Бирациональная геометрия - Birational geometry - Wikipedia

В круг бирационально эквивалентен линия. Одна бирациональная карта между ними стереографическая проекция, изображенный здесь.

В математика, бирациональная геометрия это область алгебраическая геометрия в котором цель - определить, когда два алгебраические многообразия изоморфны вне подмножеств меньшей размерности. Это равносильно изучению отображений, которые даются рациональные функции а не полиномы; карта может не быть определена там, где рациональные функции имеют полюсы.

Бирациональные карты

Рациональные карты

А рациональная карта из одной разновидности (понимается как несводимый ) ${ displaystyle X}$ к другому разнообразию ${ displaystyle Y}$в виде пунктирной стрелки ${ displaystyle X - to Y}$, определяется как морфизм из непустого открытого подмножества ${ Displaystyle U подмножество X}$ к ${ displaystyle Y}$. По определению Топология Зарисского используется в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество ${ displaystyle U}$ всегда плотно в ${ displaystyle X}$, фактически дополнение к подмножеству меньшей размерности. Конкретно, рациональную карту можно записать в координатах с использованием рациональных функций.

Бирациональные карты

А бирациональная карта из Икс к Y рациональная карта ж: Икс ⇢ Y такое, что существует рациональное отображение Y ⇢ Икс обратный к ж. Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм непустого открытого подмножества Икс в непустое открытое подмножество Y. В этом случае, Икс и Y как говорят бирациональный, или же бирационально эквивалентный. В алгебраических терминах два многообразия над полем k бирациональны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны как поля расширения k.

Особый случай - это бирациональный морфизм ж: Икс → Y, что означает бирациональный морфизм. То есть, ж определен везде, но может не быть обратным. Обычно это происходит из-за того, что бирациональный морфизм сжимает некоторые подмногообразия Икс указывать в Y.

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Разнообразие Икс как говорят рациональный если аффинное пространство бирационально (или, что то же самое, проективное пространство ) некоторой размерности. Рациональность - очень естественное свойство: это означает, что Икс минус некоторое подмножество более низкой размерности можно отождествить с аффинным пространством за вычетом некоторого подмножества более низкой размерности.

Бирациональная эквивалентность плоской коники

Например, круг ${ displaystyle X}$ с уравнением ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$ в аффинной плоскости - рациональная кривая, потому что существует рациональное отображение ж: ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ ⇢ Икс данный

${ displaystyle f (t) = left ({ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}) верно),}$

который имеет рациональную обратную грамм: Икс ⇢ ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ данный

${ displaystyle g (x, y) = { frac {1-y} {x}}.}$

Применение карты ж с т а Рациональное число дает систематическое построение Пифагорейские тройки.

Рациональная карта ${ displaystyle f}$ не определен в локусе, где ${ displaystyle 1 + t ^ {2} = 0}$. Итак, на сложной аффинной прямой ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {1}}$, ${ displaystyle f}$ является морфизмом на открытом подмножестве ${ Displaystyle U = mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {1} - {я, -i }}$, ${ displaystyle f: от U до X}$. Точно так же рациональное отображение грамм: Икс ⇢ ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ не определено в точке ${ displaystyle (0, -1)}$ в ${ displaystyle X}$.

Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P^п

В более общем смысле гладкая квадрика (степень 2) гиперповерхность Икс любого измерения п рационально, по стереографическая проекция. (За Икс квадрика над полем k, Икс следует предположить, что k-рациональная точка; это автоматически, если k алгебраически замкнуто.) Чтобы определить стереографическую проекцию, пусть п быть точкой в Икс. Тогда бирациональное отображение из Икс в проективное пространство ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ линий через п дается путем отправки точки q в Икс к линии через п и q. Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, поскольку ее нельзя определить там, где q = п (и обратная карта не может быть определена в этих строках через п которые содержатся в Икс).

Бирациональная эквивалентность квадратичной поверхности

В Сегре встраивание дает вложение ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1} times mathbb {P} ^ {1} to mathbb {P} ^ {3}}$ данный

${ displaystyle ([x, y], [z, w]) mapsto [xz, xw, yz, yw].}$

Изображение представляет собой квадратичную поверхность ${ displaystyle x_ {0} x_ {3} = x_ {1} x_ {2}}$ в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$. Это дает еще одно доказательство того, что эта квадратичная поверхность рациональна, поскольку ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1} times mathbb {P} ^ {1}}$ очевидно рационально, имея открытое подмножество, изоморфное ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$.

Минимальные модели и разрешение особенностей

Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективное разнообразие (Лемма Чоу ). Итак, для целей бирациональной классификации достаточно работать только с проективными многообразиями, и это обычно наиболее удобная установка.

Гораздо глубже Хиронака теорема 1964 г. разрешение особенностей: над полем характеристики 0 (например, комплексными числами) каждое многообразие бирационально гладкий проективное разнообразие. При этом достаточно классифицировать гладкие проективные многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности.

