Базис (линейная алгебра) - Basis (linear algebra)

Один и тот же вектор может быть представлен двумя разными основаниями (фиолетовая и красная стрелки).

В математика, а набор B элементов (векторов) в векторное пространство V называется основа, если каждый элемент V можно однозначно записать как (конечный) линейная комбинация элементов B. Коэффициенты этой линейной комбинации называются составные части или же координаты на B вектора. Элементы основы называются базисные векторы.

Эквивалентно B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V представляет собой линейную комбинацию элементов B.^[1] В более общем виде базис - это линейно независимая набор охвата.

Векторное пространство может иметь несколько оснований; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемых измерение векторного пространства.

Определение

А основа B из векторное пространство V через поле F (такой как действительные числа р или сложные числа C) это линейно независимый подмножество из V который пролеты VЭто означает, что подмножество B из V является базисом, если он удовлетворяет двум следующим условиям:

• то линейная независимость свойство:

для каждого конечный подмножество ${displaystyle {v_ {1}, dotsc, v_ {m}}}$ из B, если ${displaystyle c_ {1} v_ {1} + cdots + c_ {m} v_ {m} = 0}$ для некоторых ${displaystyle c_ {1}, dotsc, c_ {m}}$ в F, тогда ${displaystyle c_ {1} = cdots = c_ {m} = 0}$;

• то охватывающий свойство:

для каждого вектора v в V, можно выбрать ${displaystyle a_ {1}, dotsc, a_ {n}}$ в F и ${displaystyle v_ {1}, dotsc, v_ {n}}$ в B такой, что ${displaystyle v = a_ {1} v_ {1} + cdots + a_ {n} v_ {n}}$.

В скаляры ${displaystyle a_ {i}}$ называются координатами вектора v относительно основы B, и по первому свойству они определяются однозначно.

Векторное пространство, имеющее конечный основа называется конечномерный. В этом случае конечное подмножество можно взять как B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо иметь заказ на базисных векторах, например для обсуждения ориентация, или когда один рассматривает скалярные коэффициенты вектора относительно базиса, не обращаясь явно к базисным элементам. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Например, при работе с (м, п) -матрицы, то (я, j) th элемент (в яй ряд и jстолбец) можно отнести к (м⋅(j - 1) + я)-й элемент базы, состоящей из (м, п) -единичные матрицы (изменяющиеся индексы столбцов перед индексами строк). Чтобы подчеркнуть, что порядок выбран, говорят о заказная основа, что, следовательно, не просто неструктурированный набор, но например а последовательность, или индексированная семья, или похожие; видеть Заказанные базы и координаты ниже.

Примеры

Это изображение иллюстрирует стандартная основа в р². Синий и оранжевый векторы являются элементами основы; зеленый вектор может быть задан в терминах базисных векторов, и поэтому линейно зависимый на них.

• Набор р² из заказанные пары из действительные числа - векторное пространство для покомпонентного сложения

${displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}$

и скалярное умножение

${displaystyle lambda (a, b) = (lambda a, lambda b),}$

куда ${displaystyle lambda}$ - любое действительное число. Простая основа этого векторного пространства, называемая стандартная основа состоит из двух векторов е₁ = (1,0) и е₂ = (0,1), поскольку любой вектор v = (а, б) из р² можно однозначно записать как

${displaystyle v = ae_ {1} + be_ {2}.}$

Любая другая пара линейно независимых векторов р², Такие как (1, 1) и (−1, 2), образует также основу р².

• В более общем смысле, если F это поле, набор ${displaystyle F ^ {n}}$ из п- пары элементов F - векторное пространство для аналогично определенных сложений и скалярных умножений. Позволять

${displaystyle e_ {i} = (0, ldots, 0,1,0, ldots, 0)}$

быть п-набор со всеми компонентами, равными 0, кроме яth, что равно 1. Тогда ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ является основой ${displaystyle F ^ {n},}$ который называется стандартная основа из ${displaystyle F ^ {n}.}$

• Если F это поле, кольцо многочленов F[Икс] из многочлены в одной неопределенный имеет основу B, называется мономиальный базис, состоящий из всех мономы:

${displaystyle B = {1, X, X ^ {2}, ldots}.}$

Любой набор многочленов такой, что существует ровно один многочлен каждой степени, также является базисом. Такой набор многочленов называется полиномиальная последовательность. Примеры (среди многих) таких полиномиальных последовательностей: Базисные полиномы Бернштейна, и Полиномы Чебышева.

