Связный пучок - Coherent sheaf

В математика, особенно в алгебраическая геометрия и теория комплексные многообразия, когерентные пучки являются классом снопы тесно связан с геометрическими свойствами подстилающего помещения. Определение когерентных пучков делается со ссылкой на связка колец который кодифицирует эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторные пучки. В отличие от векторных расслоений они образуют абелева категория, поэтому они закрываются при таких операциях, как взятие ядра, изображений, и коядра. В квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когерентные пучки когомологии представляет собой мощный метод, в частности, для изучения участков заданного когерентного пучка.

Определения

А квазикогерентный пучок на окольцованное пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ это связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули который имеет локальное представление, то есть каждая точка в ${ displaystyle X}$ имеет открытый район ${ displaystyle U}$ в котором есть точная последовательность

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { oplus I} | _ {U} to { mathcal {O}} _ {X} ^ { oplus J} | _ {U} в { mathcal {F}} | _ {U} в 0}$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$.

А связный пучок на окольцованное пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ это связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ удовлетворяющий следующим двум свойствам:

1. ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ имеет конечный тип над ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$, то есть каждая точка в ${ displaystyle X}$ имеет открытый район ${ displaystyle U}$ в ${ displaystyle X}$ такой, что существует сюръективный морфизм ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} to { mathcal {F}} | _ {U}}$ для некоторого натурального числа ${ displaystyle n}$;
2. для любого открытого набора ${ Displaystyle U substeq X}$, любое натуральное число ${ displaystyle n}$, и любой морфизм ${ displaystyle varphi: { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} to { mathcal {F}} | _ {U}}$ из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули, ядро ${ displaystyle varphi}$ имеет конечный тип.

Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули.

Случай схем

Когда ${ displaystyle X}$ является схемой, приведенные выше общие определения эквивалентны более явным. Связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули есть квазикогерентный тогда и только тогда, когда над каждым открытым аффинная подсхема ${ displaystyle U = operatorname {Spec} A}$ ограничение ${ displaystyle { mathcal {F}} | _ {U}}$ изоморфен пучку ${ displaystyle { tilde {M}}}$ связанный к модулю ${ Displaystyle М = Гамма (U, { mathcal {F}})}$ над ${ displaystyle A}$. Когда ${ displaystyle X}$ - это локально нетерова схема, ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является последовательный тогда и только тогда, когда он квазикогерентен и модули ${ displaystyle M}$ выше можно считать конечно порожденный.

По аффинной схеме ${ displaystyle U = operatorname {Spec} A}$, существует эквивалентность категорий из ${ displaystyle A}$-модули в квазикогерентные пучки, принимая модуль ${ displaystyle M}$ к связанной связке ${ displaystyle { tilde {M}}}$. Для обратной эквивалентности используется квазикогерентный пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle U}$ к ${ displaystyle A}$-модуль ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ глобальных разделов ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Вот несколько дополнительных характеристик квазикогерентных пучков на схеме.^[1]

Характеристики

На произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любых схема образуют абелеву категорию, и в этом контексте они чрезвычайно полезны.^[2]

На любом окольцованном пространстве ${ displaystyle X}$когерентные пучки образуют абелеву категорию a полная подкатегория категории ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули.^[3] (Аналогично, категория согласованные модули над любым кольцом ${ displaystyle A}$ является полной абелевой подкатегорией категории всех ${ displaystyle A}$-модули.) Итак, ядро, образ и коядро любой карты когерентных пучков когерентны. В прямая сумма двух когерентных пучков когерентен; в более общем плане ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модуль, который является расширение двух когерентных пучков когерентен.^[4]

Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Связный пучок всегда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модуль конечное представление, что означает, что каждая точка ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ имеет открытый район ${ displaystyle U}$ так что ограничение ${ displaystyle { mathcal {F}} | _ {U}}$ из ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ к ${ displaystyle U}$ изоморфно коядру морфизма ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} to { mathcal {O}} _ {X} ^ {m} | _ {U}}$ для некоторых натуральных чисел ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle m}$. Если ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ когерентно, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ логично.

