Унимодулярная решетка - Unimodular lattice

В геометрия и математический теория групп, а унимодулярная решетка является интегральным решетка из детерминант 1 или -1. Для решетки в п-мерное евклидово пространство, это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальная область для решетки быть 1.

В E₈ решетка и Решетка пиявки два известных примера.

Определения

• А решетка это свободная абелева группа конечных ранг с симметричная билинейная форма (·,·).
• Решетка интеграл if (·, ·) принимает целые значения.
• В измерение решетки совпадает с ее рангом (как Z-модуль ).
• В норма элемента решетки а является (а, а).
• Решетка - это положительно определенный если норма всех ненулевых элементов положительна.
• В детерминант решетки - это определитель Матрица Грама, матрица с элементами (а_я, а_j), где элементы а_я составляют основу решетки.
• Целостная решетка - это унимодулярный если его определитель равен 1 или −1.
• Унимодулярная решетка есть даже или тип II если все нормы четные, иначе странный или тип I.
• В минимум положительно определенной решетки - наименьшая ненулевая норма.
• Решетки часто вкладываются в реальное векторное пространство с симметричной билинейной формой. Решетка положительно определенный, Лоренциан, и так далее, если его векторное пространство.
• В подпись решетки - это подпись формы в векторном пространстве.

Примеры

Три наиболее важных примера унимодулярных решеток:

• Решетка Z, в одном измерении.
• В E₈ решетка, четная 8-мерная решетка,
• В Решетка пиявки, 24-мерная четная унимодулярная решетка без корней.

Свойства

Решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда ее двойная решетка является цельным. Унимодулярные решетки равны своим двойственным решеткам, и по этой причине унимодулярные решетки также известны как самодуальные.

Учитывая пару (м,п) целых неотрицательных чисел, четная унимодулярная решетка сигнатуры (м,п) существует тогда и только тогда, когда м-н делится на 8, но имеет нечетную унимодулярную решетку сигнатуры (м,п) всегда существует. В частности, даже унимодулярные определенные решетки существуют только в размерности, кратной 8. Примеры для всех допустимых сигнатур даются II_{м, н} и я_{м, н} конструкции соответственно.

В тета-функция унимодулярной положительно определенной решетки является модульная форма чей вес составляет половину ранга. Если решетка четная, форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, форма имеет Γ₀(4) структура (т.е. это модульная форма уровня 4). Из-за ограничения размерности пространств модулярных форм минимальная норма ненулевого вектора четной унимодулярной решетки не превышает ⎣п/ 24⎦ + 1. Четная унимодулярная решетка, для которой достигается эта оценка, называется экстремальной. Известны экстремальные ровные унимодулярные решетки соответствующих размеров до 80,^[1] и их отсутствие было доказано для размеров более 163 264.^[2]

Классификация

Для неопределенных решеток классификацию легко описать. р^{м, н} для м + п мерное векторное пространствор^{т + п} с внутренним произведением (а₁, ..., а_м+п) и (б₁, ..., б_м+п) предоставлено

${ displaystyle a_ {1} b_ {1} + cdots + a_ {m} b_ {m} -a_ {m + 1} b_ {m + 1} - cdots -a_ {m + n} b_ {m + n}. ,}$

В р^{м, н} существует одна нечетная неопределенная унимодулярная решетка с точностью до изоморфизма, обозначаемая

я_м,п,

который задается всеми векторами (а₁,...,а_м+п)в р^м,п со всеми а_я целые числа.

Не существует неопределенных даже унимодулярных решеток, если только

м − п делится на 8,

в этом случае есть единственный пример с точностью до изоморфизма, обозначаемый

II_м,п.

Это задается всеми векторами (а₁,...,а_м+п)в р^м,п так что либо все а_я являются целыми числами или все они целые плюс 1/2, и их сумма четна. Решетка II_8,0 такой же, как E₈ решетка.

Положительно определенные унимодулярные решетки классифицированы до размерности 25. Есть уникальный пример. я_п,0 в каждом измерении п меньше 8 и два примера (я_8,0 и II_8,0) в размерности 8. Количество решеток умеренно увеличивается до размера 25 (где их 665 штук), но за пределами измерения 25 размер Формула масс Смита-Минковского-Зигеля подразумевает, что число очень быстро увеличивается с увеличением размера; например, в измерении 32 имеется более 80 000 000 000 000 000.

