Строительство проекта - Proj construction

В алгебраическая геометрия, Проект конструкция, аналогичная спектр кольца строительство аффинные схемы, который создает объекты с типичными свойствами проективные пространства и проективные многообразия. Конструкция пока не функториальный, является основным инструментом в теория схем.

В этой статье все кольца будем считать коммутативными и тождественными.

Проект градуированного кольца

Proj как набор

Позволять ${ displaystyle S}$ быть градуированное кольцо, куда

${ Displaystyle S = bigoplus _ {я geq 0} S_ {я}}$

это прямая сумма разложение, связанное с градацией. В неуместный идеал из ${ displaystyle S}$ идеал элементов положительной степени

${ Displaystyle S _ {+} = bigoplus _ {я> 0} S_ {я}}$ .

Мы говорим, что идеал - это однородный если он порождается однородными элементами. Тогда, как набор,

${ displaystyle operatorname {Proj} S = {P subset S { text {однородный простой идеал,}} S _ {+} not subset P }}$ .

Иногда для краткости будем писать ${ displaystyle X}$ за ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ .

Proj как топологическое пространство

Мы можем определить топология, называется Топология Зарисского, на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ путем определения замкнутых множеств как множества вида

{ displaystyle V (a) = {p in operatorname {Proj} S mid a substeq p },}

куда ${ displaystyle a}$ это однородный идеал из ${ displaystyle S}$ . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что ${ Displaystyle V (а)}$ образуют замкнутые множества топология на ${ displaystyle X}$ .

Действительно, если ${ Displaystyle (а_ {я}) _ {я в я}}$ семейство идеалов, то мы имеем ${ Displaystyle bigcap V (a_ {i}) = V left ( sum a_ {i} right)}$ и если индексирование установлено я конечно, то ${ Displaystyle bigcup V (a_ {i}) = V left ( prod a_ {i} right)}$ .

Точно так же мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

{ displaystyle D (a) = {p in operatorname {Proj} S mid a ; not substeq ; p }.}

Распространенное сокращение - обозначать D(Sf) к D(ж), куда Sf это идеальный создано ж. Для любого идеала а, наборы D(а) и V(а) являются дополнительными, и поэтому то же доказательство, что и ранее, показывает, что множества D(а) образуют топологию на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ . Преимущество такого подхода в том, что наборы D(ж), куда ж пробегает все однородные элементы кольца S, сформировать основание для этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , так же как аналогичный факт для спектра кольца также необходим.

Проект как схема

Мы также строим пучок на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схема. Как и в случае конструкции Spec, существует множество способов действовать: наиболее прямой, который также наводит на размышления о построении регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, следующий. Для любого открытого набора ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ (который по определению является набором однородных первичных идеалов ${ displaystyle S}$ не содержащий ${ displaystyle S _ {+}}$ ) определим кольцо ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ быть набором всех функций

{ Displaystyle е двоеточие U к bigcup _ {p in U} S _ {(p)}}

(куда ${ displaystyle S _ {(p)}}$ обозначает подкольцо кольца дробей ${ displaystyle S_ {p}}$ состоящий из долей однородных элементов одной степени) такой, что для каждого простого идеала ${ displaystyle p}$ из ${ displaystyle U}$ :

${ displaystyle f (p)}$ является элементом ${ displaystyle S _ {(p)}}$ ;
Существует открытое подмножество ${ Displaystyle V подмножество U}$ ${ displaystyle V subset U}$ содержащий ${ displaystyle p}$ $п$ и однородные элементы ${ displaystyle s, t}$ $с, т$ из ${ displaystyle S}$ такой же степени, что для каждого простого идеала ${ displaystyle q}$ $q$ из ${ displaystyle Q}$ $Q$ :
- ${ displaystyle t}$ не в ${ displaystyle q}$ ;
- ${ Displaystyle f (q) = s / t}$

Непосредственно из определения следует, что ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ сформировать связку колец ${ displaystyle O_ {X}}$ на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , и можно показать, что пара ( ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , ${ displaystyle O_ {X}}$ ) фактически является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств ${ displaystyle D (f)}$ фактически является аффинной схемой).

Связка, связанная с градуированным модулем

Существенное свойство ${ displaystyle S}$ для вышеуказанной конструкции была возможность формировать локализации ${ displaystyle S _ {(p)}}$ для каждого основного идеала ${ displaystyle p}$ из ${ displaystyle S}$ . Этим свойством также обладают любые градуированный модуль ${ displaystyle M}$ над ${ displaystyle S}$ , и, следовательно, с соответствующими незначительными изменениями предыдущий раздел конструирует для любых таких ${ displaystyle M}$ пучок, обозначенный ${ displaystyle { tilde {M}}}$ , из ${ displaystyle O_ {X}}$ -модули на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ . Эта связка квазикогерентный по конструкции. Если ${ displaystyle S}$ порождается конечным числом элементов степени ${ displaystyle 1}$ (например, кольцо многочленов или его однородное частное), все квазикогерентные пучки на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ возникают из градуированных модулей по этой конструкции.^[1] Соответствующий оцениваемый модуль не уникален.

