N-сфера - N-sphere

2-сферический каркас как ортогональная проекция

Так же, как стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, он также может проецировать 3-сферу в 3-пространство. На этом изображении показаны три координатных направления, спроецированных в 3-мерное пространство: параллели (красные), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый). Из-за конформный Свойство стереографической проекции, кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой окружности: кривые, пересекающие точки ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

В математика, п-сфера это топологическое пространство то есть гомеоморфный к стандарт п-сфера, который представляет собой множество точек в (п + 1)-размерный Евклидово пространство которые расположены на постоянном расстоянии р из фиксированной точки, называемой центр. Это обобщение обычного сфера в обычном трехмерное пространство. «Радиус» сферы - это постоянное расстояние от ее точек до центра. Когда сфера имеет единичный радиус, ее обычно называют Единица п-сфера или просто то п-сфера для краткости. Что касается стандартной нормы, то п-сфера определяется как

${displaystyle S ^ {n} = left {xin mathbf {R} ^ {n + 1}: left | xight | = 1ight},}$

и п-сфера радиуса р можно определить как

${displaystyle S ^ {n} (r) = left {xin mathbf {R} ^ {n + 1}: left | xight | = right}.}$

0-сфера - это пара точек на прямой, 1-сфера - это круг на плоскости, а 2-сфера - это обычная сфера в трехмерном пространстве.

Размер п-сфера есть п, и его не следует путать с размером (п + 1) евклидова пространства, в котором естественно встроенный. An п-сфера - это поверхность или граница (п + 1)-размерный мяч.

Особенно:

• пара точек на концах (одномерного) отрезок 0-сфера,
• а круг, которая является одномерной окружностью (двумерной) диск, является 1-сферой,
• Двумерная поверхность (трехмерного) шара в трехмерном пространстве представляет собой двумерную сферу, которую часто называют просто сферой,
• трехмерный граница (четырехмерного) 4-шара в четырехмерном евклидовом пространстве является 3-сфера, также известный как клубок.
• то п – 1 размерная граница a (п-размерный) п-бол - это (п – 1)-сфера.

За п ≥ 2, то п-сферы, которые дифференциальные многообразия можно охарактеризовать (вплоть до а диффеоморфизм ) как односвязный п-размерный коллекторы постоянного, положительного кривизна. В п-сферы допускают несколько других топологических описаний: например, они могут быть построены путем склеивания двух п-мерные евклидовы пространства вместе, отождествляя границу п-куб с точкой или (индуктивно) путем формирования приостановка из (п − 1)-сфера. 1-сфера - это 1-многообразие, представляющее собой не односвязную окружность. 0-сфера - это 0-многообразие, состоящее из двух точек, которое даже не связано.

Описание

Для любого натуральное число п, п-сфера радиуса р определяется как множество точек в (п + 1)-размерный Евклидово пространство что на расстоянии р с некоторой фиксированной точки c, куда р может быть любой положительный настоящий номер и где c может быть любой момент в (п + 1)-мерное пространство. Особенно:

• 0-сфера - это пара точек {c − р, c + р}, и является границей отрезка прямой (1-шар).
• а 1-сфера это круг радиуса р сосредоточен на c, и - граница диска (2-шара).
• а 2-сфера является обычным двумерным сфера в 3-мерном евклидовом пространстве и является границей обычного шара (3-шара).
• а 3-сфера является 3-мерной сферой в 4-мерном евклидовом пространстве.

Евклидовы координаты в (п + 1)-Космос

Набор точек в (п + 1)-Космос, (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п+1), которые определяют п-сфера, ${displaystyle S ^ {n} (r)}$, представляется уравнением:

${displaystyle r ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n + 1} left (x_ {i} -c_ {i} ight) ^ {2},}$

куда c = (c₁, c₂, ..., c_п+1) это центральная точка, а р это радиус.

Вышесказанное п-сфера существует в (п + 1)-мерное евклидово пространство и является примером п-многообразие. В объемная форма ω из п-сфера радиуса р дан кем-то

${displaystyle omega = {frac {1} {r}} sum _ {j = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {j-1} x_ {j}, dx_ {1} клин cdots клин dx_ { j-1} клин dx_ {j + 1} клин cdots клин dx_ {n + 1} = * dr}$

куда ∗ это Звездный оператор Ходжа; видеть Фландрия (1989 г., §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае р = 1. Как результат,

${displaystyle drwedge omega = dx_ {1} клин cdots клин dx_ {n + 1}.}$

п-мяч

Пространство, окруженное п-сфера называется (п + 1)-мяч. An (п + 1)-бол закрыто если он включает п-сфера, и это открыто если он не включает п-сфера.