В некотором смысле унимодулярные решетки до размерности 9 управляются E₈, а до размерности 25 они контролируются решеткой Пиявки, и это объясняет их необычайно хорошее поведение в этих измерениях. Например, Диаграмма Дынкина векторов нормы-2 унимодулярных решеток в размерности до 25 можно естественным образом отождествить с конфигурацией векторов в решетке Лича. Резкое увеличение числа сверх 25 измерений может быть связано с тем, что эти решетки больше не контролируются решеткой Пиявки.

Даже положительно определенная унимодулярная решетка существует только в размерностях, кратных 8. Есть одна в размерности 8 ( E₈ решетка), два в размерности 16 (E₈² и II_16,0) и 24 в размерности 24, называемые Решетки Нимейера (примеры: Решетка пиявки, II_24,0, II_16,0 + II_8,0, II_8,0³). За пределами 24 измерений число увеличивается очень быстро; в 32 измерениях их более миллиарда.

Унимодулярные решетки без корни (векторы с нормой 1 или 2) были классифицированы до размерности 28. Нет ни одной размерности меньше 23 (кроме нулевой решетки!). В измерении 23 есть один (называемый короткая решетка пиявки), два в размерности 24 (решетка Лича и нечетная решетка пиявок), и Бачер и Венков (2001) показал, что есть 0, 1, 3, 38 в размерностях 25, 26, 27, 28 соответственно. Помимо этого число очень быстро увеличивается; их не менее 8000 в размерности 29. При достаточно больших размерностях большинство унимодулярных решеток не имеют корней.

Единственный ненулевой пример даже положительно определенных унимодулярных решеток без корней в размерности меньше 32 - это решетка Пиявки в размерности 24. В размерности 32 существует более десяти миллионов примеров, а выше размерности 32 число растет очень быстро.

Следующая таблица из (Король 2003 ) дает количество (или нижние оценки) четных или нечетных унимодулярных решеток в различных измерениях и показывает очень быстрый рост, начинающийся вскоре после размерности 24.

За пределами 32 измерений числа увеличиваются еще быстрее.

Приложения

Секунда группа когомологий закрытого односвязный ориентированный топологический 4-х коллекторный является унимодулярной решеткой. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти определяет многообразие: такое многообразие существует только для каждой четной унимодулярной решетки и ровно два для каждой нечетной унимодулярной решетки. В частности, если мы возьмем решетку равной 0, это влечет Гипотеза Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкий; плавный и решетка положительно определена, то она должна быть суммой копий Z, поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкая структура. Одним из таких примеров является Коллектор E8.

использованная литература

• Бахер, Роланд; Венков, Борис (2001), "Réseaux entiers unimodulaires sans racine en Dimension 27 et 28" [Унимодулярные интегральные решетки без корней в размерностях 27 и 28], Мартине, Жак (ред.), Réseaux euclidiens, design sphériques et formes modulaires [Евклидовы решетки, сферические конструкции и модульные формы], Моногр. Enseign. Математика. (На французском), 37, Женева: L'Enseignement Mathématique, стр. 212–267, ISBN  2-940264-02-3, Г-Н  1878751, Zbl  1139.11319, заархивировано из оригинал на 2007-09-28
• Конвей, Дж.; Слоан, Нью-Джерси (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290, При участии Bannai, E .; Borcherds, R.E .; Leech, J .; Norton, S.P .; Одлызко, А. Parker, R.A .; Queen, L .; Венков, Б. Б. (Третье изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98585-9, Г-Н  0662447, Zbl  0915.52003
• Кинг, Оливер Д. (2003), "Формула массы для унимодулярных решеток без корней", Математика вычислений, 72 (242): 839–863, arXiv:math.NT / 0012231, Bibcode:2003MaCom..72..839K, Дои:10.1090 / S0025-5718-02-01455-2, Г-Н  1954971, Zbl  1099.11035
• Милнор, Джон; Хусемоллер, Дейл (1973), Симметричные билинейные формы, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 73, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-88330-9, ISBN  3-540-06009-Х, Г-Н  0506372, Zbl  0292.10016
• Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики, Тексты для выпускников по математике, 7, Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4684-9884-4, ISBN  0-387-90040-3, Г-Н  0344216, Zbl  0256.12001
• Фридман, Майкл Х. (1982), "Топология четырехмерных многообразий", J. Differential Geom., 17 (3): 357–453, Дои:10.4310 / jdg / 1214437136

внешние ссылки

• Нил Слоан с каталог унимодулярных решеток.
• OEIS последовательность A005134 (Число n-мерных унимодулярных решеток)