В размерности 1, если две гладкие проективные кривые бирациональны, то они изоморфны. Но это не удается по крайней мере в 2-м измерении. взрыв строительство. Раздуваясь, каждое гладкое проективное многообразие размерности не менее 2 становится бирациональным по отношению к бесконечному множеству «больших» многообразий, например, с большими Бетти числа.

Это приводит к идее минимальные модели: существует ли уникальное простейшее многообразие в каждом классе бирациональной эквивалентности? Современное определение таково, что проективное многообразие Икс является минимальный если канонический набор строк K_Икс имеет неотрицательную степень на каждой кривой в Икс; другими словами, K_Икс является неф. Легко убедиться, что раздутые разновидности никогда не бывают минимальными.

Это понятие отлично работает для алгебраических поверхностей (разновидностей размерности 2). Говоря современным языком, один из центральных результатов Итальянская школа алгебраической геометрии с 1890–1910 гг., часть классификация поверхностей, заключается в том, что каждая поверхность Икс бирационально либо к продукту ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1} times C}$ для некоторой кривой C или на минимальную поверхность Y.^[1] Эти два случая исключают друг друга, и Y является уникальным, если он существует. Когда Y существует, он называется минимальная модель изИкс.

Бирациональные инварианты

Сначала непонятно, как показать, что существуют алгебраические многообразия, не являющиеся рациональными. Чтобы доказать это, потребуются некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. А бирациональный инвариант является любым числом, кольцом и т. д., которое одинаково или изоморфно для всех бирационально эквивалентных разновидностей.

Plurigenera

Один из полезных наборов бирациональных инвариантов - это Plurigenera. В канонический пакет гладкой разновидности Икс измерения п означает линейный пакет из п-формы K_Икс = Ω^п, какой пth внешняя сила из котангенсный пучок из Икс. Для целого числа d, то dтензорная степень K_Икс снова линейный пучок. За d ≥ 0, векторное пространство глобальных сечений ЧАС⁰(Икс, K_Икс^d) обладает замечательным свойством: бирациональное отображение ж: Икс ⇢ Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм ЧАС⁰(Икс, K_Икс^d) ≅ ЧАС⁰(Y, K_Y^d).^[2]

За d ≥ 0, определим dth Plurigenus п_d как размерность векторного пространства ЧАС⁰(Икс, K_Икс^d); то плюригоды являются бирациональными инвариантами гладких проективных многообразий. В частности, если у plurigenus п_d с d > 0 не равно нулю, тогда Икс не рационально.

Кодаира измерение

Фундаментальным бирациональным инвариантом является Кодаира измерение, который измеряет рост плюриродов п_d в качестве d уходит в бесконечность. Измерение Кодаира разделяет все разновидности измерений п в п + 2 типа с размерностью Кодаиры −∞, 0, 1, ... или п. Это мера сложности многообразия с проективным пространством, имеющим размерность Кодаиры −∞. Самые сложные разновидности - это те, у которых размерность Кодаира равна их размеру. п, называемые разновидностями общий тип.

Слагаемые ⊗^kΩ¹ и некоторые числа Ходжа

В общем, для любого естественного слагаемого

${ Displaystyle E ( Omega ^ {1}) = bigotimes ^ {k} Omega ^ {1}}$

из р-th тензорной степени кокасательного расслоения Ω¹ с р ≥ 0, векторное пространство глобальных сечений ЧАС⁰(Икс, E(Ω¹)) является бирациональным инвариантом для гладких проективных многообразий. В частности, Числа Ходжа

${ displaystyle h ^ {p, 0} = H ^ {0} (X, Omega ^ {p})}$

являются бирациональными инвариантами Икс. (Большинство других чисел Ходжа час^{р, д} не являются бирациональными инвариантами, как показывает раздутие.)

Фундаментальная группа гладких проективных многообразий

В фундаментальная группа π₁(Икс) является бирациональным инвариантом для гладких комплексных проективных многообразий.

«Теорема о слабой факторизации», доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком. (2002), говорит, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями можно разложить на конечное число раздутий или раздутий гладких подмногообразий. Это важно знать, но все же может быть очень трудно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких измерениях

Проективное разнообразие Икс называется минимальный если канонический пакет K_Икс является неф. За Икс размерности 2, в этом определении достаточно рассматривать гладкие многообразия. При размерах не менее 3 минимальные разновидности должны иметь определенные мягкие особенности, для которых K_Икс по-прежнему хорошо себя ведет; они называются терминальные особенности.

При этом гипотеза минимальной модели означало бы, что каждое разнообразие Икс либо покрывается рациональные кривые или бирациональный к минимальному разнообразию Y. Когда он существует, Y называется минимальная модель из Икс.