Конкретно:

• А 1-мяч, а отрезок, является внутренностью 0-сферы.
• А 2-мяч, а диск, это интерьер круг (1-сфера).
• А 3-мяч, обычный мяч, это интерьер сфера (2-сфера).
• А 4-мяч это интерьер 3-сфера, так далее.

Топологическое описание

Топологически, п-сфера может быть построена как одноточечная компактификация из п-мерное евклидово пространство. Вкратце, п-сферу можно описать как S^п = р^п ∪ {∞}, который п-мерное евклидово пространство плюс одна точка, представляющая бесконечность во всех направлениях, в частности, если одна точка удалена из п-сфера, становится гомеоморфный к р^п. Это составляет основу стереографическая проекция.^[1]

Объем и площадь поверхности

Графики тома  (V) и площади поверхности  (S) из п-мячи радиуса 1. В файл SVG, наведите указатель мыши на точку, чтобы выделить ее и ее значение.

Теоретически можно было бы сравнить значения S_п(р) и S_м(р) за п ≠ м. Однако это четко не определено. Например, если п = 2 и м = 3 тогда сравнение похоже на сравнение количества квадратных метров с другим количеством кубических метров. То же самое относится и к сравнению V_п(р) и V_м(р) за п ≠ м.

Примеры

0-шар состоит из одной точки. 0-мерный Мера Хаусдорфа количество точек в наборе. Так,

${displaystyle V_ {0} = 1.}$

0-сфера состоит из двух конечных точек, {−1,1}. Так,

${displaystyle S_ {0} = 2.}$

Единица 1-мяч - это интервал [−1,1] длины 2. Итак,

${displaystyle V_ {1} = 2.}$

Единичная 1-сфера - это единичный круг на евклидовой плоскости, и у него есть окружность (одномерная мера)

${displaystyle S_ {1} = 2pi.}$

Область, ограниченная единичной 1-сферой, - это 2-шар, или единичный диск, и у него есть площадь (двумерная мера)

${displaystyle V_ {2} = pi.}$

Аналогично, в 3-мерном евклидовом пространстве площадь поверхности (2-мерная мера) единичной 2-сферы определяется выражением

${displaystyle S_ {2} = 4pi.}$

а прилагаемый объем - это объем (трехмерная мера) единичного 3-шара, определяемый формулой

${displaystyle V_ {3} = {frac {4} {3}} pi.}$

Рецидивы

В площадь поверхности, или правильно п-размерный объем, п-сфера на границе (п + 1)-шар радиуса р связана с объемом шара дифференциальным уравнением

${Displaystyle S_ {n} R ^ {n} = {гидроразрыв {dV_ {n + 1} R ^ {n + 1}} {dR}} = {(n + 1) V_ {n + 1} R ^ {n }},}$

или, что то же самое, представляя единицу п-шар как объединение концентрических (п − 1)-сфера снаряды,

${displaystyle V_ {n + 1} = int _ {0} ^ {1} S_ {n} r ^ {n}, доктор}$

Так,

${displaystyle V_ {n + 1} = {frac {S_ {n}} {n + 1}}.}$

Мы также можем представить единицу (п + 2)-сфера как союз тори, каждое произведение круга (1-сферы) с п-сфера. Позволять р = cos θ и р² + р² = 1, так что р = грех θ и dR = cos θ dθ. Потом,

${displaystyle {egin {align} S_ {n + 2} & = int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} S_ {1} rcdot S_ {n} R ^ {n}, d heta [6pt ] & = int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} S_ {1} cdot S_ {n} R ^ {n} cos heta, d heta [6pt] & = int _ {0} ^ { 1} S_ {1} cdot S_ {n} R ^ {n}, dR [6pt] & = S_ {1} int _ {0} ^ {1} S_ {n} R ^ {n}, dR [ 6pt] & = 2pi V_ {n + 1} .end {выровнено}}}$

С S₁ = 2π V₀, уравнение

${displaystyle S_ {n + 1} = 2pi V_ {n}}$

относится ко всем п.

