Биголоморфизм - Biholomorphism

Комплекс экспоненциальная функция отображение биголоморфного прямоугольника на четвертькольцо.

в математическая теория функций один или же более сложные переменные, а также в сложная алгебраическая геометрия, а биголоморфизм или же биголоморфная функция это биективный голоморфная функция чей обратный это также голоморфный.

Формальное определение

Формально биголоморфная функция это функция ${displaystyle phi}$ определено на открытое подмножество U из ${displaystyle n}$ -мерное сложное пространство C^п со значениями в C^п который голоморфный и один к одному, так что его изображение это открытый набор ${displaystyle V}$ в C^п и обратное ${displaystyle phi ^ {- 1}: V o U}$ это также голоморфный. В более общем смысле, U и V возможно комплексные многообразия. Как и в случае функций одной комплексной переменной, достаточным условием для того, чтобы голоморфное отображение было биголоморфным своему образу, является то, что отображение является инъективным, и в этом случае обратное также голоморфно (например, см. Ганнинг 1990, теорема I. 11).

Если существует биголоморфизм ${displaystyle phi двоеточие U o V}$ мы говорим, что U и V находятся биголоморфно эквивалентный или что они биголоморфный.

Теорема Римана об отображении и обобщения

Если ${displaystyle n = 1,}$ каждый односвязный открытое множество, отличное от всей комплексной плоскости, биголоморфно единичный диск (это Теорема римана отображения ). В высших измерениях ситуация совсем иная. Например, откройте единичные шары и открыть блок полидиски не биголоморфно эквивалентны для ${displaystyle n> 1.}$ На самом деле не существует даже правильный голоморфная функция от одного к другому.

Альтернативные определения

В случае карт ж : U → C определено на открытом подмножестве U комплексной плоскости C, некоторые авторы (например, Freitag 2009, определение IV.4.1) определяют конформная карта быть инъективным отображением с ненулевой производной, т. е. ж’(z) ≠ 0 для каждого z в U. Согласно этому определению, карта ж : U → C конформно тогда и только тогда, когда ж: U → ж(U) биголоморфна. Другие авторы (например, Conway 1978) определяют конформное отображение как отображение с ненулевой производной, не требуя, чтобы отображение было инъективным. Согласно этому более слабому определению конформности, конформное отображение не обязательно должно быть биголоморфным, даже если оно локально биголоморфно. Например, если ж: U → U определяется ж(z) = z² с U = C- {0}, затем ж конформно на U, поскольку его производная ж’(z) = 2z 0, но он не биголоморфен, поскольку равен 2-1.

Биголоморфизм - Biholomorphism

Содержание

Формальное определение

Теорема Римана об отображении и обобщения

Альтернативные определения

Рекомендации