Группа Frieze - Frieze group

Примеры фризовых узоров

В математике фриз или узор фриза это дизайн на двумерный поверхность, повторяющаяся в одном направлении. Такие модели часто встречаются в архитектура и декоративное искусство. А группа фризов это набор симметрии фризового узора, в частности, набор изометрии шаблона, то есть геометрические преобразования построен из жестких движений и размышления сохраняющие узор. Математическое исследование рисунков фризов показывает, что их можно разделить на семь типов в зависимости от их симметрии.

Фриз-группы двумерны. группы линий, имея повторение только в одном направлении. Они относятся к более сложным группы обоев, которые классифицируют шаблоны, повторяющиеся в двух направлениях, и кристаллографические группы, которые классифицируют шаблоны, повторяющиеся в трех направлениях.

Общее

Семь фризовых групп
  1. p1: T (только перевод в горизонтальном направлении)
  2. p1m1: TV (перевод и отражение вертикальной линии)
  3. p11m: THG (перевод, отражение горизонтальной линии и отражение скольжения)
  4. p11g: TG (перевод и отражение)
  5. p2: TR (поступление и поворот на 180 °)
  6. p2mg: TRVG (перенос, поворот на 180 °, отражение вертикальной линии и отражение при скольжении)
  7. p2mm: TRHVG (перенос, поворот на 180 °, отражение горизонтальной линии, отражение вертикальной линии и отражение скольжения)

Формально фризовая группа - это класс бесконечных дискретных группы симметрии узоров на полосе (бесконечно широкий прямоугольник), следовательно, класс группы из изометрии самолета или полосы. Группа симметрии фризовой группы обязательно содержит переводы и может содержать скользящие отражения, размышления по длинной оси полосы отражения по узкой оси полосы и 180 ° вращения. В сводной таблице перечислено семь групп фризов. Многие авторы представляют фризовые группы в другом порядке.[1][2]

Фактические группы симметрии внутри группы фризов характеризуются наименьшим расстоянием перемещения, а для групп фризов с вертикальным отражением линии или поворотом на 180 ° (группы 2, 5, 6 и 7) параметром смещения, определяющим положение оси отражения или точка вращения. В случае групп симметрии в плоскости дополнительными параметрами являются направление вектора трансляции, а для групп фризов с отражением от горизонтальной линии, скользящим отражением или поворотом на 180 ° (группы 3–7) положение отражения ось или точка вращения в направлении, перпендикулярном вектору перемещения. Таким образом, есть два степени свободы для группы 1, три для групп 2, 3 и 4 и четыре для групп 5, 6 и 7.

Для двух из семи групп фризов (группы 1 и 4) группы симметрии самостоятельно генерируемый, для четырех (группы 2, 3, 5 и 6) они имеют пару образующих, а для группы 7 группы симметрии требуют трех образующих. Группа симметрии в группе фризов 1, 2, 3 или 5 является подгруппа группы симметрии в последней группе фриза с таким же трансляционным расстоянием. Группа симметрии в группе фризов 4 или 6 - это подгруппа группы симметрии в последней группе фризов с половина поступательное расстояние. Эта последняя группа фризов содержит группы симметрии простейших периодических узоров в полосе (или плоскости), ряду точек. Любое преобразование плоскости, оставляющее этот образец неизменным, может быть разложено на перевод, (Икс, у) ↦ (п + Икс, у), необязательно с последующим отражением по горизонтальной оси, (Икс, у) ↦ (Икс, −у), или вертикальная ось, (Икс, у) ↦ (−Икс, у), при условии, что эта ось выбрана через или посередине между двумя точками, или поворот на 180 °, (Икс, у) ↦ (−Икс, −у) (то же самое). Следовательно, в некотором смысле эта группа фризов содержит «самые большие» группы симметрии, которые состоят из всех таких преобразований.

Включение дискретный Условие состоит в том, чтобы исключить группу, содержащую все переводы, и группы, содержащие сколь угодно малые переводы (например, группу горизонтальных переводов на рациональные расстояния). Даже помимо масштабирования и смещения случаев существует бесконечно много, например рассматривая рациональные числа, знаменатели которых являются степенями данного простого числа.

Включение бесконечный условием является исключение групп, у которых нет переводов:

  • группа только с единицей (изоморфная C1, то тривиальная группа порядка 1).
  • группа, состоящая из единицы и отражения по горизонтальной оси (изоморфна C2, то циклическая группа порядка 2).
  • группы, каждая из которых состоит из идентичности и отражения на вертикальной оси (то же самое)
  • группы, каждая из которых состоит из идентичности и поворота на 180 ° вокруг точки на горизонтальной оси (то же самое)
  • группы, каждая из которых состоит из идентичности, отражения по вертикальной оси, отражения по горизонтальной оси и поворота на 180 ° вокруг точки пересечения (изоморфно Кляйн четыре группы )

Описание семи фризовых групп

В дискретной группе фризов есть семь различных подгрупп (вплоть до масштабирования и смещения узоров), создаваемых перемещением, отражением (вдоль той же оси) и поворотом на 180 °. Каждая из этих подгрупп представляет собой группу симметрии рисунка фриза, и образцы рисунков показаны на рис. 1. Семь различных групп соответствуют 7 бесконечных серий осевых точечных групп в трех измерениях, с участием п = ∞.[3]

Они обозначены в таблице ниже с помощью Обозначения Германа – Могена (или Обозначение IUC ),[4] Обозначение Кокстера, Обозначение Шенфлиса, орбифолдная запись, псевдонимы, созданные математиком Джон Х. Конвей и, наконец, описание с точки зрения перевода, отражения и вращения.

