Симплициальный комплекс - Simplicial complex

Симплициальный 3-комплекс.

В математика, а симплициальный комплекс это набор состоит из точки, отрезки линии, треугольники, и их п-размерные аналоги (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициальный набор появляющийся в современном симплициальном теория гомотопии. Чисто комбинаторный аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс.

Определения

А симплициальный комплекс ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ это набор симплексы который удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый лицо симплекса от ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ также в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$.

2. Непустой пересечение любых двух симплексов ${ displaystyle sigma _ {1}, sigma _ {2} in { mathcal {K}}}$ это лицо обоих ${ displaystyle sigma _ {1}}$ и ${ displaystyle sigma _ {2}}$.

См. Также определение абстрактный симплициальный комплекс, который, грубо говоря, является симплициальным комплексом без ассоциированной геометрии.

А симплициальный k-сложный ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ симплициальный комплекс, в котором наибольшая размерность любого симплекса в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ равно k. Например, симплициальный 2-комплекс должен содержать хотя бы один треугольник и не должен содержать никаких тетраэдры или многомерные симплексы.

А чистый или же однородный симплициальный k-сложный ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ является симплициальным комплексом, в котором каждый симплекс размерности меньше k это лицо какого-то симплекса ${ displaystyle sigma in { mathcal {K}}}$ размер точно k. Неформально чистый 1-комплексный "выглядит" так, как будто он состоит из группы линий, 2-комплексный "выглядит" так, как будто он состоит из группы треугольников и т. Д. не-однородный комплекс - это треугольник, к одной из вершин которого присоединен отрезок.

А грань любой симплекс в комплексе, который нет грань любого большего симплекса. (Обратите внимание на отличие от «лица» симплекса). Чистый симплициальный комплекс можно рассматривать как комплекс, в котором все грани имеют одинаковую размерность.

Иногда термин лицо используется для обозначения симплекса комплекса, не путать с гранью симплекса.

Для симплициального комплекса встроенный в k-мерное пространство, k-лицы иногда называют его клетки. Период, термин клетка иногда используется в более широком смысле для обозначения множества гомеоморфный к симплексу, что приводит к определению клеточный комплекс.

В нижележащее пространство, иногда называемый перевозчик симплициального комплекса - это союз его симплексов.

Замыкание, звездочка и ссылка

• 

  Два симплексы и их закрытие.

• 

  А вершина и это звезда.

• 

  А вершина и это связь.

Позволять K - симплициальный комплекс и пусть S быть набором симплексов в K.

В закрытие из S (обозначается ClS) - наименьший симплициальный подкомплекс K которые содержат каждый симплекс в S. ClS получается многократным добавлением к S каждая грань каждого симплекса в S.

В звезда из S (обозначается StS) - объединение звезд каждого симплекса в S. Для одного симплекса s, звезда s это множество симплексов, имеющих s как лицо. (Обратите внимание, что звезда S вообще не является симплициальным комплексом).

В связь из S (обозначается LkS) равно Cl StS - St ClSЭто закрытая звезда S минус звезды всех лицS.

Алгебраическая топология

В алгебраическая топология, симплициальные комплексы часто используются для конкретных вычислений. Для определения группы гомологии симплициального комплекса можно прочитать соответствующие цепной комплекс непосредственно, при условии, что все симплексы ориентированы последовательно. Требования теория гомотопии приводят к использованию более общих пространств, Комплексы CW. Бесконечные комплексы - это технический инструмент, базовый в алгебраической топологии. Также обсуждение на Многогранник симплициальных комплексов как подпространств Евклидово пространство состоит из подмножеств, каждое из которых является симплекс. Это несколько более конкретное понятие приписывается Александров. Любой конечный симплициальный комплекс в том смысле, о котором здесь говорилось, может быть вложен как многогранник в этом смысле в некотором большом количестве измерений. В алгебраической топологии a компактный топологическое пространство который гомеоморфен геометрической реализации конечного симплициального комплекса, обычно называется многогранник (видеть Spanier 1966, Маундер 1996, Хилтон и Уайли 1967 ).

