Кратность (математика) - Multiplicity (mathematics) - Wikipedia

В математика, то множественность члена мультимножество - количество раз, когда он появляется в мультимножестве. Например, сколько раз заданное полиномиальное уравнение имеет корень в данной точке - это кратность этого корня.

Понятие множественности важно для правильного подсчета без указания исключений (например, двойные корни считается дважды). Отсюда и выражение «считать по множественности».

Если игнорировать множественность, это можно подчеркнуть, подсчитав количество отчетливый элементы, например, «количество различных корней». Однако всякий раз, когда формируется набор (в отличие от мультимножества), множественность автоматически игнорируется, не требуя использования термина «отдельный».

Кратность простого множителя

в простые множители, Например,

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

кратность простого множителя 2 равна 2, а кратность каждого из простых множителей 3 и 5 равна 1. Таким образом, число 60 имеет четыре простых множителя, учитывающих кратности, но только три различных простых множителя.

Кратность корня многочлена

Позволять ${ displaystyle F}$ быть поле и ${ displaystyle p (x)}$ быть многочлен в одной переменной и коэффициенты в ${ displaystyle F}$ . Элемент ${ displaystyle a in F}$ это корень множественности ${ displaystyle k}$ из ${ displaystyle p (x)}$ если есть многочлен ${ displaystyle s (x)}$ такой, что ${ Displaystyle s (а) neq 0}$ и ${ Displaystyle р (х) = (х-а) ^ {к} s (х)}$ . Если ${ displaystyle k = 1}$ , тогда а называется простой корень. Если ${ Displaystyle к geq 2}$ , тогда ${ displaystyle a}$ называется множественный корень.

Например, полином ${ displaystyle p (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -7x + 4}$ имеет 1 и −4 как корни, и может быть записано как ${ Displaystyle р (х) = (х + 4) (х-1) ^ {2}}$ . Это означает, что 1 - корень кратности 2, а −4 - «простой» корень (кратности 1). Кратность корня - это количество вхождений этого корня в полную факторизацию многочлена с помощью основная теорема алгебры.

Если ${ displaystyle a}$ корень множественности ${ displaystyle k}$ многочлена, то это корень кратности ${ displaystyle k-1}$ своего производная. дискриминант многочлена равна нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень.

Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня

График полинома п(Икс) = Икс³ + 2Икс² − 7Икс + 4 с корнями (нулями) −4 и 1. Корень −4 является «простым» корнем (кратности 1), поэтому граф пересекает Икс-ось в этом корне. Корень 1 имеет четную кратность, поэтому граф отскакивает от Икс-ось в этом корне.

В график из полиномиальная функция ${ Displaystyle у = е (х)}$ пересекает Икс-оси при действительных корнях многочлена. График касательная к этой оси у кратных корней ж и не касаются простых корней. График пересекает Икс- ось в корнях нечетной кратности и отскакивает (не проходит) Икс-оси в корнях четной кратности.

Ненулевая полиномиальная функция всегда неотрицательный тогда и только тогда, когда все его корни имеют четную кратность и существует ${ displaystyle x_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle f (x_ {0})> 0}$ .

Кратность пересечения

В алгебраическая геометрия, пересечение двух подмногообразий алгебраического многообразия есть конечное объединение неприводимые разновидности. К каждому компоненту такого пересечения прикрепляется кратность пересечения. Это понятие местный в том смысле, что его можно определить, глядя на то, что происходит в окрестностях любого общая точка этого компонента. Отсюда следует, что без ограничения общности мы можем рассматривать, чтобы определить кратность пересечения, пересечение двух родственные сорта (подмногообразия аффинного пространства).

Таким образом, учитывая две аффинные разновидности V₁ и V₂рассмотрим неприводимая составляющая W пересечения V₁ и V₂. Позволять d быть измерение из W, и п быть любой точкой общего положения W. Пересечение W с d гиперплоскости в общая позиция проходя через п имеет неприводимую составляющую, сводящуюся к единственной точке п. Следовательно местное кольцо на этом компоненте координатное кольцо перекрестка имеет только один главный идеал, и поэтому Артинианское кольцо. Это кольцо, таким образом, конечномерный векторное пространство над наземным полем. Его размер - это кратность пересечения из V₁ и V₂ в W.

Это определение позволяет нам утверждать Теорема Безу и его обобщения точно.

Это определение обобщает кратность корня многочлена следующим образом. Корни многочлена ж точки на аффинная линия, которые являются компонентами алгебраического множества, определяемого полиномом. Координатное кольцо этого аффинного множества есть ${ Displaystyle R = К [X] / langle f rangle,}$ куда K является алгебраически замкнутое поле содержащие коэффициенты при ж. Если ${ Displaystyle f (X) = prod _ {я = 1} ^ {k} (X- alpha _ {i}) ^ {m_ {i}}}$ факторизация ж, то локальное кольцо р в высшем идеале ${ Displaystyle langle X- alpha _ {я} rangle}$ является ${ displaystyle K [X] / langle (X- alpha) ^ {m_ {i}} rangle.}$ Это векторное пространство над K, имеющая кратность ${ displaystyle m_ {i}}$ корня как измерение.

Это определение кратности пересечения, которое по существу связано с Жан-Пьер Серр в его книге Локальная алгебра, работает только для теоретико-множественных компонентов (также называемых изолированные компоненты) перекрестка, а не для встроенные компоненты. Были разработаны теории для работы со встроенным корпусом (см. Теория пересечения подробнее).

В комплексном анализе

Позволять z₀ быть корнем голоморфная функция ж, и разреши п - наименьшее натуральное число такое, что п^th производная от ж оценивается в z₀ отличается от нуля. Тогда степенной ряд ж о z₀ начинается с п^th срок, и ж как говорят, имеет корень из множественности (или «порядка»)п. Если п = 1, корень называется простым корнем.^[1]

Мы также можем определить кратность нули и полюса из мероморфная функция таким образом: если у нас есть мероморфная функция ${ displaystyle f = { frac {g} {h}}}$ , возьми Разложения Тейлора из грамм и час о точке z₀, и найдите первый ненулевой член в каждом (обозначим порядок членов м и п соответственно). если м = п, то точка имеет ненулевое значение. Если ${ displaystyle m> n}$ , то точка является нулем кратности ${ displaystyle m-n}$ . Если ${ Displaystyle м <п}$ , то точка имеет полюс кратности ${ displaystyle n-m}$ .