Связка колец ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, Окская теорема когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве ${ displaystyle X}$ представляет собой когерентный пучок колец. Основная часть доказательства - это случай ${ Displaystyle X = mathbf {C} ^ {n}}$. Точно так же на локально нетеровская схема ${ displaystyle X}$, структурный пучок ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ представляет собой когерентный пучок колец.^[5]

Основные конструкции когерентных пучков

• An ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модуль ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на окольцованном пространстве ${ displaystyle X}$ называется локально свободный конечного ранга, или векторный набор, если каждая точка в ${ displaystyle X}$ имеет открытый район ${ displaystyle U}$ так что ограничение ${ displaystyle { mathcal {F}} | _ {U}}$ изоморфна конечной прямой сумме копий ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} | _ {U}}$. Если ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ не имеет того же ранга ${ displaystyle n}$ около каждой точки ${ displaystyle X}$, то векторное расслоение ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ считается имеющим ранг ${ displaystyle n}$.

Векторные расслоения в теоретико-пучковом смысле над схемой ${ displaystyle X}$ эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема ${ displaystyle E}$ с морфизмом ${ displaystyle pi: E to X}$ и с покрытием из ${ displaystyle X}$ открытыми наборами ${ displaystyle U _ { alpha}}$ с заданными изоморфизмами ${ displaystyle pi ^ {- 1} (U _ { alpha}) cong mathbb {A} ^ {n} times U _ { alpha}}$ над ${ displaystyle U _ { alpha}}$ такие, что два изоморфизма над пересечением ${ Displaystyle U _ { alpha} cap U _ { beta}}$ отличаются линейным автоморфизмом.^[6] (Аналогичная эквивалентность верна и для комплексных аналитических пространств.) Например, для векторного расслоения ${ displaystyle E}$ в этом геометрическом смысле соответствующий пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ определяется: над открытым множеством ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle X}$, то ${ Displaystyle { mathcal {O}} (U)}$-модуль ${ Displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ это набор разделы морфизма ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (U) к U}$. Теоретико-пучковая интерпретация векторных расслоений имеет то преимущество, что векторные расслоения (по локально нётеровой схеме) включены в абелеву категорию когерентных пучков.

• Местно свободные шкивы комплектуются стандартным ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модульные операции, но они возвращают локально свободные связки.^{[нечеткий ]}

• Позволять ${ Displaystyle X = OperatorName {Spec} (R)}$, ${ displaystyle R}$ кольцо Нётериана. Тогда векторные расслоения на ${ displaystyle X}$ - это в точности пучки, ассоциированные с конечно порожденными проективные модули над ${ displaystyle R}$, или (что эквивалентно) конечно порожденным плоские модули над ${ displaystyle R}$.^[7]

• Позволять ${ Displaystyle X = OperatorName {Proj} (R)}$, ${ displaystyle R}$ нётерский ${ Displaystyle mathbb {N}}$-градуированное кольцо, будь проективная схема над нётеровым кольцом ${ displaystyle R_ {0}}$. Тогда каждый ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-квалифицированный ${ displaystyle R}$-модуль ${ displaystyle M}$ определяет квазикогерентный пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle X}$ такой, что ${ displaystyle { mathcal {F}} | _ { {f neq 0 }}}$ связка, связанная с ${ displaystyle R [е ^ {- 1}] _ {0}}$-модуль ${ Displaystyle М [е ^ {- 1}] _ {0}}$, куда ${ displaystyle f}$ является однородным элементом ${ displaystyle R}$ положительной степени и ${ displaystyle {е neq 0 } = operatorname {Spec} R [f ^ {- 1}] _ {0}}$ это место, где ${ displaystyle f}$ не пропадает.

• Например, для каждого целого числа ${ displaystyle n}$, позволять ${ Displaystyle R (п)}$ обозначить градуированный ${ displaystyle R}$-модуль предоставлен ${ Displaystyle R (n) _ {l} = R_ {n + l}}$. Тогда каждый ${ Displaystyle R (п)}$ определяет квазикогерентный пучок ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (п)}$ на ${ displaystyle X}$. Если ${ displaystyle R}$ генерируется как ${ displaystyle R_ {0}}$-алгебра ${ displaystyle R_ {1}}$, тогда ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (п)}$ является линейным расслоением (обратимым пучком) на ${ displaystyle X}$ и ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (п)}$ это ${ displaystyle n}$-я тензорная степень ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1)}$. Особенно, ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ называется пучок тавтологических линий на проективном ${ displaystyle n}$-Космос.