На этом вывод повторений завершен:

${displaystyle {egin {align} V_ {0} & = 1 & V_ {n + 1} & = {frac {S_ {n}} {n + 1}} [6pt] S_ {0} & = 2 & S_ {n + 1) } & = 2pi V_ {n} конец {выровнено}}}$

Закрытые формы

Комбинируя повторения, мы видим, что

${displaystyle V_ {n + 2} = 2pi {frac {V_ {n}} {n + 2}}.}$

Поэтому индукцией по k который,

${displaystyle {egin {align} V_ {2k} & = {frac {left (2pi ight) ^ {k}} {(2k) !!}} = {frac {pi ^ {k}} {k!}} [6pt] V_ {2k + 1} & = {frac {2left (2pi ight) ^ {k}} {(2k + 1) !!}} = {frac {2k! Left (4pi ight) ^ {k}} {(2k + 1)!}} Конец {выровнен}}}$

куда !! обозначает двойной факториал, определенная для нечетных натуральных чисел 2k + 1 к (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) и аналогично для четных чисел (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).

В целом объем, в п-мерное евклидово пространство единицы п-бол, дается

${displaystyle V_ {n} = {frac {pi ^ {frac {n} {2}}} {Гамма слева ({frac {n} {2}} + 1ight)}} = {frac {pi ^ {frac {n } {2}}} {left ({frac {n} {2}} ight)!}}}$

куда Γ это гамма-функция, что удовлетворяет Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, и Γ(Икс + 1) = xΓ(Икс), и так Γ(Икс + 1) = Икс!, и где мы, наоборот, определяем x! знак равно Γ(Икс + 1) для любого x.

Умножая V_п к р^п, дифференцируя по р, а затем установив р = 1, получаем закрытую форму

${displaystyle S_ {n-1} = {frac {npi ^ {frac {n} {2}}} {Гамма слева ({frac {n} {2}} + 1ight)}} = {frac {2pi ^ {frac {n} {2}}} {Гамма слева ({frac {n} {2}} ight)}}.}$

для (n-1) -мерного объема сферы S^п-1.

Прочие отношения

Повторения можно комбинировать, чтобы получить соотношение повторяемости "в обратном направлении" для площади поверхности, как показано на диаграмме:

${displaystyle S_ {n-1} = {frac {n} {2pi}} S_ {n + 1}}$

п относится к измерению внешнего евклидова пространства, которое также является внутренним измерением твердого тела, объем которого указан здесь, но который на 1 больше внутреннего измерения сферы, площадь поверхности которой указана здесь. Изогнутые красные стрелки показывают взаимосвязь между формулами для разных п. Коэффициент формулы на конце каждой стрелки равен коэффициенту формулы на конце этой стрелки, умноженному на множитель в наконечнике стрелки (где п в стрелке относится к п значение, на которое указывает стрелка). Если бы направление нижних стрелок было изменено на противоположное, их наконечники сказали бы умножить на 2π/п − 2. Как вариант, площадь поверхности S_п+1 сферы в п + 2 размеры точно 2πр умножить на объем V_п окруженный сферой в п размеры.

Сдвиг индекса п к п − 2 то дает рекуррентные соотношения:

${displaystyle {egin {выравнивается} V_ {n} & = {frac {2pi} {n}} V_ {n-2} [6pt] S_ {n-1} & = {frac {2pi} {n-2} } S_ {n-3} конец {выровнено}}}$

куда S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2π и V₂ = π.

Рекуррентное соотношение для V_п также можно доказать с помощью интеграция с 2-мерным полярные координаты:

${displaystyle {egin {align} V_ {n} & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {2pi} V_ {n-2} left ({sqrt {1-r ^ {2}}) } ight) ^ {n-2}, r, d heta, dr [6pt] & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {2pi} V_ {n-2} left (1- r ^ {2} ight) ^ {{frac {n} {2}} - 1}, r, d heta, dr [6pt] & = 2pi V_ {n-2} int _ {0} ^ {1} left (1-r ^ {2} ight) ^ {{frac {n} {2}} - 1}, r, dr [6pt] & = 2pi V_ {n-2} left [- {frac {1}] {n}} влево (1-r ^ {2} ight) ^ {frac {n} {2}} ight] _ {r = 0} ^ {r = 1} [6pt] & = 2pi V_ {n- 2} {frac {1} {n}} = {frac {2pi} {n}} V_ {n-2} .end {выровнено}}}$

