Третья проблема Гильберта - Hilberts third problem - Wikipedia

Третий из Список математических проблем Гильберта, представленная в 1900 году, была решена первой. Проблема связана со следующим вопросом: при любых двух многогранники равных объем, всегда ли возможно разрезать первое на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую? Основываясь на более ранних работах Гаусс,^[1] Гильберт предположил, что это не всегда возможно. Это было подтверждено в течение года его учеником. Макс Ден, который доказал, что в целом ответ отрицательный, приведя контрпример.^[2]

Ответ на аналогичный вопрос о полигоны в 2-х измерениях это «да» и было известно давно; это Теорема Уоллеса – Больяи – Гервиена..

Неизвестная Гильберту и Дену, третья задача Гильберта была также независимо предложена Владиславом Кретковским на математическом конкурсе 1882 года Академией художеств и наук им. Краков, и было решено Людвик Антони Биркенмайер с другим методом, чем Ден. Биркенмайер не опубликовал результат, а оригинальная рукопись, содержащая его решение, была обнаружена повторно спустя годы.^[3]

История и мотивация

Формула объема пирамида,

{ displaystyle { frac {{ text {base area}} times { text {height}}} {3}},}

был известен Евклид, но все доказательства этого включают некоторую форму ограничивающий процесс или же исчисление, в частности метод истощения или, в более современной форме, Принцип Кавальери. Подобные формулы в плоской геометрии могут быть доказаны более элементарными средствами. Гаусс сожалел об этом недостатке в двух своих письмах к Кристиан Людвиг Герлинг, который доказал, что два симметричных тетраэдра являются равносоставимый.^[3]

Письма Гаусса послужили мотивацией для Гильберта: можно ли доказать равенство объема элементарными методами «разрезания и склеивания»? Ведь если нет, то элементарное доказательство результата Евклида также невозможно.

Ответ Дена

Доказательство Дена - это случай, когда абстрактная алгебра используется для доказательства невозможности привести геометрия. Другие примеры: удвоение куба и трисекция угла.

Два многогранника называются ножницы-конгруэнтные если первый можно разрезать на конечное число многогранных частей, которые можно собрать заново, чтобы получить вторую. Любые два равных ножницам многогранника имеют одинаковый объем. Гильберт спрашивает о разговаривать.

Для каждого многогранника п, Ден определяет значение, теперь известное как Инвариант Дена D (п) со следующим свойством:

Если п разрезан на две многогранные части п₁ и п₂ с одним плоским разрезом, то D (п) = D (п₁) + D (п₂).

Из этого следует

Если п разрезан на п многогранные части п₁,...,п_п, то D (п) = D (п₁) + ... + D (п_п)

и в частности

Если два многогранника конгруэнтны ножницам, то они имеют один и тот же инвариант Дена.

Затем он показывает, что каждый куб имеет нулевой инвариант Дена, в то время как каждый регулярный тетраэдр имеет ненулевой инвариант Дена. Это решает вопрос.

Инвариант многогранника определяется на основе длин его ребер и углов между его гранями. Обратите внимание, что если многогранник разрезан на две части, некоторые ребра разрезаются на две части, и поэтому соответствующие вклады в инварианты Дена должны быть аддитивными в длинах ребер. Аналогично, если многогранник разрезан по ребру, соответствующий угол разрезается пополам. Однако при обычном разрезании многогранника появляются новые грани и углы; мы должны убедиться, что их вклады сокращаются. Два введенных угла всегда будут в сумме $π$ ; поэтому мы определяем наш инвариант Дена так, чтобы углы, кратные $π$ дают нулевой чистый вклад.

Все вышеперечисленные требования могут быть выполнены, если мы определим D (п) как элемент тензорное произведение из действительные числа р и факторное пространство р/(Q $π$ ), в котором все рациональные кратные $π$ равны нулю. Для наших целей достаточно рассматривать это как тензорное произведение Z-модули (или, что то же самое, абелевых групп). Однако более трудное доказательство обратного (см. Ниже) использует векторное пространство структура: Поскольку оба фактора являются векторными пространствами над Qтензорное произведение можно взять за Q.

Позволять ℓ(е) - длина ребра е и θ (е) быть двугранный угол между двумя лицами, встречающимися в е, измеряется в радианы. Тогда инвариант Дена определяется как

{ displaystyle operatorname {D} (P) = sum _ {e} ell (e) otimes ( theta (e) + mathbb {Q} pi)}

где сумма берется по всем ребрам е многогранника п. Это оценка.

Дальнейшая информация

В свете приведенной выше теоремы Дена можно спросить, "какие многогранники конгруэнтны ножницам"? Сидлер (1965) показали, что два многогранника конгруэнтны ножницам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый объем и один и тот же инвариант Дена.^[4] Бёрге Йессен позже результаты Сидлера расширились до четырех измерений.^{[нужна цитата ]} В 1990 году Дюпон и Сах представили более простое доказательство результата Сидлера, переосмыслив его как теорему о гомология определенных классические группы.^[5]

Дебруннер показал в 1980 году, что инвариант Дена любого многогранника, с которым все трехмерное пространство возможно выложенный плиткой периодически равен нулю.^[6]

Нерешенная проблема в математике:

В сферической или гиперболической геометрии должны ли многогранники с одинаковым объемом и инвариантом Дена быть конгруэнтными по ножницам?

(больше нерешенных задач по математике)

Джессен также поставил вопрос о том, сохраняется ли аналог результатов Джессена для сферическая геометрия и гиперболическая геометрия. В этих геометриях продолжает работать метод Дена и показывает, что, когда два многогранника конгруэнтны ножницами, их инварианты Дена равны. Тем не менее, он остается открытая проблема всегда ли пары многогранников с одинаковым объемом и одним и тем же инвариантом Дена в этих геометриях конгруэнтны по принципу ножниц.^[7]

Исходный вопрос

Первоначальный вопрос Гильберта был более сложным: при любых двух тетраэдры Т₁ и Т₂ с равной площадью основания и равной высотой (и, следовательно, равным объемом) всегда можно найти конечное число тетраэдров, так что, когда эти тетраэдры каким-либо образом склеены с Т₁ а также приклеен к Т₂, получившиеся многогранники равны ножницам?

Инвариант Дена можно использовать для отрицательного ответа и на этот более сильный вопрос.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Бенко, Д. (2007). «Новый подход к третьей проблеме Гильберта». Американский математический ежемесячник. 114 (8): 665–676. Дои:10.1080/00029890.2007.11920458.
Шварц, Рич (2010). «Объяснение теоремы Дена – Сидлера» (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
Кодзи, Сига; Тошиказу Сунада (2005). Математический дар, III: Взаимодействие топологии, функций, геометрии и алгебры. Американское математическое общество.

внешняя ссылка

Доказательство теоремы Дена во всем2
Вайсштейн, Эрик В. «Инвариант Дена». MathWorld.
Ден инвариантен во всем2
Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Инвариант Дена», Энциклопедия математики, EMS Press

[1] Карл Фридрих Гаусс: Werke, т. 8. С. 241 и 244.

[2] Ден, Макс (1901). "Ueber den Rauminhalt" (PDF). Mathematische Annalen. 55 (3): 465–478. Дои:10.1007 / BF01448001.

[:0-3] а ^б Цесельска, Данута; Цесельский, Кшиштоф (2018-05-29). "Равноразложимость многогранников: решение третьей проблемы Гильберта в Кракове до ICM 1900". Математический интеллект. 40 (2): 55–63. Дои:10.1007 / s00283-017-9748-4. ISSN 0343-6993.

[4] Сидлер, Ж.-П. (1965). "Условия, необходимые для обеспечения эквивалентности многоплановых пространств евклидийского пространства трех измерений". Комментарий. Математика. Helv. 40: 43–80. Дои:10.1007 / bf02564364.

[5] Дюпон, Йохан; Сах, Чих-Хан (1990). «Гомологии евклидовых групп движений, сделанных дискретными, и конгруэнции евклидовых ножниц». Acta Math. 164 (1–2): 1–27. Дои:10.1007 / BF02392750.

[6] Дебруннер, Ханс Э. (1980). "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln". Arch. Математика. 35 (6): 583–587. Дои:10.1007 / BF01235384.

[7] Дюпон, Йохан Л. (2001), Ножничные сравнения, групповые гомологии и характеристические классы, Нанкайские трактаты по математике, 1, World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, стр. 6, Дои:10.1142/9789812810335, ISBN 978-981-02-4507-8, МИСТЕР 1832859, заархивировано из оригинал на 2016-04-29.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]