Скручивающийся сноп Серра

Для получения дополнительной информации и о классической спиральной связке Серра см. тавтологический пучок

Частным случаем связки, связанной с градуированным модулем, является случай, когда мы берем ${ displaystyle M}$ быть ${ displaystyle S}$ с другой оценкой: а именно, мы позволяем степени ${ displaystyle d}$ элементы ${ displaystyle M}$ быть степень ${ displaystyle (d + 1)}$ элементы ${ displaystyle S}$ , так

${ Displaystyle M_ {d} = S_ {d + 1}}$

и обозначим ${ Displaystyle M = S (1)}$ . Тогда получаем ${ displaystyle { tilde {M}}}$ как квазикогерентный пучок на ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , обозначенный ${ displaystyle O_ {X} (1)}$ или просто ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , называется скручивающаяся связка из Серр. Можно проверить, что ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ на самом деле обратимая связка.

Одна из причин полезности ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ в том, что он восстанавливает алгебраическую информацию ${ displaystyle S}$ что было потеряно, когда при строительстве ${ displaystyle O_ {X}}$ , перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec А для кольца А, глобальные сечения структурного пучка образуют А сам, в то время как глобальные разделы ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ здесь образуют только элементы нулевой степени ${ displaystyle S}$ . Если мы определим

{ Displaystyle { mathcal {O}} (п) = bigotimes _ {я = 1} ^ {п} { mathcal {O}} (1)}

затем каждый ${ Displaystyle { mathcal {O}} (п)}$ содержит степень- ${ displaystyle n}$ информация о ${ displaystyle S}$ , обозначенный ${ displaystyle S_ {n}}$ , и вместе они содержат всю потерянную информацию об оценке. Аналогичным образом для любой пачки градуированных ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модули ${ displaystyle N}$ мы определяем

{ Displaystyle N (п) = N otimes { mathcal {O}} (п)}

и ожидайте, что эта "скрученная" связка будет содержать информацию об оценке ${ displaystyle N}$ . В частности, если ${ displaystyle N}$ связка, связанная с градуированной ${ displaystyle S}$ -модуль ${ displaystyle M}$ мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию об оценке ${ displaystyle M}$ . Это предполагает, хотя и ошибочно, что ${ displaystyle S}$ фактически может быть реконструирован из этих связок; в качестве

${ displaystyle bigoplus _ {п geq 0} H ^ {0} (X, { mathcal {O}} _ {X} (n))}$

однако это верно в том случае, если ${ displaystyle S}$ кольцо многочленов, см. ниже. Эту ситуацию следует противопоставить тому факту, что функтор спецификации примыкает к Функтор глобальных секций в категории локально окольцованные пространства.

Проективный п-Космос

Если ${ displaystyle A}$ кольцо, определим проективный п-пространство над ${ displaystyle A}$ быть схема

{ displaystyle mathbb {P} _ {A} ^ {n} = operatorname {Proj} A [x_ {0}, ldots, x_ {n}].}

Градуировка на кольце многочленов ${ Displaystyle S = А [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ определяется, позволяя каждому ${ displaystyle x_ {i}}$ иметь степень один и каждый элемент ${ displaystyle A}$ , нулевая степень. Сравнивая это с определением ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , выше, мы видим, что секции ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ на самом деле линейные однородные многочлены, порожденные ${ displaystyle x_ {i}}$ самих себя. Это предполагает другую интерпретацию ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ , а именно как пучок «координат» для ${ displaystyle operatorname {Proj} S}$ , поскольку ${ displaystyle x_ {i}}$ буквально являются координатами проективных ${ displaystyle n}$ -Космос.

Примеры Proj

Proj над аффинной линией

Если мы позволим базовому кольцу быть ${ Displaystyle A = mathbb {C} [ lambda]}$ , тогда

${ displaystyle X = operatorname {Proj} left ({ frac {A [X, Y, Z] _ { bullet}} {(ZY ^ {2} -X (XZ) (X- lambda Z) ) _ { bullet}}} right)}$

имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой ${ displaystyle mathbb {A} _ { lambda} ^ {1}}$ чьи волокна эллиптические кривые кроме точек ${ displaystyle lambda = 0,1}$ где кривые вырождаются в узловые. Итак, есть расслоение

${ displaystyle { begin {matrix} E _ { lambda} & longrightarrow & X && downarrow && mathbb {A} _ { lambda} ^ {1} - {0,1 } end {matrix}}}$

который также является гладкий морфизм схем (что можно проверить с помощью Критерий якобиана ).