Сферические координаты

Мы можем определить систему координат в п-мерное евклидово пространство, аналогичное пространству сферическая система координат определен для 3-мерного евклидова пространства, в котором координаты состоят из радиальной координаты р, и п − 1 угловые координаты φ₁, φ₂, ... φ_п−1, где углы φ₁, φ₂, ... φ_п−2 диапазон более [0, π] радианы (или более [0,180] градусов) и φ_п−1 колеблется над [0,2π) радианы (или более [0,360) градусов). Если Икс_я являются декартовыми координатами, то мы можем вычислить Икс₁, ... Икс_п из р, φ₁, ... φ_п−1 с: ^[2]

${displaystyle {egin {align} x_ {1} & = rcos (varphi _ {1}) x_ {2} & = rsin (varphi _ {1}) cos (varphi _ {2}) x_ {3} & = rsin (varphi _ {1}) sin (varphi _ {2}) cos (varphi _ {3}) & vdots x_ {n-1} & = rsin (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ { n-2}) cos (varphi _ {n-1}) x_ {n} & = rsin (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ {n-2}) sin (varphi _ {n-1} ) .end {выровнено}}}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

${displaystyle {egin {align} r & = {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + cdots + {x_ {2}} ^ {2} + { x_ {1}} ^ {2}}} [6pt] varphi _ {1} & = имя оператора {arccot} {frac {x_ {1}} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + cdots + {x_ {2}} ^ {2}}}} && = arccos {frac {x_ {1}} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + cdots + {x_ {1}} ^ {2}}}} [6pt] varphi _ {2} & = operatorname {arccot} {frac {x_ {2} }} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + cdots + {x_ {3}} ^ {2}}}} && = arccos {frac { x_ {2}} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + cdots + {x_ {2}} ^ {2}}}} [6pt ] & vdots && vdots [6pt] varphi _ {n-2} & = operatorname {arccot} {frac {x_ {n-2}} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1) }} ^ {2}}}} && = arccos {frac {x_ {n-2}} {sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + { x_ {n-2}} ^ {2}}}} [6pt] varphi _ {n-1} & = 2operatorname {arccot} {frac {x_ {n-1} + {sqrt {x_ {n} ^ { 2} + x_ {n-1} ^ {2}}}} {x_ {n}}} && = {egin {case} arccos {frac {x_ {n-1}} {sqrt {{x_ {n}}) ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2}}}} & x_ {n} geq 0 [6pt] 2pi -arccos {frac {x_ {n-1}} {sqrt {{x_ {n) }} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2}}}} & x_ {n} <0end {case}} ,. end {align}}}$

где если Икс_k ≠ 0 для некоторых k но все Икс_k+1, ... Икс_п равны нулю, тогда φ_k = 0 когда Икс_k > 0, и φ_k = π (180 градусов) когда Икс_k < 0.

Есть некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не уникально; φ_k для любого k будет неоднозначным, когда все Икс_k, Икс_k+1, ... Икс_п равны нулю; в этом случае φ_k может быть выбрано равным нулю.

Сферические элементы объема и площади

Чтобы выразить элемент объема из п-мерное евклидово пространство в сферических координатах, сначала заметим, что Матрица якобиана трансформации:

${displaystyle J_ {n} = {egin {pmatrix} cos (varphi _ {1}) & - rsin (varphi _ {1}) & 0 & 0 & cdots & 0 sin (varphi _ {1}) cos (varphi _ {2}) & rcos (varphi _ {1}) cos (varphi _ {2}) & - rsin (varphi _ {1}) sin (varphi _ {2}) & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots && vdots &&&&& 0 sin (varphi _ {1 }) cdots sin (varphi _ {n-2}) cos (varphi _ {n-1}) & cdots & cdots &&& - rsin (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ {n-2}) sin (varphi _ {n-1}) sin (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ {n-2}) sin (varphi _ {n-1}) & rcos (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ { n-1}) & cdots &&& rsin (varphi _ {1}) cdots sin (varphi _ {n-2}) cos (varphi _ {n-1}) end {pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда п = 2, простое вычисление показывает, что определитель р. Для большего п, обратите внимание, что J_п может быть построен из J_{п − 1} следующее. Кроме столбца п, ряды п − 1 и п из J_п такие же, как строка п − 1 из J_{п − 1}, но умноженное на дополнительный коэффициент cos φ_{п − 1} в ряд п − 1 и дополнительный фактор грех φ_{п − 1} в ряд п. В столбце п, ряды п − 1 и п из J_п такие же, как столбец п − 1 ряда п − 1 из J_{п − 1}, но умноженное на дополнительные факторы грех φ_{п − 1} в ряд п − 1 и cos φ_{п − 1} в ряд п, соответственно. Определитель J_п можно рассчитать по Разложение лапласа в последнем столбце. Рекурсивным описанием J_п, подматрица, образованная удалением записи в (п − 1, п) а его строка и столбец почти равны J_{п − 1}, за исключением того, что его последняя строка умножается на грех φ_{п − 1}. Точно так же подматрица, образованная удалением записи в (п, п) а его строка и столбец почти равны J_{п − 1}, за исключением того, что его последняя строка умножается на cos φ_{п − 1}. Следовательно, определитель J_п является

