyle | z | ^ {2} <{1 больше 2} (1+ (zcdot z) ^ {2}) <1}$
V	16	2 × 2 матрицы над Алгебра Кэли с операторной нормой меньше 1
VI	27	3 × 3 эрмитовы матрицы над Алгебра Кэли с операторной нормой меньше 1

Классические домены

В классических случаях (I – IV) некомпактная группа может быть реализована блочными матрицами 2 × 2^[21]

${displaystyle displaystyle {g = {egin {pmatrix} A&B C & Dend {pmatrix}}}}$

действуя посредством обобщенного Преобразования Мебиуса

${displaystyle displaystyle {g (Z) = (AZ + B) (CZ + D) ^ {- 1}.}}$

Теорема о полидиске в классических случаях принимает следующий конкретный вид:^[22]

• Тип I_pq (п ≤ q): для каждого п × q матрица M существуют унитарные матрицы такие, что UMV диагональный. Фактически это следует из полярное разложение за п × п матрицы.
• Тип III_п: для каждого сложного симметричного п × п матрица M есть унитарная матрица U такой, что УМУ^т диагональный. Это доказывается классическим аргументом Сигель. Брать V унитарный, так что V*M*MV диагональный. потом V^тMV симметричен и его действительная и мнимая части коммутируют. Поскольку они являются действительными симметричными матрицами, они могут быть одновременно диагонализованы действительной ортогональной матрицей W. Так УМУ^т диагонально, если U = WV^т.
• Тип II_п: для каждого сложного кососимметричного п × п матрица M существует унитарная матрица такая, что УМУ^т состоит из диагональных блоков ${displaystyle {egin {pmatrix} 0 & a -a & 0end {pmatrix}}}$ и один ноль, если п странно. Как и в аргументе Сигеля, это можно свести к случаю, когда действительная и мнимая части M ездить. Любая вещественная кососимметричная матрица сводится к заданной каноническая форма ортогональной матрицей, и это может быть сделано одновременно для коммутирующих матриц.
• Тип IV_п: преобразованием в SO (п) × SO (2) любой вектор можно преобразовать так, чтобы все координаты, кроме первых двух, были ненулевыми.

Граничные компоненты

Некомпактная группа ЧАС* действует на комплексное эрмитово симметрическое пространство ЧАС/K = грамм/п с конечным числом орбит. Структура орбиты подробно описана в Волк (1972). В частности, замыкание ограниченной области ЧАС*/K имеет уникальную замкнутую орбиту, которая является Шиловский рубеж домена. В общем случае орбиты представляют собой объединение эрмитовых симметрических пространств меньшей размерности. Комплексная теория функций областей, в частности аналог теории Интегральные формулы Коши, описаны для областей Картана в Хуа (1979). Замыкание ограниченной области - это Компактификация Бейли – Бореля. из ЧАС*/K.^[23]

Граничную структуру можно описать с помощью Кэли трансформируется. Для каждой копии SU (2), определяемой одним из некомпактных корней ψ_я, существует преобразование Кэли c_я которое как преобразование Мёбиуса отображает единичный круг на верхнюю полуплоскость. Учитывая подмножество я индексов сильно ортогонального семейства ψ₁, ..., ψ_р, то частичное преобразование Кэли c_я определяется как продукт c_яс я в я в произведении групп π_я. Позволять грамм(я) быть централизатором этого продукта в грамм и ЧАС*(я) = ЧАС* ∩ грамм(я). Поскольку σ оставляет ЧАС*(я) инвариантно, существует соответствующее эрмитово симметрическое пространство M_я ЧАС*(я)/ЧАС*(я)∩K ⊂ ЧАС*/K = M . Граничный компонент для подмножества я это союз K-переводы c_я M_я. Когда я - множество всех индексов, M_я - единственная точка, а граничная компонента - граница Шилова. Более того, M_я находится в закрытии M_J если и только если я ⊇ J.^[24]

Геометрические свойства

Каждое эрмитово симметрическое пространство является Кэлерово многообразие. Их можно эквивалентно определить как римановы симметрические пространства с параллельной комплексной структурой, относительно которых риманова метрика Эрмитский. Сложная структура автоматически сохраняется группой изометрии ЧАС метрики и, следовательно, любое эрмитово симметрическое пространство M - однородное комплексное многообразие. Некоторые примеры сложные векторные пространства и комплексные проективные пространства, с их обычными эрмитовыми метриками и Fubini – Study metrics, а комплекс единичные шары с подходящими показателями, чтобы они стали полный и риманова симметричная. В компактный Эрмитовы симметрические пространства проективные многообразия, и допускают строго больший Группа Ли грамм из биголоморфизмы относительно которого они однородны: фактически, они обобщенные многообразия флагов, т.е. грамм является полупростой а стабилизатор точки - это параболическая подгруппа п из грамм. Среди (комплексных) многообразий обобщенных флагов грамм/п, они характеризуются как те, для которых нильрадикал алгебры Ли п абелева. Таким образом, они содержатся в семействе симметричных R-пространств, которое, наоборот, включает эрмитовы симметрические пространства и их действительные формы. Некомпактные эрмитовы симметрические пространства могут быть реализованы как ограниченные области в комплексных векторных пространствах.