Характеристики

Многие свойства конечных базисов являются результатом Лемма об обмене Стейница, который утверждает, что для любого векторного пространства V, учитывая конечное набор охвата S и линейно независимый набор L из п элементы V, можно заменить п хорошо подобранные элементы S элементами L чтобы получить охватывающий набор, содержащий L, имея другие элементы в S, и имеющий такое же количество элементов, как S.

Большинство свойств, вытекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиома выбора или его более слабая форма, такая как лемма об ультрафильтрации.

Если V векторное пространство над полем F, тогда:

• Если L является линейно независимым подмножеством остовного множества S ⊆ V, то есть основа B такой, что

${displaystyle Lsubseteq Bsubseteq S.}$

• V имеет основу (это предыдущее свойство с L будучи пустой набор, и S = V).
• Все базы V имеют то же самое мощность, который называется измерение из V. Это теорема размерности.
• Генераторная установка S является основой V тогда и только тогда, когда она минимальна, то есть нет правильное подмножество из S также является порождающим набором V.
• Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда он максимален, то есть не является собственным подмножеством какого-либо линейно независимого множества.

Если V векторное пространство размерности п, тогда:

• Подмножество V с п elements является базисом тогда и только тогда, когда он линейно независим.
• Подмножество V с п элементов является основой тогда и только тогда, когда они охватывают множество V.

Координаты

Позволять V - векторное пространство конечной размерности п над полем F, и

${displaystyle B = {b_ {1}, ldots, b_ {n}}}$

быть основой V. По определению базиса каждое v в V уникальным образом можно записать как

${displaystyle v = lambda _ {1} b_ {1} + cdots + lambda _ {n} b_ {n},}$

где коэффициенты ${displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$ являются скалярами (то есть элементами F), которые называются координаты из v над B. Однако если говорить о набор коэффициентов теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь одинаковые набор коэффициентов. Например, ${displaystyle 3b_ {1} + 2b_ {2}}$ и ${displaystyle 2b_ {1} + 3b_ {2}}$ имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3}, и разные. Поэтому часто удобно работать с заказная основа; обычно это делается индексация элементы основы по первым натуральным числам. Тогда координаты вектора образуют последовательность аналогично индексируется, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченный базис также называют Рамка, слово, обычно используемое в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определять координаты.

Пусть, как обычно, ${displaystyle F ^ {n}}$ быть набором п- пары элементов F. Этот набор является F-векторное пространство, с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта

${displaystyle varphi: (lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}) mapsto lambda _ {1} b_ {1} + cdots + lambda _ {n} b_ {n}}$

это линейный изоморфизм из векторного пространства ${displaystyle F ^ {n}}$ на V. Другими словами, ${displaystyle F ^ {n}}$ это координатное пространство из V, а ппара ${displaystyle varphi ^ {- 1} (v)}$ это вектор координат из v.

В обратное изображение к ${displaystyle varphi}$ из ${displaystyle b_ {i}}$ это ппара ${displaystyle e_ {i}}$ все компоненты которого равны 0, кроме яth, то есть 1. ${displaystyle e_ {i}}$ сформировать упорядоченную основу ${displaystyle F ^ {n},}$ который называется его стандартная основа или же каноническая основа. Заказанная основа B это изображение ${displaystyle varphi}$ канонической основы ${displaystyle F ^ {n}.}$

Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса ${displaystyle F ^ {n},}$ и что любой линейный изоморфизм из ${displaystyle F ^ {n}}$ на V можно определить как изоморфизм, отображающий канонический базис ${displaystyle F ^ {n}}$ на заданную упорядоченную основу V. Другими словами, это равносильно определению упорядоченного базиса V, или линейный изоморфизм из ${displaystyle F ^ {n}}$ на V.

Смена основы

Позволять V быть векторным пространством размерности п над полем F. Учитывая две (упорядоченные) базы ${displaystyle B_ {mathrm {old}} = (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ и ${displaystyle B_ {mathrm {new}} = (w_ {1}, ldots, w_ {n})}$ из V, часто бывает полезно выразить координаты вектора Икс относительно ${displaystyle B_ {mathrm {old}}}$ через координаты относительно ${displaystyle B_ {mathrm {new}}.}$ Это можно сделать с помощью формула замены базиса, что описано ниже. Индексы "старый" и "новый" были выбраны потому, что принято ссылаться на ${displaystyle B_ {mathrm {old}}}$ и ${displaystyle B_ {mathrm {new}}}$ как старая основа и новая основа, соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых, потому что в общем случае выражения с использованием старых координат, и если кто-то хочет получить эквивалентные выражения в терминах новых координат; это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.

Обычно новые базисные векторы задаются их координатами по старому базису, т. Е.

${displaystyle w_ {j} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i}.}$

Если ${displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ и ${displaystyle (y_ {1}, ldots, y_ {n})}$ координаты вектора Икс по старому и новому базису соответственно формула замены базиса

${displaystyle x_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}$

за я = 1, ..., п.

Эту формулу можно кратко записать в матрица обозначение. Позволять А быть матрицей ${displaystyle a_ {i, j},}$ и

${displaystyle X = {egin {pmatrix} x_ {1} vdots x_ {n} end {pmatrix}} quad}$ и ${displaystyle quad Y = {начало {pmatrix} y_ {1} vdots y_ {n} end {pmatrix}}}$

быть вектор-столбец координат v в старом и новом базисе соответственно, то формула изменения координат

${displaystyle X = AY.}$

Формулу можно доказать, рассматривая разложение вектора Икс на двух базах: на одном

${displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} v_ {i},}$

и

${displaystyle {egin {align} x & = sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} w_ {j} & = sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i} & = sum _ {i = 1} ^ {n} left (sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j} ight) v_ {i} .end {выровнено}}}$

Формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису, здесь ${displaystyle B_ {mathrm {old}};}$ то есть

${displaystyle x_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}$

за я = 1, ..., п.

Связанные понятия

Бесплатный модуль

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, на звенеть, получаем определение модуль. Для модулей линейная независимость и охватывающие наборы определены точно так же, как для векторных пространств, хотя "генераторная установка "используется чаще, чем" охватывающий набор ".

Как и для векторных пространств, основа модуля - это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет основу. Модуль, имеющий основу, называется бесплатный модуль. Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, так как они могут использоваться для описания структуры несвободных модулей через бесплатные разрешения.

Модуль над целыми числами - это то же самое, что и абелева группа. Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если грамм является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы ЧАС (это абелева группа, имеющая конечный базис), существует базис ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ из ЧАС и целое число 0 ≤ k ≤ п такой, что ${displaystyle a_ {1} e_ {1}, ldots, a_ {k} e_ {k}}$ является основой грамм, для некоторых ненулевых целых чисел ${displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {k}.}$ Подробнее см. Свободная абелева группа § Подгруппы.

Анализ

В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин Основа Гамеля (названный в честь Георг Хамель ) или же алгебраический базис может использоваться для обозначения основы, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличаться от других понятий «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важные альтернативы: ортогональные базисы на Гильбертовы пространства, Базы Шаудера, и Базы Маркушевича на нормированные линейные пространства. В случае реальных чисел р рассматривается как векторное пространство над полем Q рациональных чисел базисы Гамеля неисчислимы и имеют, в частности, мощность континуума, который является количественное числительное ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}},}$ куда ${displaystyle aleph _ {0}}$ наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.

Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы на этих пространствах содержательно определялись бесконечные суммы, как в случае с топологические векторные пространства - большой класс векторных пространств, включая, например, Гильбертовы пространства, Банаховы пространства, или же Пространства фреше.

Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если Икс - бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое полный (т.е. Икс это Банахово пространство ), то любой базис Гамеля Икс обязательно бесчисленный. Это следствие Теорема Бэра о категории. Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предпосылками предыдущего утверждения. Действительно, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные (неполный) нормированные пространства, имеющие счетные базисы Гамеля. Учитывать ${displaystyle c_ {00}}$, пространство последовательности ${displaystyle x = (x_ {n})}$ действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой ${displaystyle | x | = sup _ {n} | x_ {n} |.}$ Его стандартная основа, состоящая из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.

