Комплексное многообразие - Complex manifold

В дифференциальная геометрия и сложная геометрия, а комплексное многообразие это многообразие с атлас из диаграммы к открытый единичный диск^[1] в C^п, так что карты переходов находятся голоморфный.

Период, термин комплексное многообразие по-разному используется для обозначения комплексного многообразия в указанном выше смысле (которое может быть определено как интегрируемый комплексное многообразие) и почти комплексное многообразие.

Последствия сложной структуры

С голоморфные функции намного более жесткие, чем гладкие функции, теории гладких и сложных многообразий имеют очень разные вкусы: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраические многообразия чем дифференцируемым многообразиям.

Например, Теорема вложения Уитни говорит нам, что каждый гладкий п-мерное многообразие может быть встроенный как гладкое подмногообразие в р^2п, в то время как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в C^п. Рассмотрим, например, любой компактный связное комплексное многообразие M: любая голоморфная функция на нем постоянна Теорема Лиувилля. Если бы у нас было голоморфное вложение M в C^п, то координатные функции C^п ограничился бы непостоянными голоморфными функциями на M, что противоречит компактности, за исключением случая, когда M это просто точка. Комплексные многообразия, которые можно вложить в C^п называются Многообразия Штейна и образуют очень специальный класс многообразий, включая, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия.

Классификация комплексных многообразий гораздо более тонкая, чем классификация дифференцируемых многообразий. Например, в размерностях, отличных от четырех, данное топологическое многообразие имеет не более чем конечное число гладкие конструкции топологическое многообразие, поддерживающее сложную структуру, может поддерживать и часто поддерживает несчетное количество сложных структур. Римановы поверхности, двумерные многообразия со сложной структурой, которые топологически классифицируются род, являются важным примером этого явления. Множество сложных структур на данной ориентируемой поверхности по модулю биголоморфной эквивалентности само образует комплексное алгебраическое многообразие, называемое пространство модулей, структура которого остается областью активных исследований.

Поскольку отображения переходов между картами биголоморфны, комплексные многообразия, в частности, гладкие и канонически ориентированные (а не только ориентируемый: биголоморфное отображение в (подмножество) C^п дает ориентацию, поскольку биголоморфные карты сохраняют ориентацию).

Примеры комплексных многообразий

Римановы поверхности.
Многообразия Калаби – Яу..
Декартово произведение двух комплексных многообразий.
Прообраз любого некритического значения голоморфного отображения.

Гладкие комплексные алгебраические многообразия

Гладкий комплекс алгебраические многообразия являются комплексными многообразиями, в том числе:

Комплексные векторные пространства.
Комплексные проективные пространства,^[2] п^п(C).
Сложный Грассманианы.
Сложный Группы Ли такие как GL (п, C) или Sp (п, C).

Точно так же кватернионный их аналогами также являются комплексные многообразия.

Просто подключено

В односвязный Одномерные комплексные многообразия изоморфны либо:

Δ, единичный диск в C
C, комплексная плоскость
Ĉ, то Сфера Римана

Отметим, что между ними есть включения как Δ ⊆ C ⊆ Ĉ, но нет непостоянных отображений в обратном направлении,Теорема Лиувилля.

Диск против пространства против полидиска

Следующие пространства отличаются как комплексные многообразия, демонстрируя более жесткий геометрический характер комплексных многообразий (по сравнению с гладкими многообразиями):

сложное пространство C^п.
единичный диск или открытый мяч

{ Displaystyle left {z in mathbf {C} ^ {n} : | z | <1 right }.}

в полидиск

{ displaystyle left {z = (z_ {1}, z_ {2}, dots, z_ {n}) in mathbf {C} ^ {n} : vert z_ {j} vert <1, { mbox {для всех}} j = 1, dots, n right }.}

Почти сложные конструкции

An почти сложная структура на вещественном 2n-многообразии является GL (п, C) -структура (в смысле G-структуры ), Т. Е. Касательное расслоение снабжено линейная сложная структура.

Конкретно это эндоморфизм из касательный пучок чей квадрат -я; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимое число я, и обозначается J (чтобы избежать путаницы с единичной матрицей я). Почти комплексное многообразие обязательно четномерно.

Почти сложная структура - это слабее чем сложная структура: любое сложное многообразие имеет почти сложную структуру, но не каждая почти сложная структура возникает из сложной структуры. Обратите внимание, что каждое четномерное вещественное многообразие имеет почти сложную структуру, определенную локально из локальной координатной карты. Вопрос в том, можно ли определить эту сложную структуру глобально. Почти сложная структура, возникающая из сложной структуры, называется интегрируемый, и когда кто-то желает определить сложную структуру в отличие от почти сложной структуры, он говорит интегрируемый сложная структура. Для интегрируемых сложных структур так называемые Тензор Нейенхейса исчезает. Этот тензор определен на парах векторных полей, Икс, Y к

{ Displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] .}

Например, 6-мерный сфера S⁶ имеет естественную почти сложную структуру, возникающую из-за того, что это ортогональное дополнение из я в единичной сфере октонионы, но это не сложная конструкция. (Вопрос о том, имеет ли он сложную структуру, известен как Проблема Хопфа, после Хайнц Хопф.^[3]) Используя почти комплексную структуру, мы можем понять смысл голоморфных отображений и спросить о существовании голоморфных координат на многообразии. Существование голоморфных координат равносильно тому, что многообразие является комплексным (что и говорится в определении карты).

Тензорируя касательное расслоение комплексными числами, получаем усложненный касательное расслоение, на котором умножение на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начали с реального многообразия). Собственные значения почти сложной структуры равны ±я а собственные подпространства образуют подпучки, обозначаемые Т^0,1M и Т^1,0M. В Теорема Ньюлендера – Ниренберга показывает, что почти сложная структура на самом деле является сложной структурой именно тогда, когда эти подгруппы инволютивный, т.е. замкнутую относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти комплексная структура называется интегрируемый.

Многообразия Кэлера и Калаби – Яу.

Можно определить аналог Риманова метрика для комплексных многообразий, называемых Эрмитова метрика. Подобно римановой метрике, эрмитова метрика состоит из плавно меняющегося положительно определенного внутреннего произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым по отношению к комплексной структуре касательного пространства в каждой точке. Как и в римановом случае, таких метрик всегда в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметричная часть такой метрики равна симплектический, т.е. замкнутая и невырожденная, то метрика называется Kähler. Структуры Kähler гораздо труднее достать и они гораздо более жесткие.

Примеры Кэлеровы многообразия включить гладкий проективные многообразия и вообще любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. В Многообразия Хопфа являются примерами комплексных многообразий, не являющихся кэлеровыми. Чтобы построить такое, возьмите комплексное векторное пространство без начала координат и рассмотрите действие группы целых чисел на этом пространстве путем умножения на exp (п). Фактор - это комплексное многообразие, первое Бетти число один, так что Теория Ходжа, это не может быть Келер.

А Многообразие Калаби – Яу можно определить как компактный Риччи-квартира Кэлерово многообразие или, что эквивалентно, такое, первое Черн класс исчезает.

Смотрите также

Сноски

^ Необходимо использовать открытый единичный диск в C^п в качестве модельного пространства вместо C^п потому что они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий.
^ Это означает, что все комплексные проективные пространства ориентируемый, в отличие от реального случая
^ Агрикола, Илька; Баццони, Джованни; Гёрчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения. 57: 1–9. arXiv:1708.01068. Дои:10.1016 / j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.