Проективные гиперповерхности и многообразия

Проективный гиперповерхность ${ displaystyle operatorname {Proj} left ( mathbb {C} [X_ {0}, ldots, X_ {4}] / (X_ {0} ^ {5} + cdots + X_ {4} ^ { 5}) right)}$ является примером Ферма пятикратный тройной который также является Многообразие Калаби – Яу. Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, высекаемое системой однородных многочленов

${ displaystyle f_ {1} = 0, ldots, f_ {k} = 0}$

в ${ Displaystyle (п + 1)}$ -переменные могут быть преобразованы в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры

${ displaystyle { frac {k [X_ {0}, ldots, X_ {n}] _ { bullet}} {(f_ {1}, ldots, f_ {k}) _ { bullet}}} }$

дающий вложение проективных многообразий в проективные схемы.

Весовое проективное пространство

Весовые проективные пространства можно построить с помощью кольца многочленов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} (1,1,2)}$ соответствует принятию ${ displaystyle operatorname {Proj}}$ кольца ${ Displaystyle А [X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}]}$ куда ${ Displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$ иметь вес ${ displaystyle 1}$ пока ${ displaystyle X_ {2}}$ имеет вес 2.

Бигрейдные кольца

Конструкция проекта распространяется на бигрейдные и разноуровневые кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца

${ displaystyle A _ { bullet} = mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}], { text {}} B _ { bullet} = mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}]}$

со степенью каждого генератора ${ displaystyle 1}$ . Тогда тензорное произведение этих алгебр над ${ displaystyle mathbb {C}}$ дает биградируемую алгебру

${ displaystyle { begin {align} A _ { bullet} otimes _ { mathbb {C}} B _ { bullet} & = S _ { bullet, bullet} & = mathbb {C} [X_ {0}, X_ {1}, Y_ {0}, Y_ {1}] end {выровнено}}}$

где ${ displaystyle X_ {i}}$ иметь вес ${ displaystyle (1,0)}$ и ${ displaystyle Y_ {i}}$ иметь вес ${ displaystyle (0,1)}$ . Тогда конструкция proj дает

${ displaystyle { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) = mathbb {P} ^ {1} times _ {{ text {Spec}} ( mathbb {C})} mathbb {P} ^ {1}}$

который является продуктом проективных схем. Такие схемы можно вложить в проективное пространство, взяв полную градуированную алгебру

${ displaystyle S _ { bullet, bullet} to S _ { bullet}}$

где степень ${ Displaystyle (а, б)}$ элемент рассматривается как степень ${ Displaystyle (а + б)}$ элемент. Это означает ${ displaystyle k}$ -й оцененный кусок ${ displaystyle S _ { bullet}}$ модуль

${ Displaystyle S_ {k} = bigoplus _ {a + b = k} S_ {a, b}}$

Кроме того, схема ${ displaystyle { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet})}$ теперь поставляется с бигрейдными шкивами ${ Displaystyle { mathcal {O}} (а, б)}$ которые являются тензорным произведением пучков ${ displaystyle pi _ {1} ^ {*} { mathcal {O}} (a) otimes pi _ {2} ^ {*} { mathcal {O}} (b)}$ куда

${ displaystyle pi _ {1}: { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) to { text {Proj}} (A _ { bullet})}$ и ${ displaystyle pi _ {2}: { text {Proj}} (S _ { bullet, bullet}) to { text {Proj}} (B _ { bullet})}$

являются каноническими проекциями, получаемыми в результате инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S с пучок алгебр и производит, как конечный результат, схему, которую можно представить как расслоение колец Proj. Эта конструкция часто используется, например, для построения проективного пространства связки через базовая схема.

Предположения

Формально пусть Икс быть любым схема и S быть связкой градуированных ${ displaystyle O_ {X}}$ -алгебры (определение которых аналогично определению ${ displaystyle O_ {X}}$ -модули на локально окольцованное пространство ): то есть пучок с разложением в прямую сумму

{ Displaystyle S = bigoplus _ {я geq 0} S_ {я}}

где каждый ${ displaystyle S_ {i}}$ является ${ displaystyle O_ {X}}$ -модуль такой, что для каждого открытого подмножества U из Икс, S(U) является ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ -алгебра и полученное разложение в прямую сумму

{ Displaystyle S (U) = bigoplus _ {я geq 0} S_ {я} (U)}

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что ${ displaystyle S_ {0} = O_ {X}}$ . Сделаем дополнительное предположение, что S это квазикогерентный пучок; это предположение о «согласованности» сечений над различными открытыми множествами, которое необходимо для продолжения построения.