Йордановы алгебры

Хотя классические эрмитовы симметрические пространства можно построить специальными методами, Иорданские тройные системы, или, что эквивалентно, йордановы пары, обеспечивают единообразные алгебраические средства описания всех основных свойств, связанных с эрмитовым симметрическим пространством компактного типа и его некомпактным двойственным. Эта теория подробно описана в Кехер (1969) и Лоос (1977) и резюмировано в Сатаке (1981). Развитие идет в обратном порядке по сравнению с использованием структурной теории компактных групп Ли. Его отправной точкой является эрмитово симметричное пространство некомпактного типа, реализованное в виде ограниченной симметричной области. Это можно описать как Иорданская пара или эрмитский Тройная система Иордана. Эта структура йордановой алгебры может быть использована для восстановления дуального эрмитова симметрического пространства компактного типа, включая, в частности, все ассоциированные алгебры Ли и группы Ли.

Теорию проще всего описать, когда неприводимое компактное эрмитово симметрическое пространство имеет трубчатый тип. В этом случае пространство определяется простой вещественной алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$с отрицательно определенной формой убийства. Он должен допускать действие SU (2), которое действует только через тривиальное и присоединенное представление, оба типа встречаются. С ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ простое, это действие является внутренним, поэтому реализуется включением алгебры Ли группы SU (2) в ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Усложнение ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ разлагается как прямая сумма трех собственных подпространств для диагональных матриц в SU (2). Это трехступенчатая комплексная алгебра Ли с элементом группы Вейля в SU (2), обеспечивающим инволюцию. Каждое из собственных подпространств ± 1 имеет структуру унитальной комплексной йордановой алгебры, которая явно возникает как комплексификация евклидовой йордановой алгебры. Его можно отождествить с пространством кратностей присоединенного представления SU (2) в ${displaystyle {mathfrak {g}}}$.

Описание неприводимых эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа начинается с простой евклидовой йордановой алгебры E. Он признает Jordan оправы, т.е. множества ортогональных минимальных идемпотентов е₁, ..., е_м. Любые два связаны автоморфизмом E, так что целое число м инвариант, называемый классифицировать из E. Более того, если А усложнение E, имеет унитарный структурная группа. Это подгруппа GL (А) сохранение природного сложного внутреннего продукта на А. Любой элемент а в А имеет полярное разложение а = ты ∑ α_я а_я с α_я ≥ 0. Спектральная норма определяется как || a || = sup α_я. Связанный ограниченная симметричная область это просто открытый шар D в А. Существует биголоморфизм между D и трубчатая область Т = E + IC куда C - открытый самодвойственный выпуклый конус элементов из E формы а = ты ∑ α_я а_я с ты автоморфизм E и α_я > 0. Это дает два описания эрмитова симметрического пространства некомпактного типа. Есть естественный способ использования мутации йордановой алгебры А уплотнить пространство А. Компактификация Икс является комплексным многообразием, а конечномерная алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ голоморфных векторных полей на Икс можно определить явно. Однопараметрические группы биголоморфизмов могут быть определены так, что соответствующие голоморфные векторные поля покрывают ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Сюда входит группа всех комплексных преобразований Мёбиуса, соответствующих матрицам из SL (2,C). Подгруппа SU (1,1) оставляет неизменными единичный шар и его замыкание. Подгруппа SL (2,р) оставляет неизменными трубчатую область и ее замыкание. Обычное преобразование Кэли и его обратное, отображающее единичный круг в C в верхнюю полуплоскость, устанавливает аналогичные отображения между D и Т. Полидиск соответствует действительной и комплексной йордановой подалгебре, порожденной фиксированным жордановым каркасом. Он допускает транзитивное действие SU (2)^м и это действие распространяется на Икс. Группа грамм порожденные однопараметрическими группами биголоморфизмов, точно действует на ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Подгруппа, порожденная компонентом идентичности K унитарной структурной группы и операторов в SU (2)^м. Он определяет компактную группу Ли ЧАС который действует транзитивно на Икс. Таким образом ЧАС / K - соответствующее эрмитово симметрическое пространство компактного типа. Группа грамм можно отождествить с комплексирование из ЧАС. Подгруппа ЧАС* уход D инвариант - некомпактная вещественная форма грамм. Он действует транзитивно на D так что ЧАС* / K - дуальное эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа. Включения D ⊂ А ⊂ Икс воспроизвести вложения Бореля и Хариш-Чандры. Классификация эрмитовых симметрических пространств трубчатого типа сводится к классификации простых евклидовых йордановых алгебр. Они были классифицированы по Иордания, фон Нейман и Вигнер (1934) с точки зрения Евклидовы алгебры Гурвица, особый вид композиционная алгебра.