Фриз-группы
IUCКоксSchön*
Struct.		Диаграмма§
Орбифолд		Примеры
и Конвей прозвище[5]		Описание
p1[∞]+
CDel узел h2.pngCDel infin.pngCDel узел h2.png		C∞
Z∞		Frieze group 11.png
∞∞		F F F F F F F F
Пример Frieze p1.png
Frieze hop.png
хмель		(T) Только переводы:
Эта группа генерируется отдельно путем сдвига на наименьшее расстояние, на которое шаблон является периодическим.
p11g[∞+,2+]
CDel узел h2.pngCDel infin.pngCDel узел h4.pngCDel 2x.pngCDel узел h2.png		S∞
Z∞		Frieze group 1g.png
∞×		Γ L Γ L Γ L Γ L
Пример Frieze p11g.png
Frieze step.png
шаг		(TG) Размышления и переводы:
Эта группа создается по отдельности в результате отражения скольжения, а переводы получают путем объединения двух отражений скольжения.
p1m1[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png		C∞v
Dih∞		Frieze group m1.png
*∞∞		Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ
Пример Frieze p1m1.png
Frieze sidle.png
сбоку		(TV) Вертикальные линии отражения и переводы:
Группа такая же, как нетривиальная группа в одномерном случае; он создается перемещением и отражением по вертикальной оси.
p2[∞,2]+
CDel узел h2.pngCDel infin.pngCDel узел h2.pngCDel 2x.pngCDel узел h2.png		D∞
Dih∞		Frieze group 12.png
22∞		S S S S S S S S
Пример Frieze p2.png
Frieze spinning hop.png
прядильный хмель		(TR) Перевод и поворот на 180 °:
Группа создается за счет перевода и поворота на 180 °.
p2mg[∞,2+]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel узел h2.pngCDel 2x.pngCDel узел h2.png		D∞d
Dih∞		Frieze group mg.png
2*∞		V Λ V Λ V Λ V Λ
Пример Frieze p2mg.png
Frieze spinning sidle.png
вращающийся бочонок		(TRVG) Вертикальные отражающие линии, скользящие отражения, переводы и поворот на 180 °:
Переводы здесь возникают из-за скользящих отражений, поэтому эта группа создается скользящим отражением и либо вращением, либо вертикальным отражением.
p11m[∞+,2]
CDel узел h2.pngCDel infin.pngCDel узел h2.pngCDel 2.pngCDel node.png		C∞h
Z∞× Ди1		Frieze group 1m.png
∞*		Б Б Б Б Б Б Б Б
Пример Frieze p11m.png
Frieze jump.png
Прыгать		(THG) Переводы, Горизонтальные отражения, Скользящие отражения:
Эта группа создается перемещением и отражением по горизонтальной оси. Скользящее отражение здесь возникает как композиция переноса и горизонтального отражения.
p2мм[∞,2]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png		D∞h
Dih∞× Ди1		Frieze group mm.png
*22∞		В Ч Ч Ч Ч В Ч
Пример Frieze p2mm.png
Frieze spinning jump.png
вращающийся прыжок		(TRHVG) Горизонтальные и вертикальные линии отражения, переводы и поворот на 180 °:
Для этой группы требуются три генератора, одна из которых состоит из трансляции, отражения по горизонтальной оси и отражения по вертикальной оси.
*Обозначение точечной группы Шенфлиса расширяется здесь как бесконечные случаи эквивалентных диэдральных точечных симметрий
§На схеме показан один фундаментальная область желтым, с линиями отражения синим, скользящими линиями отражения пунктирным зеленым, нормали сдвига красным, а точки двойного вращения в виде маленьких зеленых квадратов.

Как мы видели, до изоморфизм, есть четыре группы, две абелевский, и два неабелевых.

Типы решеток: косая и прямоугольная

Группы можно классифицировать по их типу двумерной сетки или решетки.[6] Наклон решетки означает, что второе направление не обязательно быть ортогональным в направлении повторения.

Тип решеткиГруппы
Косойp1, p2
Прямоугольныйp1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg

Смотрите также

Веб-демонстрация и программное обеспечение

Существуют программные графические инструменты, которые создают 2D-узоры с помощью групп фризов. Обычно весь узор обновляется автоматически в ответ на редактирование исходной полосы.

  • Эшер Бесплатная онлайн-программа для рисования, сохранения и экспорта мозаики. Поддерживает все группы обоев.
  • Кали, а бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом приложение для обоев, фриза и других узоров.
  • Кали, бесплатно загружаемый Kali для Windows и Mac Classic.
  • Тесс, а ворчание Программа тесселяции для нескольких платформ, поддерживает все группы обоев, фризов и розеток, а также мозаики Heesch.
  • FriezingWorkz, бесплатный стек Hypercard для платформы Classic Mac, который поддерживает все группы фризов.

использованная литература

  1. ^ Кокстер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.47–49. ISBN  0-471-50458-0.
  2. ^ Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии, 2-е изд.. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 117–118, 165–171. ISBN  0-387-98972-2.
  3. ^ Фишер, Г.Л .; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисера» (PDF), Журнал математики и искусств
  4. ^ Радаэлли, Паоло Г., Основы кристаллографической симметрии (PDF)[постоянная мертвая ссылка ]
  5. ^ Фризные Узоры Математик Джон Конвей придумал имена, относящиеся к шагам для каждой из групп фризов.
  6. ^ Hitzer, E.S.M .; Итикава, Д. (2008), «Представление кристаллографических субпериодических групп геометрической алгеброй» (PDF), Electronic Proc. AGACSE, Лейпциг, Германия (3, 17–19 августа 2008 г.), архивировано с оригинал (PDF) на 2012-03-14

внешние ссылки