${displaystyle {egin {выравнивается} | J_ {n} | & = (- 1) ^ {(n-1) + n} (- rsin (varphi _ {1}) dotsm sin (varphi _ {n-2}) sin (varphi _ {n-1})) (sin (varphi _ {n-1}) | J_ {n-1} |) & qquad {} + (- 1) ^ {n + n} (rsin (varphi _ {1}) dotsm sin (varphi _ {n-2}) cos (varphi _ {n-1})) (cos (varphi _ {n-1}) | J_ {n-1} |) & = (rsin (varphi _ {1}) dotsm sin (varphi _ {n-2}) | J_ {n-1} | (sin ^ {2} (varphi _ {n-1}) + cos ^ {2} ( varphi _ {n-1})) & = (rsin (varphi _ {1}) dotsm sin (varphi _ {n-2}) | J_ {n-1} | .end {выровнено}}}$

Затем индукция дает выражение в замкнутой форме для элемента объема в сферических координатах

${displaystyle {egin {выравнивание} d ^ {n} V & = left | det {frac {partial (x_ {i})} {partial left (r, varphi _ {j} ight)}} ight | dr, dvarphi _ { 1}, dvarphi _ {2} cdots dvarphi _ {n-1} & = r ^ {n-1} sin ^ {n-2} (varphi _ {1}) sin ^ {n-3} (varphi _ {2}) cdots sin (varphi _ {n-2}), dr, dvarphi _ {1}, dvarphi _ {2} cdots dvarphi _ {n-1} .end {выровнено}}}$

Формула объема п-ball может быть получен из этого путем интеграции.

Аналогично элемент площади поверхности (п − 1)-сфера радиуса р, который обобщает элемент площади 2-сферы, определяется выражением

${displaystyle d_ {S ^ {n-1}} V = R ^ {n-1} sin ^ {n-2} (varphi _ {1}) sin ^ {n-3} (varphi _ {2}) cdots sin (varphi _ {n-2}), dvarphi _ {1}, dvarphi _ {2} cdots dvarphi _ {n-1}.}$

Естественный выбор ортогонального базиса по угловым координатам - это произведение ультрасферические полиномы,

${displaystyle {egin {align} & {} quad int _ {0} ^ {pi} sin ^ {nj-1} left (varphi _ {j} ight) C_ {s} ^ {left ({frac {nj-1 } {2}} ight)} cos left (varphi _ {j} ight) C_ {s '} ^ {left ({frac {nj-1} {2}} ight)} cos left (varphi _ {j} ight ), dvarphi _ {j} [6pt] & = {frac {2 ^ {3-n + j} pi Gamma (s + nj-1)} {s! (2s + nj-1) Gamma ^ {2} left ({frac {nj-1} {2}} ight)}} delta _ {s, s '} конец {выровнено}}}$

за j = 1, 2,... п − 2, а е^isφ_j для угла j = п − 1 в соответствии с сферические гармоники.

Полисферические координаты

Стандартная сферическая система координат возникает из записи р^п как продукт р × р^{п − 1}. Эти два фактора могут быть связаны с использованием полярных координат. Для каждой точки Икс из р^п, стандартные декартовы координаты

${displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, dots, x_ {n}) = (y_ {1}, z_ {1}, dots, z_ {n-1}) = (mathbf {y}, mathbf { z})}$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

${displaystyle mathbf {x} = (rcos heta, (rsin heta) mathbf {z}).}$

Это говорит о том, что указывает на р^п можно выразить, взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через z ∈ р^{п − 1}, повернув его к первому базисному вектору на θ, и путешествуя на расстояние р по лучу. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат.