В общем случае эрмитово симметрическое пространство порождает 3-градуированную алгебру Ли с линейным сопряженным автоморфизмом периода 2, переключающим части степени ± 1 и сохраняющим часть степени 0. Это приводит к структуре Иорданская пара или эрмитский Тройная система Иордана, которому Лоос (1977) расширил теорию йордановых алгебр. Все неприводимые эрмитовы симметрические пространства могут быть построены равномерно в этих рамках. Кехер (1969) построил неприводимое эрмитово симметрическое пространство нетрубчатого типа из простой евклидовой йордановой алгебры вместе с автоморфизмом периода 2.Собственное подпространство −1 автоморфизма имеет структуру йордановой пары, которая может быть выведена из структуры большей йордановой алгебры. В случае нетрубного типа, соответствующего Зигель домен типа II не существует выделенной подгруппы вещественных или комплексных преобразований Мёбиуса. Для неприводимых эрмитовых симметрических пространств трубчатый тип характеризуется действительной размерностью границы Шилова S будучи равным комплексному измерению D.

Смотрите также

• Инвариантный выпуклый конус

Примечания

Рекомендации

• Агаока, Йошио; Канеда, Эйдзи (2002), "Сильно ортогональные подмножества в корневых системах", Hokkaido Math. Дж., 31: 107–136, Дои:10.14492 / hokmj / 1350911773
• Арази, Джонатан (1995), "Обзор инвариантных гильбертовых пространств аналитических функций на ограниченных симметрических областях", Теория операторов многих переменных (Сиэтл, Вашингтон, 1993), Современная математика, 185, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 7–65, Дои:10.1090 / conm / 185/02147, ISBN  9780821802984, МИСТЕР  1332053
• Борель, Арман (1952), Les espaces hermitiens symétriques, Exposé No. 62, Семинар Бурбаки, 2, заархивировано из оригинал на 2016-03-04
• Борель, Арман; Цзи, Личжэнь (2006), Компактификации симметричных и локально симметричных пространств, Спрингер, ISBN  978-0817632472
• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (главы 7–8), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3540339397
• Бурбаки, Н. (1982), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN  978-3540343929
• Картан Эли (1935 г.), "Sur les domainesborn homogènes de l'espace des variable complex", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 11: 116–162, Дои:10.1007 / bf02940719
• Дьедонне, Дж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, глава XXI., Трактат по анализу, 5, Academic Press, ISBN  978-0122155055
• Duistermaat, J.J .; Колк, А. (2000), Группы Ли, Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Гилмор, Роберт (1994), Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения, Кригер, ISBN  978-0-89464-759-8
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства, Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9 Стандартная книга по римановым симметрическим пространствам.
• Хельгасон, Сигурдур (1994), Геометрический анализ на симметричных пространствах, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1538-0
• Хуа, Л. К. (1979), Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях, Переводы математических монографий, 6, Американское математическое общество, Провиденс, ISBN  978-0-8218-1556-4
• Jordan, P .; von Neumann, J .; Вигнер, Э. (1934), "Об одном алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", Анна. математики., 35 (1): 29–64, Дои:10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Кнапп, Энтони В. (1972), «Ограниченные симметрические области и голоморфные дискретные серии», в Бутби, Уильям; Вайс, Гвидо (ред.), Симметричные пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет), Чистая и прикладная математика, 8, Деккер, стр. 211–246.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, 2, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-15732-8
• Кехер, Макс (1969), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям, Конспект лекций по математике, Университет Райса
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметрические области и жордановы пары (PDF), Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, архив из оригинал (PDF) на 2016-03-03, получено 2013-03-18
• Мок, Нгаиминг (1989), Метрические теоремы о жесткости на эрмитовых локально симметричных многообразиях, World Scientific, ISBN  978-9971-5-0802-9
• Сатаке, Ичиро (1981), Алгебраические структуры симметричных областей., Издательство Принстонского университета, ISBN  9780691082714
• Сигель, Карл Людвиг (1943), «Симплектическая геометрия», Американский журнал математики, 65 (1): 1–86, Дои:10.2307/2371774, JSTOR  2371774
• Вольф, Джозеф А. (1964), «О классификации эрмитовых симметричных пространств», Indiana Univ. Математика. Дж., 13 (3): 489–495, Дои:10.1512 / iumj.1964.13.13028
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны, AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0821852828. Глава 8 содержит автономное изложение эрмитовых симметрических пространств компактного типа.
• Вольф, Джозеф А. (1972), "Тонкая структура эрмитовых симметрических пространств", в Boothby, William; Вайс, Гвидо (ред.), Симметричные пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет), Чистая и прикладная математика, 8, Dekker, стр. 271–357.. Он содержит подробное изложение эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа.