Гессенский многогранник - Hessian polyhedron

Гессенский многогранник
Ортографическая проекция (3-угольные треугольные края обведены черными краями)
Символ Шлефли	3{3}3{3}3
Диаграмма Кокстера
Лица	27 3{3}3
Края	72 3{}
Вершины	27
Многоугольник Петри	Додекагон
многоугольник ван Осса	12 3{4}2
Группа Шепард	L3 = 3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	Обычный

В геометрия, то Гессенский многогранник это правильный комплексный многогранник ₃{3}₃{3}₃, , в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$. У него 27 вершин, 72 ₃{} ребра, и 27 ₃{3}₃ лица. Он самодвойственный.

Коксетер назвал его в честь Людвиг Отто Гессен за разделение Гессенская конфигурация ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 9 & 4 3 & 12 end {smallmatrix}} right]}$ или (9₄12₃), 9 точек лежат тройками на двенадцати линиях, по четыре линии через каждую точку.^[1]

это комплексная группа отражений является ₃[3]₃[3]₃ или , заказ 648, также называемый Гессенская группа. Имеет 27 экземпляров порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3. это Число Кокстера равно 12 со степенями фундаментальных инвариантов 3, 6 и 12, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.

В Многогранник Виттинга, ₃{3}₃{3}₃{3}₃, содержит многогранник Гессе в виде клетки и фигуры вершин.

Он имеет реальное представление как 2₂₁ многогранник, в 4-мерном пространстве с одинаковыми 27 вершинами. 216 граней в 2₂₁ можно увидеть как 72 ₃{} ребер представлены как 3 простых ребра.

Координаты

Его 27 вершинам можно дать координаты в ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$: для (λ, μ = 0,1,2).

(0, ω^λ, −ω^μ)

(−ω^μ, 0, ω^λ)

(ω^λ, −ω^μ,0)

где ${ displaystyle omega = { tfrac {-1 + я { sqrt {3}}} {2}}}$.

Как конфигурация

Многогранник Гессе с треугольными 3-гранями, очерченными черными краями, с одной гранью, обозначенной синим.

Один из 12 полигонов Ван осса, 3{4}2, в многограннике Гессе

Его симметрия определяется выражением ₃[3]₃[3]₃ или , заказ 648.^[2]

В матрица конфигурации за ₃{3}₃{3}₃ является:^[3]

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 27 & 8 & 8 3 & 72 & 3 8 & 8 & 27 end {smallmatrix}} right]}$

Количество элементов k-граней (f-векторы ) можно прочитать по диагонали. Количество элементов каждой k-грани указано в строках ниже диагонали. Количество элементов каждой k-фигуры указано в строках над диагональю.

L3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
L2		( )	ж0	27	8	8	3{3}3	L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27
L1L1		3{ }	ж1	3	72	3	3{ }	L3/ Л1L1 = 27*4!/9 = 72
L2		3{3}3	ж2	8	8	27	( )	L3/ Л2 = 27*4!/4! = 27

Изображений

Это 8 симметричных ортогональных проекций, некоторые из которых имеют перекрывающиеся вершины, показанные цветами. Здесь 72 треугольных ребра нарисованы как 3 отдельных ребра.

Самолет Кокстера орфографические проекции

E6 [12]	Авто (E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1 = красный, 3 = оранжевый)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Связанные сложные многогранники

Двойной гессенский многогранник
Символ Шлефли	2{4}3{3}3
Диаграмма Кокстера
Лица	72 2{4}3
Края	216 {}
Вершины	54
Многоугольник Петри	Восьмиугольник
многоугольник ван Осса	{6}
Группа Шепард	M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296
Двойной многогранник	Выпрямленный многогранник Гессе, 3{3}3{4}2
Характеристики	Обычный

В Гессенский многогранник можно рассматривать как чередование , = . Этот двойной гессенский многогранник имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 лица. Его вершины представляют собой объединение вершин и его двойная .

это комплексная группа отражений является ₃[3]₃[4]₂, или же , заказ 1296. Имеется 54 экз. порядка 24 в каждой вершине. Он имеет 24 отражения порядка 3 и 9 отражений второго порядка. это число Кокстера равно 18, со степенями фундаментальных инвариантов 6, 12 и 18, что видно из проективной симметрии многогранников.

Коксетер заметил, что три сложных многогранника , , похожи на настоящие тетраэдр (), куб (), и октаэдр (). Гессиан аналогичен тетраэдру, как куб - двойной тетраэдр, а октаэдр - выпрямленный тетраэдр. В обоих наборах вершины первого принадлежат двум двойственным парам второго, а вершины третьего находятся в центре ребер второго.^[4]

Его реальное представление 54 вершины содержатся в двух 2₂₁ многогранники в симметричных конфигурациях: и . Его вершины также можно увидеть в двойственном многограннике к 1₂₂.

строительство

Элементы можно увидеть в матрица конфигурации:

M3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
L2		( )	ж0	54	8	8	3{3}3	M3/ Л2 = 1296/24 = 54
L1А1		{ }	ж1	2	216	3	3{ }	M3/ Л1А1 = 1296/6 = 216
M2		2{4}3	ж2	6	9	72	( )	M3/ М2 = 1296/18 = 72

Изображений

Ортографические проекции

многогранник

многогранник с одной гранью, 2{4}3 выделен синим

многогранник с 54 вершинами, в двух 2 чередующихся цветах

и , показанные здесь с красными и синими вершинами, образуют регулярное соединение

Выпрямленный многогранник Гессе

Выпрямленный многогранник Гессе
Символ Шлефли	3{3}3{4}2
Диаграммы Кокстера	или .
Лица	54 3{3}3
Края	216 3{}
Вершины	72
Многоугольник Петри	Восьмиугольник
многоугольник ван Осса	9 3{4}3
Группа Шепард	M3 = 3[3]3[4]2, заказ 1296 3[3]3[3]3, заказ 648
Двойной многогранник	Двойной гессенский многогранник 2{4}3{3}3
Характеристики	Обычный

В исправление, удваивается по симметрии как правильный комплексный многогранник с 72 вершинами, 216 ₃{} ребра, 54 ₃{3}₃ лица. Его вершина фигура ₃{4}₂, и многоугольник Ван осса ₃{4}₃. Он двойственен двойной гессенский многогранник.^[5]

Он имеет реальное представление как 1₂₂ многогранник , разделяя 72 вершины. Его 216 3-ребер можно нарисовать как 648 простых ребер, что на 72 меньше 1.₂₂720 граней.

или имеет 72 вершины, 216 3-ребер и 54 3{3}3 лица

с одним синим лицом, 3{3}3 выделил

с одним из 9 полигонов ван осса, 3{4}3, выделил

строительство

Элементы можно увидеть в двух матрицы конфигурации, регулярная и квазирегулярная форма.

M₃ = ₃[3]₃[4]₂ симметрия

M3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2	k-Рис	Примечания
	( )	ж0	72	9	6	3{4}2	M3/ М2 = 1296/18 = 72
L1А1		3{ }	ж1	3	216	2	{ }	M3/ Л1А1 = 1296/3/2 = 216
L2		3{3}3	ж2	8	8	54	( )	M3/ Л2 = 1296/24 = 54

L₃ = ₃[3]₃[3]₃ симметрия

L3		k-лицо	жk	ж0	ж1	ж2		k-Рис	Примечания
L1L1		( )	ж0	72	9	3	3	3{ }×3{ }	L3/ Л1L1 = 648/9 = 72
L1		3{ }	ж1	3	216	1	1	{ }	L3/ Л1 = 648/3 = 216
L2		3{3}3	ж2	8	8	27	*	( )	L3/ Л2 = 648/24 = 27
				8	8	*	27

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. и Moser, W.O.J .; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр 67–80.
• Кокстер, Х. С. М.; Регулярные сложные многогранники, Cambridge University Press, (1974).
• Кокстер, Х. С. М. и Shephard, G.C .; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244,