Полисферические системы координат возникают в результате обобщения этой конструкции.^[3] Космос р^п разбивается как произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно пространство не обязательно должно быть линией. В частности, предположим, что п и q натуральные числа такие, что п = п + q. потом р^п = р^п × р^q. Используя это разложение, точка Икс ∈ р^п можно записать как

${displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, dots, x_ {n}) = (y_ {1}, dots, y_ {p}, z_ {1}, dots, z_ {q}) = (mathbf { y}, mathbf {z}).}$

Это можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, записав:

${displaystyle mathbf {x} = ((rsin heta) {hat {mathbf {y}}}, (rcos heta) {hat {mathbf {z}}}).}$

Здесь ${Displaystyle {шляпа {mathbf {y}}}}$ и ${displaystyle {шляпа {mathbf {z}}}}$ единичные векторы, связанные с у и z. Это выражает Икс с точки зрения ${displaystyle {hat {mathbf {y}}} в S ^ {p-1}}$, ${displaystyle {hat {mathbf {z}}} в S ^ {q-1}}$, р ≥ 0, а угол θ. Можно показать, что область θ является [0, 2π) если п = q = 1, [0, π] если ровно один из п и q равно 1, а [0, π / 2] если ни один п ни q равны 1. Обратное преобразование

${displaystyle {egin {выравнивается} r & = lVert mathbf {x} Vert, heta & = arcsin (lVert mathbf {y} Vert / lVert mathbf {x} Vert) & = arccos (lVert mathbf {z} Vert / lVert mathbf {x} Vert) & = arctan (lVert mathbf {y} Vert / lVert mathbf {z} Vert) .end {выровнено}}}$

Эти расщепления могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. А полисферическая система координат является результатом повторения этих разбиений до тех пор, пока не останется декартовых координат. Расщепления после первого не требуют радиальной координаты, потому что области ${Displaystyle {шляпа {mathbf {y}}}}$ и ${displaystyle {шляпа {mathbf {z}}}}$ являются сферами, поэтому координаты полисферической системы координат являются неотрицательным радиусом и п − 1 углы. Возможные полисферические системы координат соответствуют бинарным деревьям с п листья. Каждый нелистовой узел в дереве соответствует разбиению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет р^п, и его непосредственные дочерние элементы представляют собой первое разделение на р^п и р^q. Узлы листа соответствуют декартовым координатам для S^{п − 1}. Формулы для преобразования полисферических координат в декартовы координаты могут быть определены путем нахождения путей от корневых узлов к листовым. Эти формулы представляют собой произведения с одним фактором для каждой ветви пути. Для узла, соответствующая угловая координата которого равна θ_я, переход в левую ветвь вводит множитель грех θ_я и переход по правой ветви вводит фактор cos θ_я. Обратное преобразование из полисферических координат в декартовы координаты определяется группировкой узлов. Каждую пару узлов, имеющих общего родителя, можно преобразовать из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат, используя приведенные выше формулы для разделения.

Полисферические координаты также имеют интерпретацию с точки зрения специальная ортогональная группа. Расщепление р^п = р^п × р^q определяет подгруппу

${displaystyle operatorname {SO} _ {p} (mathbf {R}) imes operatorname {SO} _ {q} (mathbf {R}) substeq operatorname {SO} _ {n} (mathbf {R}).}$

Это подгруппа, которая оставляет каждый из двух факторов ${displaystyle S ^ {p-1} imes S ^ {q-1} subteq S ^ {n-1}}$ фиксированный. Выбор набора представителей смежного класса для частного - это то же самое, что выбор представительных углов для этого шага разложения полисферических координат.

В полисферических координатах измерение объема на р^п и мера площади на S^{п − 1} продукты. Для каждого угла используется один коэффициент, и мера объема на р^п также имеет коэффициент для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

${displaystyle dA_ {n-1} = prod _ {i = 1} ^ {n-1} F_ {i} (heta _ {i}), d heta _ {i},}$

где факторы F_я определяются деревом. Точно так же мера объема

${displaystyle dV_ {n} = r ^ {n-1}, dr, prod _ {i = 1} ^ {n-1} F_ {i} (heta _ {i}), d heta _ {i}.}$

Предположим, у нас есть узел дерева, соответствующий разложению р^{п₁ + п₂} = р^п₁ × р^п₂ и это имеет угловую координату θ. Соответствующий фактор F зависит от значений п₁ и п₂. Когда мера площади нормализована так, что площадь сферы равна 1, эти коэффициенты следующие. Если п₁ = п₂ = 1, тогда

