Конечный морфизм - Finite morphism

В алгебраическая геометрия, морфизм ж: Икс → Y из схемы это конечный морфизм если Y имеет открытая крышка к аффинные схемы

${ Displaystyle V_ {я} = { mbox {Spec}} ; B_ {я}}$

так что для каждого я,

${ displaystyle f ^ {- 1} (V_ {i}) = U_ {i}}$

является открытой аффинной подсхемой Spec А_я, а ограничение ж к U_я, что индуцирует кольцевой гомоморфизм

${ displaystyle B_ {i} rightarrow A_ {i},}$

делает А_я а конечно порожденный модуль над B_я.^[1] Еще говорят, что Икс является конечный над Y.

Фактически, ж конечно тогда и только тогда, когда для каждый открытая аффинная открытая подсхема V = Спецификация B в Y, прообраз V в Икс является аффинным, имеет вид Spec А, с А конечно порожденный B-модуль.^[2]

Например, для любого поле k, ${ displaystyle { text {Spec}} (k [t, x] / (x ^ {n} -t)) to { text {Spec}} (k [t])}$ является конечным морфизмом, поскольку ${ Displaystyle к [т, х] / (х ^ {п} -t) cong k [t] oplus k [t] cdot x oplus cdots oplus k [t] cdot x ^ {n -1}}$ в качестве ${ Displaystyle к [т]}$-модули. Геометрически это очевидно конечно, так как это разветвленное n-листное покрытие аффинной прямой, которое вырождается в нуле. Напротив, включение А¹ - 0 в А¹ не конечно. (Действительно, Многочлен Лорана звенеть k[у, у⁻¹] не конечно порожден как модуль над k[у].) Это ограничивает нашу геометрическую интуицию сюръективными семействами с конечными слоями.

Свойства конечных морфизмов

• Композиция двух конечных морфизмов конечна.
• Любой изменение базы конечного морфизма ж: Икс → Y конечно. То есть, если грамм: Z → Y - любой морфизм схем, то полученный морфизм Икс ×_Y Z → Z конечно. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если А и C являются (коммутативными) B-алгебры и А конечно порождается как B-модуль, затем тензорное произведение А ⊗_B C конечно порожден как C-модуль. В самом деле, в качестве образующих можно взять элементы а_я ⊗ 1, где а_я являются данными генераторами А как B-модуль.
• Закрытые погружения конечны, поскольку они локально задаются А → А/я, куда я это идеальный соответствующей замкнутой подсхеме.
• Конечные морфизмы замкнуты, следовательно (из-за их устойчивости относительно замены базы) правильный.^[3] Это следует из подниматься Теорема Коэна-Зайденберга в коммутативной алгебре.
• Конечные морфизмы имеют конечные слои (т. Е. квазиконечный ).^[4] Это следует из того, что для поля k, каждое конечное k-алгебра - это Артинианское кольцо. Связанное с этим утверждение состоит в том, что для конечного сюръективного морфизма ж: Икс → Y, Икс и Y имеют то же самое измерение.
• К Делинь, морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный.^[5] Это было показано Гротендик если морфизм ж: Икс → Y является локально конечного представления, что следует из других предположений, если Y является Нётерян.^[6]
• Конечные морфизмы проективны и аффинный.^[7]

Морфизмы конечного типа

Было предложено, чтобы этот раздел был расколоть в другую статью. (Обсуждать) (Апрель 2018 г.)

Для гомоморфизма А → B коммутативных колец, B называется А-алгебра конечный тип если B это конечно порожденный как А-алгебра. Это намного сильнее для B быть конечный А-алгебра, что означает, что B конечно порожден как А-модуль. Например, для любого коммутативного кольца А и натуральное число п, кольцо многочленов А[Икс₁, ..., Икс_п] является А-алгебра конечного типа, но не конечная А-модуль, если А = 0 или п = 0. Другой пример морфизма конечного типа, который не является конечным, - это ${ displaystyle mathbb {C} [t] to mathbb {C} [t] [x, y] / (y ^ {2} -x ^ {3} -t)}$.

Аналогичное понятие в терминах схем: морфизм ж: Икс → Y схем из конечный тип если Y имеет покрытие аффинными открытыми подсхемами V_я = Спецификация А_я такой, что ж⁻¹(V_я) имеет конечное покрытие аффинными открытыми подсхемами U_ij = Спецификация B_ij с B_ij ан А_я-алгебра конечного типа. Еще говорят, что Икс имеет конечный тип над Y.

Например, для любого натурального числа п и поле k, аффинный п-пространственный и проективный п-пространство над k имеют конечный тип над k (то есть по Spec k), а они не конечны над k пока не п = 0. В общем, любое квазипроективная схема над k имеет конечный тип над k.

В Лемма Нётер о нормализации в геометрических терминах говорит, что каждая аффинная схема Икс конечного типа над полем k имеет конечный сюръективный морфизм в аффинное пространство А^п над k, куда п это размер Икс. Точно так же каждый проективная схема Икс над полем имеет конечный сюръективный морфизм проективное пространство п^п, куда п это размер Икс.

Смотрите также

• Глоссарий алгебраической геометрии
• Конечная алгебра

Примечания

Рекомендации

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. Дои:10.1007 / bf02684343. МИСТЕР  0217086.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. Дои:10.1007 / bf02732123. МИСТЕР  0238860.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157

внешняя ссылка

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project