• Простой пример связного пучка на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ которое не является векторным расслоением, задается коядром в следующей последовательности

${ displaystyle { mathcal {O}} (1) { xrightarrow { cdot (x ^ {2} -yz, y ^ {3} + xy ^ {2} -xyz)}} { mathcal {O} } (3) oplus { mathcal {O}} (4) to { mathcal {E}} to 0}$

это потому что ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ ограничивается исчезающим множеством двух многочленов нулевым объектом.

• Идеальные связки: Если ${ displaystyle Z}$ замкнутая подсхема локально нётеровой схемы ${ displaystyle X}$, связка ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {Z / X}}$ всех регулярных функций, исчезающих на ${ displaystyle Z}$ логично. Аналогично, если ${ displaystyle Z}$ замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства ${ displaystyle X}$, идеальная связка ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {Z / X}}$ логично.

• Пучок конструкции ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Z}}$ закрытой подсхемы ${ displaystyle Z}$ местной нётеровой схемы ${ displaystyle X}$ можно рассматривать как связный пучок на ${ displaystyle X}$. Если быть точным, это связка прямого изображения ${ Displaystyle я _ {*} { mathcal {O}} _ {Z}}$, куда ${ displaystyle i: Z to X}$ это включение. То же самое для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Связка ${ Displaystyle я _ {*} { mathcal {O}} _ {Z}}$ имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества ${ displaystyle X-Z}$, и слой размерности 1 в точках ${ displaystyle Z}$. Существует короткая точная последовательность когерентных пучков на ${ displaystyle X}$:

${ displaystyle 0 to { mathcal {I}} _ {Z / X} to { mathcal {O}} _ {X} to i _ {*} { mathcal {O}} _ {Z} до 0.}$

• Большинство операций линейная алгебра сохранить когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ на окольцованном пространстве ${ displaystyle X}$, то тензорное произведение пучок ${ displaystyle { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {G}}}$ и пучок гомоморфизмов ${ Displaystyle { mathcal {H}} ом _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}})}$ последовательны.^[8]

• Простой не пример квазикогерентного пучка дается расширением нулевым функтором. Например, рассмотрим ${ Displaystyle я _ {!} { mathcal {O}} _ {X}}$ за

${ displaystyle X = operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x, x ^ {- 1}]) { xrightarrow {i}} operatorname {Spec} ( mathbb {C} [x]) = Y}$^[9]

Поскольку этот пучок имеет нетривиальные слои, но нулевые глобальные сечения, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки на аффинной схеме эквивалентны категории модулей над нижележащим кольцом, а присоединение происходит от взятия глобальных секций.

Функциональность

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ - морфизм окольцованных пространств (например, a морфизм схем ). Если ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является квазикогерентным пучком на ${ displaystyle Y}$, то обратное изображение ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модуль (или откат) ${ displaystyle f ^ {*} { mathcal {F}}}$ квазикогерентен на ${ displaystyle X}$.^[10] Для морфизма схем ${ displaystyle f: от X до Y}$ и связный пучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на ${ displaystyle Y}$, откат ${ displaystyle f ^ {*} { mathcal {F}}}$ не является последовательным в полной общности (например, ${ displaystyle f ^ {*} { mathcal {O}} _ {Y} = { mathcal {O}} _ {X}}$, которые могут быть некогерентными), но обратные сигналы когерентных пучков когерентны, если ${ displaystyle X}$ является локально нётерским. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.

Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ это квазикомпактный квазиотделенный морфизм схем и ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является квазикогерентным пучком на ${ displaystyle X}$, то пучок прямых изображений (или продвигать) ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {F}}}$ квазикогерентен на ${ displaystyle Y}$.^[2]

Прямое изображение связного пучка часто бывает некогерентным. Например, для поле ${ displaystyle k}$, позволять ${ displaystyle X}$ быть аффинной линией над ${ displaystyle k}$, и рассмотрим морфизм ${ displaystyle f: X to operatorname {Spec} (k)}$; тогда прямое изображение ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {X}}$ это связка на ${ displaystyle operatorname {Spec} (k)}$ связанный с кольцом многочленов ${ Displaystyle к [х]}$, что не является когерентным, поскольку ${ Displaystyle к [х]}$ имеет бесконечное измерение как ${ displaystyle k}$-векторное пространство. С другой стороны, прямое изображение когерентного пучка под правильный морфизм когерентно, по результаты Грауэрта и Гротендика.