Минимальные модели не уникальны по размерности не менее 3, но любые два бирациональных минимальных многообразия очень близки. Например, они изоморфны вне подмножеств коразмерности не меньше 2, а точнее, связаны последовательностью шлепки. Таким образом, гипотеза о минимальной модели дала бы сильную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий.

Гипотеза была доказана в размерности 3 Мори (1988). В высших измерениях был достигнут большой прогресс, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан (2010) доказал, что каждое разнообразие общий тип над полем нулевой характеристики имеет минимальную модель.

Однолинейные сорта

Сорт называется uniruled если он покрыт рациональными кривыми. Одноуровневое многообразие не имеет минимальной модели, но есть хорошая замена: Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан показали, что всякое однолинейное многообразие над полем нулевой характеристики бирационально Волоконное пространство Фано.^[3] Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоений Фано и (как наиболее интересный частный случай) Разновидности Фано. По определению проективное многообразие Икс является Фано если антиканонический пакет ${ displaystyle K_ {X} ^ {*}}$ является обильный. Многообразия Фано можно рассматривать как алгебраические многообразия, наиболее похожие на проективное пространство.

В размерности 2 каждое многообразие Фано (известное как Поверхность дель Пеццо ) над алгебраически замкнутым полем рационально. Важным открытием 1970-х годов было то, что, начиная с измерения 3, существует множество разновидностей Фано, которые не являются рациональный. В частности, гладкие трехмерные кубики не рациональны по Клеменс-Гриффитс (1972), а трехмерные гладкие квартики не рациональны по Исковских – Манин (1971). Тем не менее, проблема определения, какие именно разновидности Фано рациональны, далека от решения. Например, неизвестно, существует ли гладкая кубическая гиперповерхность в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {п + 1}}$ с п ≥ 4, что нерационально.

Бирациональные группы автоморфизмов

Алгебраические многообразия сильно различаются количеством бирациональных автоморфизмов. Каждое разнообразие общий тип является чрезвычайно жестким в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна. С другой стороны, группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над полем k, известный как Кремона группа Cr_п(k), большая (в некотором смысле бесконечномерная) при п ≥ 2. Для п = 2, комплексная группа Кремоны ${ Displaystyle Cr_ {2} ( mathbb {C})}$ порождается «квадратичным преобразованием»

[Икс,у,z] ↦ [1/Икс, 1/у, 1/z]

вместе с группой ${ Displaystyle PGL (3, mathbb {C})}$ автоморфизмов ${ displaystyle mathbb {P} ^ {2},}$ к Макс Нётер и Кастельнуово. Напротив, группа Кремоны по размерам п ≥ 3 - это большая загадка: явный набор генераторов неизвестен.

Исковских – Манин (1971) показал, что группа бирациональных автоморфизмов гладкой трехмерной квартики равна ее группе автоморфизмов, которая конечна. В этом смысле трехмерные многообразия четвертой степени далеки от рациональности, поскольку группа бирациональных автоморфизмов рациональное разнообразие огромен. Это явление «бирациональной жесткости» с тех пор было обнаружено во многих других расслоенных пространствах Фано.

Смотрите также

• Гипотеза изобилия

Примечания

Рекомендации

• Абрамович, Дан; Кару, Калле; Мацуки, Кендзи; Влодарчик, Ярослав (2002), "Торификация и факторизация бирациональных отображений", Журнал Американского математического общества, 15 (3): 531–572, arXiv:математика / 9904135, Дои:10.1090 / S0894-0347-02-00396-X, МИСТЕР  1896232
• Биркар, Кошер; Кашини, Паоло; Хакон, Кристофер Д.; МакКернан, Джеймс (2010), «Существование минимальных моделей для многообразий общего типа бревен», Журнал Американского математического общества, 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203, Bibcode:2010JAMS ... 23..405B, Дои:10.1090 / S0894-0347-09-00649-3, МИСТЕР  2601039
• Клеменс, К. Герберт; Гриффитс, Филипп А. (1972), "Промежуточный якобиан трехмерного куба", Анналы математики, Вторая серия, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550, Дои:10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, МИСТЕР  0302652
• Дебарре, Оливье (2001). Многомерная алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-95227-7. МИСТЕР  1841091.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии. Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-32792-9. МИСТЕР  0507725.
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90244-9. МИСТЕР  0463157.
• Исковских, В. А .; Манин, Ю. Я. (1971), "Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота", Математический сборник, Новая Серия, 86 (1): 140–166, Bibcode:1971СбМат..15..141И, Дои:10.1070 / SM1971v015n01ABEH001536, МИСТЕР  0291172
• Коллар, Янош; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий., Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511662560, ISBN  978-0-521-63277-5, МИСТЕР  1658959
• Мори, Шигефуми (1988), "Теорема о перевороте и существование минимальных моделей для трехмерных многообразий", Журнал Американского математического общества, 1 (1): 117–253, Дои:10.2307/1990969, ISSN  0894-0347, JSTOR  1990969, МИСТЕР  0924704