${displaystyle F (heta) = {frac {d heta} {2pi}}.}$

Если п₁ > 1 и п₂ = 1, и если B обозначает бета-функция, тогда

${displaystyle F (heta) = {frac {sin ^ {n_ {1} -1} heta} {mathrm {B} ({frac {n_ {1}} {2}}, {frac {1} {2}}) )}}, d heta.}$

Если п₁ = 1 и п₂ > 1, тогда

${displaystyle F (heta) = {frac {cos ^ {n_ {2} -1} heta} {mathrm {B} ({frac {1} {2}}, {frac {n_ {2}} {2}}) )}}, d heta.}$

Наконец, если оба п₁ и п₂ больше единицы, то

${displaystyle F (heta) = {frac {(sin ^ {n_ {1} -1} heta) (cos ^ {n_ {2} -1} heta)} {{frac {1} {2}} mathrm {B } ({frac {n_ {1}} {2}}, {frac {n_ {2}} {2}})}}, d heta.}$

Стереографическая проекция

Точно так же, как двумерная сфера, встроенная в три измерения, может быть отображена на двумерной плоскости с помощью стереографическая проекция, п-сфера может быть нанесена на карту п-мерная гиперплоскость п-мерный вариант стереографической проекции. Например, точка [Икс,у,z] на двумерной сфере радиуса 1 отображается в точку [Икс/1 − z,у/1 − z] на ху-самолет. Другими словами,

${displaystyle [x, y, z] mapsto left [{frac {x} {1-z}}, {frac {y} {1-z}} ight].}$

Точно так же стереографическая проекция п-сфера S^п−1 радиуса 1 будет отображаться в (п − 1)-мерная гиперплоскость р^п−1 перпендикулярно к Икс_п-ось как

${displaystyle [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}] карты слева [{frac {x_ {1}} {1-x_ {n}}}, {frac {x_ {2}} { 1-x_ {n}}}, ldots, {frac {x_ {n-1}} {1-x_ {n}}} ight].}$

Генерация случайных точек

Равномерно случайным образом на (п − 1)-сфера

Набор равномерно распределенных точек на поверхности единичной 2-сферы, созданный с помощью алгоритма Марсалья.

Для создания равномерно распределенных случайных точек на устройстве (п − 1)-сфера (то есть поверхность агрегата п-мяч), Марсалья (1972) дает следующий алгоритм.

Создать п-мерный вектор нормальные отклонения (достаточно использовать N (0, 1), хотя на самом деле выбор дисперсии произвольный), Икс = (Икс₁, Икс₂,... Икс_п). Теперь вычислим «радиус» этой точки:

${displaystyle r = {sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}$

Вектор 1/рИкс равномерно распределяется по поверхности агрегата п-мяч.

Альтернатива, предложенная Марсалья, - равномерно случайным образом выбрать точку Икс = (Икс₁, Икс₂,... Икс_п) в блоке п-куб путем отбора проб каждого Икс_я независимо от равномерное распределение над (–1,1), вычисление р как указано выше, и отклонение точки и повторная выборка, если р ≥ 1 (т.е. если точка не в п-бол), и когда в мяч получается точка, масштабируя его до сферической поверхности с коэффициентом 1/р; затем снова 1/рИкс равномерно распределяется по поверхности агрегата п-мяч. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, поскольку исчезающе малая часть единичного куба содержится в сфере. В десяти измерениях сферой заполнено менее 2% куба, поэтому обычно требуется более 50 попыток. В семидесяти измерениях меньше, чем ${displaystyle 10 ^ {- 24}}$ куба заполнены, а это означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов испытаний, что намного больше, чем компьютер может когда-либо выполнить.

Равномерно случайным образом в пределах п-мяч

С точкой, выбранной равномерно и случайным образом с поверхности устройства (п - 1)-сфера (например, при использовании алгоритма Марсальи), требуется только радиус, чтобы получить точку равномерно и случайным образом изнутри единицы п-мяч. Если ты - число, генерируемое равномерно случайным образом из интервала [0, 1] и Икс - точка, выбранная равномерно случайным образом из единицы (п - 1)-сфера, тогда ты^​1⁄_пИкс равномерно распределен внутри блока п-мяч.