Локальное поведение когерентных пучков

Важная особенность когерентных пучков ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в том, что свойства ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в какой-то момент ${ displaystyle x}$ контролировать поведение ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в районе ${ displaystyle x}$, больше, чем было бы для произвольного пучка. Например, Лемма Накаямы говорит (на геометрическом языке), что если ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ является когерентным пучком на схеме ${ displaystyle X}$, то волокно ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X, x}} k (x)}$ из ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в какой-то момент ${ displaystyle x}$ (векторное пространство над полем вычетов ${ Displaystyle к (х)}$) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок ${ displaystyle F}$ равен нулю в некоторой открытой окрестности точки ${ displaystyle x}$. С этим связан тот факт, что размер волокон когерентного пучка равен полунепрерывный сверху.^[11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может увеличиваться на замкнутом подмножестве меньшей размерности.

В том же духе: связная связка ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ по схеме ${ displaystyle X}$ является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ это бесплатный модуль по местному кольцу ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ за каждую точку ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$.^[12]

По общей схеме нельзя определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, только по его слоям (в отличие от его стеблей). На уменьшенный локально нетерова схема, однако, когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен.^[13]

Примеры векторных расслоений

Для морфизма схем ${ Displaystyle от X до Y}$, позволять ${ displaystyle Delta: от X к X times _ {Y} X}$ быть диагональный морфизм, который является закрытое погружение если ${ displaystyle X}$ является отделенный над ${ displaystyle Y}$. Позволять ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ быть идеальным пучком ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle X times _ {Y} X}$. Затем пачка дифференциалы ${ displaystyle Omega _ {X / Y} ^ {1}}$ можно определить как откат ${ Displaystyle Delta ^ {*} { mathcal {I}}}$ из ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ к ${ displaystyle X}$. Участки этой связки называются 1-формы на ${ displaystyle X}$ над ${ displaystyle Y}$, и их можно записать локально на ${ displaystyle X}$ в виде конечных сумм ${ displaystyle textstyle sum f_ {j} , dg_ {j}}$ для обычных функций ${ displaystyle f_ {j}}$ и ${ displaystyle g_ {j}}$. Если ${ displaystyle X}$ локально конечного типа над полем ${ displaystyle k}$, тогда ${ displaystyle Omega _ {X / k} ^ {1}}$ является связным пучком на ${ displaystyle X}$.

Если ${ displaystyle X}$ является гладкий над ${ displaystyle k}$, тогда ${ displaystyle Omega ^ {1}}$ (смысл ${ displaystyle Omega _ {X / k} ^ {1}}$) - векторное расслоение над ${ displaystyle X}$, называется котангенсный пучок из ${ displaystyle X}$. Тогда касательный пучок ${ displaystyle TX}$ определяется как дуальное расслоение ${ Displaystyle ( Омега ^ {1}) ^ {*}}$. За ${ displaystyle X}$ сглаживать ${ displaystyle k}$ измерения ${ displaystyle n}$ везде касательное расслоение имеет ранг ${ displaystyle n}$.

Если ${ displaystyle Y}$ является гладкой замкнутой подсхемой гладкой схемы ${ displaystyle X}$ над ${ displaystyle k}$, то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на ${ displaystyle Y}$:

${ displaystyle 0 to TY to TX | _ {Y} to N_ {Y / X} to 0,}$

который можно использовать как определение нормальный комплект ${ displaystyle N_ {Y / X}}$ к ${ displaystyle Y}$ в ${ displaystyle X}$.

Для плавной схемы ${ displaystyle X}$ над полем ${ displaystyle k}$ и натуральное число ${ displaystyle i}$, векторное расслоение ${ displaystyle Omega ^ {i}}$ из я-формы на ${ displaystyle X}$ определяется как ${ displaystyle i}$-го внешняя сила котангенсного пучка, ${ displaystyle Omega ^ {i} = Lambda ^ {i} Omega ^ {1}}$. Для гладкого разнообразие ${ displaystyle X}$ измерения ${ displaystyle n}$ над ${ displaystyle k}$, то канонический пакет ${ displaystyle K_ {X}}$ означает линейный пакет ${ displaystyle Omega ^ {n}}$. Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами объемные формы на ${ displaystyle X}$. Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства ${ Displaystyle mathbb {А} ^ {п}}$ над ${ displaystyle k}$можно записать как

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ; dx_ {1} wedge cdots wedge dx_ {n},}$

куда ${ displaystyle f}$ - многочлен с коэффициентами в ${ displaystyle k}$.

Позволять ${ displaystyle R}$ коммутативное кольцо и ${ displaystyle n}$ натуральное число. Для каждого целого числа ${ displaystyle j}$, есть важный пример линейного расслоения на проективном пространстве ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над ${ displaystyle R}$, называется ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$. Чтобы определить это, рассмотрим морфизм ${ displaystyle R}$-схемы

${ displaystyle pi: mathbb {A} ^ {n + 1} -0 to mathbb {P} ^ {n}}$

задано в координатах ${ Displaystyle (x_ {0}, ldots, x_ {n}) mapsto [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$. (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправьте ненулевую точку в аффинном пространстве на линию, которую оно охватывает.) Затем часть ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$ над открытым подмножеством ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ определяется как регулярная функция ${ displaystyle f}$ на ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (U)}$ однородный по степени ${ displaystyle j}$, означающий, что

${ Displaystyle е (топор) = а ^ {j} е (х)}$

как обычные функции на (${ Displaystyle mathbb {A} ^ {1} -0) times pi ^ {- 1} (U)}$. Для всех целых чисел ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$, существует изоморфизм ${ Displaystyle { mathcal {O}} (я) otimes { mathcal {O}} (j) cong { mathcal {O}} (я + j)}$ линейных пучков на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$.

В частности, каждый однородный многочлен в ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n}}$ степени ${ displaystyle j}$ над ${ displaystyle R}$ можно рассматривать как глобальный раздел ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$ над ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Обратите внимание, что любую замкнутую подсхему проективного пространства можно определить как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$.^[14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема - это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции на проективном пространстве ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над ${ displaystyle R}$ являются просто «константами» (кольцо ${ displaystyle R}$), поэтому очень важно работать с линейными пучками ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$.

Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков на проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно пусть ${ displaystyle R}$ - нётерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов ${ Displaystyle S = R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ как градуированное кольцо с каждым ${ displaystyle x_ {i}}$ степени 1. Тогда каждая конечно порожденная градуированная ${ displaystyle S}$-модуль ${ displaystyle M}$ имеет связанный связный пучок ${ displaystyle { tilde {M}}}$ на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над ${ displaystyle R}$. Каждая связная связка на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ возникает таким образом из конечно порожденной градуированной ${ displaystyle S}$-модуль ${ displaystyle M}$. (Например, линейный пакет ${ displaystyle { mathcal {O}} (j)}$ связка, связанная с ${ displaystyle S}$-модуль ${ displaystyle S}$ с понижением оценок на ${ displaystyle j}$.) Но ${ displaystyle S}$-модуль ${ displaystyle M}$ что дает заданный когерентный пучок на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ не уникален; он уникален только до изменения ${ displaystyle M}$ градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ это частное категории конечно порожденных градуированных ${ displaystyle S}$-модули от Подкатегория Серра модулей, отличных от нуля лишь в конечном числе степеней.^[15]

Касательное расслоение проективного пространства ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ над полем ${ displaystyle k}$ можно описать в терминах линейного пакета ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$. А именно, есть короткая точная последовательность, Последовательность Эйлера:

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} to { mathcal {O}} (1) ^ { oplus ; n + 1} to T mathbb {P} ^ {n} to 0.}$

Отсюда следует, что каноническое расслоение ${ Displaystyle К _ { mathbb {P} ^ {n}}}$ (двойник детерминантный линейный пучок касательного расслоения) изоморфно ${ Displaystyle { mathcal {O}} (- п-1)}$. Это фундаментальное вычисление для алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильная линейка ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ означает, что проективное пространство является Сорт Фано. Над комплексными числами это означает, что проективное пространство имеет Кэлерова метрика с положительным Кривизна Риччи.