Комбинаторика

Комбинатористы часто изучают ж-вектор симплициального d-комплекса Δ, который является целое число последовательность ${ displaystyle (f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {d + 1})}$, куда ж_я это количество (я−1) -мерные грани ∆ (условно ж₀ = 1, если Δ не пустой комплекс). Например, если Δ - граница октаэдр, то его ж-вектор - это (1, 6, 12, 8), и если Δ - первый симплициальный комплекс, изображенный выше, его ж-вектор (1, 18, 23, 8, 1). Полная характеристика возможных ж-векторы симплициальных комплексов задаются Теорема Крускала – Катоны.

Используя ж-вектор симплициального d-комплекс Δ как коэффициенты многочлен (записанные в порядке убывания показателей), получаем f-полином из Δ. В наших двух примерах выше ж-полиномы были бы ${ displaystyle x ^ {3} + 6x ^ {2} + 12x + 8}$ и ${ displaystyle x ^ {4} + 18x ^ {3} + 23x ^ {2} + 8x + 1}$, соответственно.

Комбинаторам часто очень интересны h-вектор симплициального комплекса Δ, который представляет собой последовательность коэффициентов многочлена, полученного в результате включения Икс - 1 в ж-полином от Δ. Формально, если написать F_Δ(Икс) означать ж-полином от Δ, то h-полином Δ есть

${ Displaystyle F _ { Delta} (x-1) = h_ {0} x ^ {d + 1} + h_ {1} x ^ {d} + h_ {2} x ^ {d-1} + cdots + h_ {d} x + h_ {d + 1}}$

и час-вектор Δ равен

${ displaystyle (h_ {0}, h_ {1}, h_ {2}, cdots, h_ {d + 1}).}$

Мы вычисляем h-вектор границы октаэдра (наш первый пример) следующим образом:

${ Displaystyle F (x-1) = (x-1) ^ {3} +6 (x-1) ^ {2} +12 (x-1) + 8 = x ^ {3} + 3x ^ {2 } + 3x + 1.}$

Итак час-вектор границы октаэдра равен (1, 3, 3, 1). Это не случайно час-вектор симметричен. Фактически, это происходит, когда Δ является границей симплициального многогранник (эти Уравнения Дена – Соммервилля ). Однако в целом час-вектор симплициального комплекса даже не обязательно положительный. Например, если мы возьмем ∆ как 2-комплекс, заданный двумя треугольниками, пересекающимися только в общей вершине, полученный час-вектор равен (1, 3, −2).

Полная характеристика всех симплициальных многогранников час-векторы предоставлены знаменитыми g-теорема из Стэнли, Биллера и Ли.

Можно видеть, что симплициальные комплексы имеют ту же геометрическую структуру, что и график контактов упаковки сфер (граф, где вершины являются центрами сфер, а ребра существуют, если соответствующие элементы упаковки касаются друг друга), и как таковой может использоваться для определения комбинаторики сферические упаковки, например, количество касающихся пар (1-симплексы), касающихся троек (2-симплексов) и касающихся четверок (3-симплексов) в упаковке сфер.

Смотрите также

• Абстрактный симплициальный комплекс
• Барицентрическое подразделение
• Причинная динамическая триангуляция
• Набор дельта
• Многоугольная цепочка - 1-мерный симплициальный комплекс
• Лемма Такера

Рекомендации

• Спаниер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология, Спрингер, ISBN  0-387-94426-5
• Маундер, Чарльз Р.Ф. (1996), Алгебраическая топология (Перепечатка изд. 1980 г.), Mineola, NY: Dover, ISBN  0-486-69131-4, МИСТЕР  1402473
• Хилтон, Питер Дж.; Вайли, Шон (1967), Теория гомологии, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-09422-4, МИСТЕР  0115161

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Симплициальный комплекс». MathWorld.
• Норман Дж. Вильдбергер. «Симплексы и симплициальные комплексы». Обсуждение на Youtube..