В качестве альтернативы, точки могут быть отобраны равномерно внутри блока. п-мяч уменьшением от единицы (п + 1)-сфера. В частности, если (Икс₁,Икс₂,...,Икс_п+2) - точка, равномерно выбранная из единицы (п + 1)-сфера, тогда (Икс₁,Икс₂,...,Икс_п) равномерно распределен внутри блока п-ball (то есть просто отбрасывая две координаты).^[4]

Если п достаточно большой, большая часть объема п-шар будет находиться в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, вероятно, также будет близко к поверхности. Это одно из явлений, приводящих к так называемой проклятие размерности это возникает в некоторых числовых и других приложениях.

Конкретные сферы

0-сфера

Пара точек {±р} с дискретной топологией для некоторых р > 0. Единственная сфера, которой нет соединенный путём. Имеет естественную структуру группы Ли; изоморфна O (1). Возможность распараллеливания.

1-сфера

Также известен как круг. Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U (1); то круговая группа. Топологически эквивалентен реальная проективная линия, рп¹. Возможность распараллеливания. SO (2) = U (1).

2-сфера

Также известен как сфера. Сложная структура; видеть Сфера Римана. Эквивалентно сложная проективная линия, Cп¹. SO (3) / SO (2).

3-сфера

Также известен как клубок. Параллелизируемый, главный U (1) -бандл над 2-сфера, структура группы Ли Sp (1), где также

${displaystyle mathrm {Sp} (1) cong mathrm {SO} (4) / mathrm {SO} (3) cong mathrm {SU} (2) cong mathrm {Spin} (3)}$.

4-сфера

Эквивалентно кватернионная проективная линия, ЧАСп¹. SO (5) / SO (4).

5-сфера

Главный U (1) -бандл над Cп². SO (6) / SO (5) = SU (3) / SU (2).

6-сфера

Обладает почти сложная структура идущий из набора чистый блок октонионы. SO (7) / SO (6) = грамм₂/ СУ (3). Вопрос в том, есть ли у него сложная структура известен как Проблема Хопфа, после Хайнц Хопф.^[5]

7-сфера

Топологический квазигруппа структура как набор единиц октонионы. Основной Sp (1) -бандлинг поверх S⁴. Возможность распараллеливания. SO (8) / SO (7) = SU (4) / SU (3) = Sp (2) / Sp (1) = Spin (7) /грамм₂ = Spin (6) / SU (3). 7-сфера представляет особый интерес, так как именно в этом измерении первый экзотические сферы были обнаружены.

8-сфера

Эквивалент октонионной проективной линии Оп¹.

23-сфера

Очень плотный сфера-упаковка возможно в 24-мерном пространстве, что связано с уникальными качествами Решетка пиявки.

Октаэдрическая сфера

В восьмигранный п-сфера определяется аналогично п-сфера, но с использованием 1-норма

${displaystyle S ^ {n} = left {xin mathbf {R} ^ {n + 1}: left | xight | _ {1} = 1ight}}$

Восьмигранная 1-сфера представляет собой квадрат (без внутренней части). Октаэдрическая 2-сфера является правильной октаэдр; отсюда и название. Восьмигранный п-сфера - это топологическое соединение из п+1 пара изолированных точек.^[6] Интуитивно топологическое соединение двух пар генерируется путем проведения сегмента между каждой точкой одной пары и каждой точкой другой пары; это дает квадрат. Чтобы соединить это с третьей парой, проведите отрезок между каждой точкой квадрата и каждой точкой третьей пары; это дает октаэдр.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

• Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66169-8.
• Моура, Эдуарда; Хендерсон, Дэвид Г. (1996). Изучение геометрии: на плоскости и на сфере. Prentice Hall. ISBN  978-0-13-373770-7 (Глава 20: 3-сферы и 3-гиперболические пространства).
• Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия. Марсель Деккер. ISBN  978-0-8247-7437-0 (Глава 14: Гиперсфера).
• Марсалья, Г. (1972). «Выбор точки с поверхности сферы». Анналы математической статистики. 43 (2): 645–646. Дои:10.1214 / aoms / 1177692644.
• Хубер, Грег (1982). "Получение гамма-функции n-мерных объемов". Амер. Математика. Ежемесячно. 89 (5): 301–302. Дои:10.2307/2321716. JSTOR  2321716. МИСТЕР  1539933.
• Барнеа, Нир (1999). «Гиперсферические функции с произвольной перестановочной симметрией: обратная конструкция». Phys. Ред. А. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999ПхРвА..59.1135Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.59.1135.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера». MathWorld.