Векторные расслоения на гиперповерхности

Рассмотрим гладкую степень-${ displaystyle d}$ гиперповерхность ${ Displaystyle X подмножество mathbb {P} ^ {n}}$ определяемый однородным полиномом ${ displaystyle f}$ степени ${ displaystyle d}$. Тогда есть точная последовательность

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {X} (- d) to i ^ {*} Omega _ { mathbb {P} ^ {n}} to Omega _ {X} to 0}$

где вторая карта - это откат дифференциальных форм, а первая карта отправляет

${ Displaystyle phi mapsto d (е cdot phi)}$

Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что ${ displaystyle { mathcal {O}} (- d)}$ конормальный пучок ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Дуализация этого дает точную последовательность

${ displaystyle 0 to T_ {X} to i ^ {*} T _ { mathbb {P} ^ {n}} to { mathcal {O}} (d) to 0}$

следовательно ${ Displaystyle { mathcal {O}} (г)}$ это нормальный пучок ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$. Если мы воспользуемся тем фактом, что дана точная последовательность

${ displaystyle 0 to { mathcal {E}} _ {1} to { mathcal {E}} _ {2} to { mathcal {E}} _ {3} to 0}$

векторных расслоений с рангами ${ displaystyle r_ {1}}$,${ displaystyle r_ {2}}$,${ displaystyle r_ {3}}$, существует изоморфизм

${ displaystyle Lambda ^ {r_ {2}} { mathcal {E}} _ {2} cong Lambda ^ {r_ {1}} { mathcal {E}} _ {1} otimes Lambda ^ {r_ {3}} { mathcal {E}} _ {3}}$

линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм

${ displaystyle i ^ {*} omega _ { mathbb {P} ^ {n}} cong omega _ {X} otimes { mathcal {O}} _ {X} (- d)}$

показывая это

${ Displaystyle omega _ {X} cong { mathcal {O}} _ {X} (d-n-1)}$

Классы Черна и алгебраические K-теория

Векторный набор ${ displaystyle E}$ на гладком разнообразии ${ displaystyle X}$ над полем Классы Черна в Кольцо для чау-чау из ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle c_ {i} (E)}$ в ${ displaystyle CH ^ {i} (X)}$ за ${ displaystyle i geq 0}$.^[16] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Черна в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности

${ Displaystyle 0 к А к В к С к 0}$

векторных расслоений на ${ displaystyle X}$, классы Черна ${ displaystyle B}$ даны

${ displaystyle c_ {i} (B) = c_ {i} (A) + c_ {1} (A) c_ {i-1} (C) + cdots + c_ {i-1} (A) c_ { 1} (C) + c_ {i} (C).}$

Отсюда следует, что классы Черна векторного расслоения ${ displaystyle E}$ зависят только от класса ${ displaystyle E}$ в Группа Гротендик ${ displaystyle K_ {0} (X)}$. По определению для схемы ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ фактор свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на ${ displaystyle X}$ соотношением, что ${ displaystyle [B] = [A] + [C]}$ для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Несмотря на то что ${ displaystyle K_ {0} (X)}$ трудно вычислить в целом, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для его изучения, включая последовательность связанных групп ${ displaystyle K_ {i} (X)}$ для целых чисел ${ displaystyle i> 0}$.

Вариант - группа ${ displaystyle G_ {0} (X)}$ (или же ${ displaystyle K_ {0} '(X)}$), Группа Гротендик когерентных пучков на ${ displaystyle X}$. (В топологической терминологии грамм-теория обладает формальными свойствами Гомологии Бореля – Мура теория схем, а K-теория - это соответствующая теория когомологий.) Естественный гомоморфизм ${ displaystyle K_ {0} (X) to G_ {0} (X)}$ является изоморфизмом, если ${ displaystyle X}$ это обычный разделенная нётерова схема, в которой каждый когерентный пучок имеет конечную разрешающая способность векторными расслоениями в этом случае.^[17] Например, это дает определение классов Черна когерентного пучка на гладком многообразии над полем.

В более общем плане схема Нётера ${ displaystyle X}$ говорят, что имеет свойство разрешения если каждый связный пучок на ${ displaystyle X}$ имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на ${ displaystyle X}$. Например, любая квазипроективная схема над нётеровым кольцом обладает свойством разрешающей способности.