Пример

При изучении Ряд Фурье, узнаем, что функции {1} ∪ {sin (nx), cos (nx) : п = 1, 2, 3, ...} являются «ортогональным базисом» (действительного или комплексного) векторного пространства всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые интегрируются с квадратом на этом интервал, т.е. функции ж удовлетворение

${displaystyle int _ {0} ^ {2pi} left | f (x) ight | ^ {2}, dx$

Функции {1} ∪ {sin (nx), cos (nx) : п = 1, 2, 3, ...} линейно независимы, и каждая функция ж который интегрируем с квадратом на [0, 2π], является их "бесконечной линейной комбинацией" в том смысле, что

${displaystyle lim _ {nightarrow infty} int _ {0} ^ {2pi} {iggl |} a_ {0} + sum _ {k = 1} ^ {n} {igl (} a_ {k} cos (kx) + b_ {k} sin (kx) {igr)} - f (x) {iggr |} ^ {2}, dx = 0}$

для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов а_k, б_k. Но многие^[2] квадратично интегрируемые функции не могут быть представлены в виде конечный линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно, не составляют основу Гамеля. Каждый базис Гамеля в этом пространстве намного больше, чем просто счетно бесконечный набор функций. Базы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базы этих пространств существенны в Анализ Фурье.

Геометрия

Геометрические понятия аффинное пространство, проективное пространство, выпуклый набор, и конус иметь родственные понятия основа.^[3] An аффинный базис для п-мерное аффинное пространство ${displaystyle n + 1}$ указывает в общее линейное положение. А проективная основа является ${displaystyle n + 2}$ точки общего положения в проективном пространстве размерности п. А выпуклая основа из многогранник - множество вершин его выпуклый корпус. А конусная основа^[4] состоит из одной точки по краю многоугольного конуса. Также Базис Гильберта (линейное программирование).

Случайная основа

Для распределение вероятностей в р^п с функция плотности вероятности, например, равнораспределение в п-мерный шар относительно меры Лебега, можно показать, что п случайно и независимо выбранные векторы составят основу с вероятностью один, что связано с тем, что п линейно зависимые векторы Икс₁, ..., Икс_п в р^п должен удовлетворять уравнению det [Икс₁, ..., Икс_п] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами Икс_я), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов аппроксимации случайных оснований.^[5][6]

Эмпирическое распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из п-мерный куб [−1, 1]^п как функция размера, п. Коробчатые диаграммы показывают второй и третий квартили этих данных для каждого п, красные полосы соответствуют медианным значениям, а синие звездочки указывают средние значения. Красная кривая показывает теоретическую границу, заданную формулой. (1), а зеленая кривая показывает уточненную оценку.^[6]

Численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность сложно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. За пространства с внутренним продуктом, Икс ε-ортогонален у если ${displaystyle | langle x, yangle | / (| x || y |) <эпсилон}$ (то есть косинус угла между Икс и у меньше ε).

В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в п-мерный шар. выбирать N независимых случайных векторов из шара (они независимые и одинаково распределенные ). Позволять θ быть небольшим положительным числом. Тогда для

${displaystyle Nleq e ^ {frac {epsilon ^ {2} n} {4}} [- ln (1- heta)] ^ {frac {1} {2}}}$

(Уравнение 1)

N все случайные векторы попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 − θ.^[6] Этот N рост экспоненциально с размерностью п и ${displaystyle Ngg n}$ для достаточно больших п. Это свойство случайных оснований является проявлением так называемого измерить явление концентрации.^[7]

На рисунке (справа) показано распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из п-мерный куб [−1, 1]^п как функция размера, п. Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если бы угол между векторами был в пределах π / 2 ± 0,037π / 2 затем вектор был сохранен. На следующем шаге в том же гиперкубе генерируется новый вектор, и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы в пределах π / 2 ± 0,037π / 2 тогда вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого п, Численно построено 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длин этих цепочек.

Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис

Позволять V любое векторное пространство над некоторым полем F.Позволять Икс - множество всех линейно независимых подмножеств V.

Набор Икс непусто, поскольку пустое множество является независимым подмножеством V,и это частично заказанный по включению, которое, как обычно, обозначается ⊆.

Позволять Y быть подмножеством Икс это полностью заказано ⊆, и пусть L_Y быть объединением всех элементов Y (которые сами являются определенными подмножествами V).

С (Y, ⊆) вполне упорядочено, каждое конечное подмножество L_Y является подмножеством элемента Y, которое является линейно независимым подмножеством V, а значит, L_Y линейно независима, поэтому L_Y является элементом Икс.Поэтому L_Y это верхняя граница для Y в (Икс, ⊆): это элемент Икс, который содержит каждый элемент Y.

В качестве Икс непусто, и каждое полностью упорядоченное подмножество (Икс, ⊆) имеет оценку сверху в Икс, Лемма Цорна утверждает, что Икс имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L_{Максимум} из Икс удовлетворяющее условию, что всякий раз, когда L_{Максимум} ⊆ L для некоторого элемента L из Икс, то L = L_{Максимум}.

Осталось доказать, что L_{Максимум} является основой V. Поскольку L_{Максимум} принадлежит Икс, мы уже знаем, что L_{Максимум} является линейно независимым подмножеством V.

Если бы был какой-то вектор ш из V что не входит в промежуток L_{Максимум}, тогда ш не был бы элементом L_{Максимум} либо, пусть L_ш = L_{Максимум} ∪ {ш}. Этот набор является элементом Икс, то есть это линейно независимое подмножество V (потому что ш не входит в промежуток L_{Максимум}, и я_{Максимум} является независимым). Как L_{Максимум} ⊆ L_ш, и я_{Максимум} ≠ L_ш (потому что L_ш содержит вектор ш что не содержится в L_{Максимум}), это противоречит максимальности L_{Максимум}. Таким образом, это показывает, что L_{Максимум} пролеты V.

Следовательно, L_{Максимум} линейно независима и охватывает V. Таким образом, это основа V, и это доказывает, что каждое векторное пространство имеет основу.

Это доказательство опирается на лемму Цорна, эквивалентную аксиома выбора. Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна.^[8] Таким образом, два утверждения эквивалентны.

Смотрите также

• Смена основы - Изменение координат векторного пространства
• Каркас векторного пространства
• Сферическая основа - Базис, используемый для выражения сферических тензоров
• Основа матроида

Примечания

Рекомендации

Общие ссылки

• Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Аксиоматическая теория множеств, Contemporary Mathematics, том 31, Providence, R.I .: Американское математическое общество, стр. 31–33, ISBN  978-0-8218-5026-8, МИСТЕР  0763890
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства, Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN  978-0-8247-8419-5
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96412-6

Исторические ссылки

• Банах, Стефан (1922), "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)" (PDF), Fundamenta Mathematicae (На французском), 3: 133–181, Дои:10.4064 / FM-3-1-133-181, ISSN  0016-2736
• Больцано, Бернар (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком)
• Бурбаки, Николас (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском), Париж: Герман
• Дорье, Жан-Люк (1995), «Общий очерк генезиса теории векторного пространства», Historia Mathematica, 22 (3): 227–261, Дои:10.1006 / hmat.1995.1024, МИСТЕР  1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Теория аналитик де ла шалёр (на французском), Chez Firmin Didot, père et fils
• Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком), перепечатка: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширений, Канненберг, Л.С., Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2031-5
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам, Королевская ирландская академия
• Мебиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calculus: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического обращения с геометрией) (на немецком языке), заархивировано из оригинал на 2009-04-12
• Мур, Грегори Х. (1995), "Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940", Historia Mathematica, 22 (3): 262–303, Дои:10.1006 / hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин

внешняя ссылка

• Обучающие видео от Khan Academy
  • Введение в базисы подпространств
  • Доказательство того, что любой базис подпространства имеет одинаковое количество элементов
• «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы». Сущность линейной алгебры. 6 августа 2016 г. - через YouTube.
• «Основа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]