Строительство

В этой установке мы можем построить схему ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ и «проекционная» карта п на Икс так что для каждого открытое аффинное U из Икс,

{ displaystyle ( operatorname { mathbf {Proj}} S) | _ {p ^ {- 1} (U)} = operatorname {Proj} (S (U)).}

Это определение предполагает, что мы построим ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ сначала определив схемы ${ displaystyle Y_ {U}}$ для каждого открытого аффинного U, установив

{ displaystyle Y_ {U} = operatorname {Proj} S (U),}

и карты ${ displaystyle p_ {U} двоеточие Y_ {U} to U}$ , а затем показав, что эти данные могут быть склеены вместе «над» каждым пересечением двух открытых аффинных U и V составить схему Y который мы определяем как ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ . Нетрудно показать, что определение каждого ${ displaystyle p_ {U}}$ быть отображением, соответствующим включению ${ displaystyle O_ {X} (U)}$ в S(U) как элементы нулевой степени дает необходимую согласованность ${ displaystyle p_ {U}}$ , а последовательность ${ displaystyle Y_ {U}}$ сами следуют из предположения квазикогерентности S.

Скручивающаяся связка

Если S имеет дополнительное свойство, которое ${ displaystyle S_ {1}}$ это связный пучок и локально генерирует S над ${ displaystyle S_ {0}}$ (то есть, когда мы переходим к стебель связки S в какой-то момент Икс из Икс, которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо ${ displaystyle O_ {X, x}}$ то элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над ${ displaystyle O_ {X, x}}$ а также сгенерировать стебель как алгебру над ним), тогда мы можем сделать дальнейшую конструкцию. Над каждой открытой аффиной U, Proj S(U) несет обратимая связка О (1), и сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки можно склеить так же, как ${ displaystyle Y_ {U}}$ над; получившаяся связка на ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ также обозначается О(1) и служит той же цели для ${ displaystyle operatorname { mathbf {Proj}} S}$ как скручивающая связка на Proj кольца.

Proj квазикогерентного пучка

Позволять ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ - квазикогерентный пучок на схеме ${ displaystyle X}$ . Пучок симметрических алгебр ${ displaystyle mathbf {Sym} _ {O_ {X}} ({ mathcal {E}})}$ естественно является квазикогерентным пучком градуированных ${ displaystyle O_ {X}}$ -модули, порожденные элементами степени 1. Полученную схему обозначим через ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ . Если ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ имеет конечный тип, то его канонический морфизм ${ displaystyle p: mathbb {P} ({ mathcal {E}}) to X}$ это проективный морфизм.^[2]

Для любого ${ displaystyle x in X}$ , слой указанного морфизма над ${ displaystyle x}$ проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}} (х))}$ связанный с двойственным векторным пространством ${ displaystyle { mathcal {E}} (x): = { mathcal {E}} otimes _ {O_ {X}} k (x)}$ над ${ Displaystyle к (х)}$ .

Если ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ является квазикогерентным пучком градуированных ${ displaystyle O_ {X}}$ -модули, генерируемые ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ и такой, что ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {1}}$ конечного типа, то ${ displaystyle mathbf {Proj} { mathcal {S}}}$ замкнутая подсхема ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {S}} _ {1})}$ и тогда проективен над ${ displaystyle X}$ . Фактически каждая замкнутая подсхема проективного ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ имеет такую форму.^[3]

Связки проективного пространства

Как частный случай, когда ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ локально свободен от ранга ${ displaystyle n + 1}$ , мы получаем проективный пучок ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ над ${ displaystyle X}$ относительного измерения ${ displaystyle n}$ . Действительно, если взять открытая крышка из Икс открытыми аффинами ${ Displaystyle U = OperatorName {Spec} (A)}$ так что при ограничении каждого из них, ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ свободен А, тогда

{ displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}}) | _ {p ^ {- 1} (U)} simeq operatorname {Proj} A [x_ {0}, dots, x_ {n }] = mathbb {P} _ {A} ^ {n} = mathbb {P} _ {U} ^ {n},}

и поэтому ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {E}})}$ является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, такие как семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Подробнее читайте в основной статье.

Пример глобального проекта

Глобальный проект можно использовать для построения Карандаши Lefschetz. Например, пусть ${ Displaystyle X = mathbb {P} _ {s, t} ^ {1}}$ и возьмем однородные многочлены ${ displaystyle f, g in mathbb {C} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ степени k. Мы можем рассматривать идеальный пучок ${ Displaystyle { mathcal {I}} = (SF + TG)}$ из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ и построить глобальную проекцию этого факторпучка алгебр ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / { mathcal {I}}}$ . Это можно явно описать как проективный морфизм ${ displaystyle operatorname {Proj} ( mathbb {C} [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / (sf + tg)) to mathbb {P} _ {s , t} ^ {1}}$ .