Применение разрешительной собственности

Поскольку свойство разрешения утверждает, что когерентный пучок ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ на нётеровой схеме квазиизоморфна в производной категории комплексу векторных расслоений:${ displaystyle { mathcal {E}} _ {k} to cdots to { mathcal {E}} _ {1} to { mathcal {E}} _ {0}}$мы можем вычислить полный класс Черна ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ с

${ Displaystyle с ({ mathcal {E}}) = с ({ mathcal {E}} _ {0}) с ({ mathcal {E}} _ {1}) ^ {- 1} cdots c ({ mathcal {E}} _ {k}) ^ {(- 1) ^ {k}}}$

Например, эта формула полезна для нахождения классов Черна пучка, представляющего подсхему ${ displaystyle X}$. Если взять проективную схему ${ displaystyle Z}$ связанный с идеалом ${ Displaystyle (ху, хz) подмножество mathbb {C} [х, у, г, ш]}$, тогда

${ displaystyle c ({ mathcal {O}} _ {Z}) = { frac {c ({ mathcal {O}}) c ({ mathcal {O}} (- 3))} {c ( { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2))}}}$

поскольку есть разрешение

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} (- 3) to { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2) to { mathcal {O }} to { mathcal {O}} _ {Z} to 0}$

над ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$.

Гомоморфизм расслоения против гомоморфизма пучка

Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо, необходимо уделять внимание различению между гомоморфизмами расслоений и гомоморфизмами пучков. В частности, данные векторные пучки ${ displaystyle p: E to X, , q: F to X}$по определению гомоморфизм расслоения ${ displaystyle varphi: E to F}$ это схемный морфизм над ${ displaystyle X}$ (т.е. ${ displaystyle p = q circ varphi}$) такое, что для каждой геометрической точки ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle varphi _ {x}: p ^ {- 1} (x) to q ^ {- 1} (x)}$ является линейным отображением ранга, не зависящим от ${ displaystyle x}$. Таким образом, он индуцирует гомоморфизм пучков ${ displaystyle { widetilde { varphi}}: { mathcal {E}} to { mathcal {F}}}$ постоянного ранга между соответствующими локально свободными ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-модули (пучки двойственных секций). Но может быть ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-гомоморфизм модулей, который не возникает таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного звания.

В частности, подгруппа ${ displaystyle E subset F}$ является подпучком (т.е. ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ Подпучок ${ displaystyle { mathcal {F}}}$). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье ${ displaystyle D}$ на ${ displaystyle X}$, ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (- D) subset { mathcal {O}} _ {X}}$ является подпучком, но обычно не подгруппой (так как любой линейный пакет имеет только два подгруппы).

Категория квазикогерентных пучков

Квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию. Габбер показали, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию с особенно хорошим поведением. Категория Гротендика.^[18] Квазикомпактная квазиразделенная схема ${ displaystyle X}$ (например, алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на ${ displaystyle X}$Розенберга, обобщая результат Габриэль.^[19]

Когерентные когомологии

Основным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии разъясняются языком когомологии пучков применяется к когерентным пучкам. Вообще говоря, когерентные когомологии пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных пучков или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют фундаментальную роль.

Среди основных результатов когомологий когерентных пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об обращении в нуль когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как Двойственность Серра, отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как Теория Ходжа, и формулы для Характеристики Эйлера когерентных пучков, таких как Теорема Римана – Роха.

Смотрите также

• Группа Пикард
• Дивизор (алгебраическая геометрия)
• Возвратная связка
• Схема котировки
• Скрученная связка
• Существенно конечное векторное расслоение
• Связка основных деталей
• Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
• Псевдокогерентный пучок
• Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

Примечания

Рекомендации

• Antieau, Бенджамин (2016), "Теорема восстановления абелевых категорий скрученных пучков", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 712: 175–188, arXiv:1305.2541, Дои:10.1515 / crelle-2013-0119, МИСТЕР  3466552
• Данилов, В. И. (2001) [1994], «Когерентный алгебраический пучок», Энциклопедия математики, EMS Press
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Райнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN  3-540-13178-7, МИСТЕР  0755331
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, МИСТЕР  1322960
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-1700-8, ISBN  978-0-387-98549-7, МИСТЕР  1644323
• Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b62130. ISBN  354063293X. МИСТЕР  1748380.
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Когерентный аналитический пучок», Энциклопедия математики, EMS Press
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Связная связка», Энциклопедия математики, EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики, 61: 197–278, Дои:10.2307/1969915, МИСТЕР  0068874

внешняя ссылка

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
• Часть V Вакил, Рави, Восходящее море