Схемы склеивания - Gluing schemes

В алгебраической геометрии появился новый схема (например, алгебраическое многообразие ) можно получить склейка существующий схемы через склейку карт.

утверждение

Предположим, что существует (возможно, бесконечное) семейство схем ${ displaystyle {X_ {i} } _ {я in I}}$ и для пар ${ displaystyle i, j}$ , есть открытые подмножества ${ displaystyle U_ {ij}}$ и изоморфизмы ${ displaystyle varphi _ {ij}: U_ {ij} { overset { sim} { to}} U_ {ji}}$ . Теперь, если изоморфизмы совместимы в смысле: для каждого ${ displaystyle i, j, k}$ ,

${ displaystyle varphi _ {ij} = varphi _ {ji} ^ {- 1}}$ ,
${ displaystyle varphi _ {ij} (U_ {ij} cap U_ {ik}) = U_ {ji} cap U_ {jk}}$ ,
${ displaystyle varphi _ {jk} circ varphi _ {ij} = varphi _ {ik}}$ на ${ displaystyle U_ {ij} cap U_ {ik}}$ ,

тогда существует схема Иксвместе с морфизмами ${ displaystyle psi _ {i}: от X_ {i} до X}$ такой, что^[1]

${ displaystyle psi _ {я}}$ является изоморфизмом на открытое подмножество Икс,
${ Displaystyle X = чашка _ {i} psi _ {i} (X_ {i}),}$
${ Displaystyle psi _ {i} (U_ {ij}) = psi _ {i} (X_ {i}) cap psi _ {j} (X_ {j}),}$
${ displaystyle psi _ {i} = psi _ {j} circ varphi _ {ij}}$ на ${ displaystyle U_ {ij}}$ .

Примеры

Проективная линия

Проективная прямая получается путем склеивания двух аффинных прямых так, чтобы исходная и иллюзорная

{ displaystyle infty}

на одной строке соответствует иллюзорному

{ displaystyle infty}

и начало координат на другой строке соответственно.

Позволять ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (k [t]) simeq mathbb {A} ^ {1}, Y = operatorname {Spec} (k [u]) simeq mathbb {A} ^ { 1}}$ быть двумя копиями аффинной линии над полем k. Позволять ${ displaystyle X_ {t} = {t neq 0 } = operatorname {Spec} (k [t, t ^ {- 1}])}$ быть дополнением к началу и ${ displaystyle Y_ {u} = {u neq 0 }}$ определяется аналогично. Позволять Z обозначим схему, полученную склейкой ${ displaystyle X, Y}$ по изоморфизму ${ displaystyle X_ {t} simeq Y_ {u}}$ данный ${ displaystyle t ^ {- 1} leftrightarrow u}$ ; мы идентифицируем ${ displaystyle X_ {t}, Y_ {u}}$ с открытыми подмножествами Z.^[2] Теперь аффинные кольца ${ displaystyle Gamma (X_ {t}, { mathcal {O}} _ {Z}), Gamma (Y_ {u}, { mathcal {O}} _ {Z})}$ оба кольца многочленов от одной переменной таким образом

{ displaystyle Gamma (X_ {t}, { mathcal {O}} _ {Z}) = k [s]}

и

{ displaystyle Gamma (Y_ {u}, { mathcal {O}} _ {Z}) = k [s ^ {- 1}]}

где два кольца рассматриваются как подкольца функционального поля ${ Displaystyle к (Z) = к (s)}$ . Но это значит, что ${ Displaystyle Z = mathbb {P} ^ {1}}$ ; потому что по определению ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ покрывается двумя открытыми аффинными картами, аффинные кольца которых имеют указанный выше вид.

Аффинная линия с двойным началом

Позволять ${ displaystyle X, Y, X_ {t}, Y_ {u}}$ как в приведенном выше примере. Но на этот раз пусть ${ displaystyle Z}$ обозначим схему, полученную склейкой ${ displaystyle X, Y}$ по изоморфизму ${ displaystyle X_ {t} simeq Y_ {u}}$ данный ${ displaystyle t leftrightarrow u}$ .^[3] Итак, геометрически ${ displaystyle Z}$ получается путем определения двух параллельных линий, кроме начала координат; т.е. это аффинная линия с удвоенным началом. (Можно показать, что Z является не а отдельная схема.) Напротив, если две линии склеены так, что начало на одной линии соответствует (иллюзорному) точка в бесконечности для другой линии; то есть использовать изомрофизм ${ displaystyle t ^ {- 1} leftrightarrow u}$ , то получившаяся схема является хотя бы визуально проективной прямой ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ .

Волокнистые изделия и вытяжки схем

Категория схем допускает как конечное послойное произведение, так и конечный выталкиватель;^[4] они оба построены склейкой аффинных схем. Для аффинных схем послойные произведения и выталкивания соответствуют тензорным произведениям и расслоенным квадратам алгебр.