Триальность - Triality

Эта статья включает список литературы, связанное чтение или внешние ссылки, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Автоморфизмы диаграммы Дынкина D₄ порождают тройственность в Spin (8).

В математика, триальность это отношения между тремя векторные пространства, аналогично двойственность отношения между двойные векторные пространства. Чаще всего он описывает эти особенности Диаграмма Дынкина D₄ и связанные Группа Ли Отжим (8), то двойная крышка 8-мерной группы вращения ТАК (8), возникающая из-за наличия в группе внешний автоморфизм третьего порядка. Существует геометрическая версия тройственности, аналогичная двойственность в проективной геометрии.

Из всех простые группы Ли, Spin (8) имеет наиболее симметричную диаграмму Дынкина, D₄. На схеме четыре узла, один из которых расположен в центре, а остальные три прикреплены симметрично. В группа симметрии диаграммы - это симметричная группа S₃ который действует путем перестановки трех ног. Это вызывает S₃ группа внешних автоморфизмов Spin (8). Эта группа автоморфизмов переставляет три 8-мерных неприводимые представления спина (8); это вектор представительство и два хиральный вращение представления. Эти автоморфизмы не проецируются на автоморфизмы SO (8). Векторное представление - естественное действие SO (8) (следовательно, Spin (8)) на F⁸- состоит из реального числа Евклидовы 8-векторы и обычно известен как «определяющий модуль», в то время как представления хирального спина также известны как "представления полуспина", и все три из них фундаментальные представления.

Никакая другая диаграмма Дынкина не имеет группы автоморфизмов порядка выше 2; для других D_п (соответствующие другим четным группам Spin, Spin (2п)) по-прежнему существует автоморфизм, соответствующий переключению двух представлений полуспина, но они не изоморфны векторному представлению.

Грубо говоря, симметрии диаграммы Дынкина приводят к автоморфизмам Здание Брюа – Титса связаны с группой. Для специальные линейные группы, получаем проективную двойственность. Для Spin (8) обнаруживается любопытный феномен, включающий 1-, 2- и 4-мерные подпространства 8-мерного пространства, исторически известный как «геометрическая тройственность».

Исключительная 3-кратная симметрия D₄ диаграмма также приводит к Группа Steinberg ³D₄.

Общая формулировка

Двойственность между двумя векторными пространствами над полем F невырожденный билинейная форма

${ displaystyle V_ {1} times V_ {2} to F,}$

т.е. для каждого ненулевого вектора v в одном из двух векторных пространств спаривание с v ненулевой линейный функционал с другой.

Точно так же тройственность между тремя векторными пространствами над полем F невырожденный трехлинейная форма

${ displaystyle V_ {1} times V_ {2} times V_ {3} to F,}$

т.е. каждый ненулевой вектор в одном из трех векторных пространств индуцирует двойственность между двумя другими.

Выбирая векторы е_я в каждом V_я на котором трилинейная форма равна 1, мы обнаруживаем, что все три векторных пространства изоморфный друг к другу и к своим двойникам. Обозначая это общее векторное пространство как V, тройственность может быть выражена как билинейное умножение

${ Displaystyle V раз от V до V}$

где каждый е_я соответствует элементу идентичности в V. Из условия невырожденности теперь следует, что V это композиционная алгебра. Это следует из того V имеет размерность 1, 2, 4 или 8. Если дальше F = р и форма, используемая для идентификации V со своим дуалом положительно определенный, тогда V это Евклидова алгебра Гурвица, и поэтому изоморфен р, C, ЧАС илиО.

И наоборот, композиционные алгебры сразу же вызывают пробу, взяв каждую V_я равняется алгебре, и договор умножение на внутреннее произведение алгебры для получения трилинейной формы.

Альтернативная конструкция триальности использует спиноры в размерностях 1, 2, 4 и 8. Восьмимерный случай соответствует свойству тройственности Спина (8).

Смотрите также

• Тройной продукт, может быть связано с четырехмерной тройственностью (на кватернионы )

использованная литература

• Джон Фрэнк Адамс (1981), Спин (8), Triality, F₄ и все такое, в "Суперпространстве и супергравитации", под редакцией Стивена Хокинга и Мартина Рочека, Cambridge University Press, страницы 435–445.
• Джон Фрэнк Адамс (1996), Лекции об исключительных группах Ли (Чикагские лекции по математике), под редакцией Зафера Махмуда и Маморы Мимуры, University of Chicago Press, ISBN  0-226-00527-5.

дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр; Рост, Маркус; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций. Публикации коллоквиума. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001.
• Уилсон, Роберт (2009). Конечные простые группы. Тексты для выпускников по математике. 251. Springer-Verlag. ISBN  1-84800-987-9. Zbl  1203.20012.

внешние ссылки

• Спиноры и суды Джон Баэз
• Триальность с Zometool Дэвид Рихтер