Группа Fischer Fi24 - Fischer group Fi24

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Фишера Fi₂₄ или F₂₄' это спорадическая простая группа из порядок

   2²¹ · 3¹⁶ · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29

= 1255205709190661721292800

≈ 1×10²⁴.

История и свойства

Fi₂₄ является одной из 26 спорадических групп и крупнейшей из трех групп Фишера, введенных Бернд Фишер  (1971, 1976 ) при исследовании 3-транспозиционные группы. Это 3-я по величине из спорадических групп (после группы Monster и группы Baby Monster).

В группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а Множитель Шура имеет порядок 3. Группа автоморфизмов является 3-транспозиционной группой Fi₂₄, содержащую простую группу с индексом 2.

Центратор элемента порядка 3 в группа монстров является тройным покрытием спорадической простой группы Fi₂₄, в результате чего простое число 3 играет в его теории особую роль.

Представления

Центратор элемента порядка 3 в группа монстров является тройным покрытием группы Фишера, в результате чего простое число 3 играет особую роль в ее теории. В частности, он действует на вершинную операторную алгебру над полем из трех элементов.

Простая группа Фишера имеет действие ранга 3 на графе 306936 (= 2³.3³.7².29) вершины, соответствующие 3-транспозициям Fi₂₄, с точечным стабилизатором Группа Fischer Fi23.

Тройное покрытие имеет комплексное представление размерности 783. При сокращении по модулю 3 оно имеет одномерные инвариантные подпространства и факторпространства, дающие неприводимое представление размерности 781 над полем с 3 элементами.

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для Fi₂₄ (а также Fi₂₃) соответствующий ряд Маккея-Томпсона имеет вид ${ Displaystyle T_ {3A} ( тау)}$ где можно положить постоянный член a (0) = 42 (OEIS: A030197),

${ displaystyle { begin {align} j_ {3A} ( tau) & = T_ {3A} ( tau) +42 & = { Big (} { big (} { tfrac { eta ( tau)} { eta (3 tau)}} { big)} ^ {6} + 3 ^ {3} { big (} { tfrac { eta (2 tau)} { eta ( tau)}} { big)} ^ {6} { Big)} ^ {2} & = { frac {1} {q}} + 42 + 783q + 8672q ^ {2} + 65367q ^ {3} + 371520q ^ {4} + 1741655q ^ {5} + точки конец {выровнено}}}$

Максимальные подгруппы

Линтон и Уилсон (1991) найдено 22 класса сопряженности максимальных подгрупп группы Fi₂₄ следующим образом:

• Fi₂₃ Централизует 3-транспозицию в группе автоморфизмов Fi₂₄.
• 2. Fi₂₂:2
• (3 х O⁺
  ₈(3):3):2
• О^–
  ₁₀(2)
• 3⁷.O₇(3)
• 3¹⁺¹⁰: U₅(2):2
• 2¹¹.M₂₄
• 2².U₆(2): S₃
• 2¹⁺¹²: 3.U₄(3).2
• 3²⁺⁴⁺⁸. (А₅ х 2А₄).2
• (А₄ x O⁺
  ₈(2):3):2
• Он: 2 (Два класса, слитые внешним автоморфизмом)
• 2³⁺¹². (L₃(2) х А₆)
• 2⁶⁺⁸. (S₃ х А₈)
• (Г₂(3) х 3²:2).2
• (А₉ х А₅):2
• А₇ х 7: 6
• [3¹³] :( L₃(3) х 2)
• L₂(8): 3 х А₆
• U₃(3): 2 (Два класса, слитые внешним автоморфизмом)
• L₂(13): 2 (Два класса, слитые внешним автоморфизмом)
• 29:14

использованная литература

• Ашбахер, Михаэль (1997), 3-транспозиционные группы, Кембриджские трактаты по математике, 124, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511759413, ISBN  978-0-521-57196-8, Г-Н  1423599 содержит полное доказательство теоремы Фишера.
• Фишер, Бернд (1971), "Конечные группы, порожденные 3-транспозициями. I", Inventiones Mathematicae, 13 (3): 232–246, Дои:10.1007 / BF01404633, ISSN  0020-9910, Г-Н  0294487 Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
• Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями, Препринт, Математический институт, Уорикский университет
• Линтон, Стивен А .; Уилсон, Роберт А. (1991), "Максимальные подгруппы групп Фишера Fi₂₄ и Fi₂₄'", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 63 (1): 113–164, Дои:10.1112 / плмс / с3-63.1.113, ISSN  0024-6115, Г-Н  1105720
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Уилсон, Р.А. Атлас представления конечных групп.

внешние ссылки

• MathWorld: Группы Фишера
• Атлас представлений конечных групп: Fi24