Соотношение серебра - Silver ratio

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Серебряная пропорция»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Апрель 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Серебряный прямоугольник

Список номеров Иррациональные числа ζ(3) √2 √3 √5 φ е π
Двоичный	10.01101010000010011110…
Десятичный	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричный	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${ displaystyle textstyle 2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} { ddots}}}}}}} }}$
Алгебраическая форма	1 + √2

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математика, две величины находятся в соотношение серебра (или же серебряная середина)^[1][2] если соотношение Отношение меньшего из этих двух величин к большему количеству равно отношению большего количества к сумме меньшего количества и вдвое большего количества (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональный математическая константа, значение которой равно единице плюс квадратный корень из 2 составляет приблизительно 2,4142135623. Его название является намеком на Золотое сечение; аналогично тому, как золотое сечение является ограничивающим соотношением последовательных Числа Фибоначчи, соотношение серебра является предельным соотношением последовательных Числа Пелла. Соотношение серебра обозначается δ_S.

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени не давая специального названия) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратные треугольные числа, Числа Пелла, восьмиугольники и тому подобное.

Описанное выше отношение можно выразить алгебраически:

${ displaystyle { frac {2a + b} {a}} = { frac {a} {b}} Equiv delta _ {S}}$

или эквивалентно,

${ displaystyle 2 + { frac {b} {a}} = { frac {a} {b}} Equiv delta _ {S}}$

Соотношение серебра также можно определить с помощью простого непрерывная дробь [2; 2, 2, 2, ...]:

${ displaystyle 2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {2+ ddots}}}}}} = delta _ {S}}$

В сходящиеся этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) являются отношениями последовательных чисел Пелла. Эти дроби обеспечивают точное рациональные приближения серебряного отношения, аналогично аппроксимации золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с обычным восьмиугольник. Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1:δ_S, а 4 стороны трапеции находятся в соотношении 1: 1: 1:δ_S. Если длина ребра правильного восьмиугольника равна т, то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δ_Sт, а площадь восьмиугольника равна 2δ_Sт².^[3]

Расчет

Для сравнения две величины а, б с а > б > 0 находятся в Золотое сечение φ если,

${ displaystyle { frac {a + b} {a}} = { frac {a} {b}} = varphi}$

Однако они в соотношение серебра δ_S если,

${ displaystyle { frac {2a + b} {a}} = { frac {a} {b}} = delta _ {S}.}$

Эквивалентно,

${ displaystyle 2 + { frac {b} {a}} = { frac {a} {b}} = delta _ {S}}$

Следовательно,

${ displaystyle 2 + { frac {1} { delta _ {S}}} = delta _ {S}.}$

Умножение на δ_S и перестановка дает

${ displaystyle { delta _ {S}} ^ {2} -2 delta _ {S} -1 = 0.}$

С использованием квадратичная формула, можно получить два решения. Потому что δ_S это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому,

${ displaystyle delta _ {S} = 1 + { sqrt {2}} = 2,41421356237 dots}$

Характеристики

Если от серебряного прямоугольника отрезать два самых больших квадрата возможных квадратов, останется серебряный прямоугольник, с которым процесс может быть повторен ...

Серебряные спирали в серебряном прямоугольнике

Теоретико-числовые свойства

Соотношение серебра равно Число Писот – Виджаярагхаван (Номер PV), как его сопряженное 1 − √2 = −1/δ_S ≈ −0.41 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе по величине квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от δ ^п
_S к ближайшему целому числу 1/δ ^п
_S ≈ 0.41^п. Таким образом, последовательность дробные части из δ ^п
_S, п = 1, 2, 3, ... (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не равнораспределенный мод 1.

Полномочия

Младшие степени отношения серебра равны

${ displaystyle delta _ {S} ^ {- 1} = 1 delta _ {S} -2 = [0; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 0,41421}$

${ displaystyle delta _ {S} ^ {0} = 0 delta _ {S} + 1 = [1] = 1}$

${ displaystyle delta _ {S} ^ {1} = 1 delta _ {S} + 0 = [2; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 2,41421}$

${ displaystyle delta _ {S} ^ {2} = 2 delta _ {S} + 1 = [5; 1,4,1,4,1, dots] приблизительно 5,82842}$

${ displaystyle delta _ {S} ^ {3} = 5 delta _ {S} + 2 = [14; 14,14,14, dots] приблизительно 14.07107}$

${ displaystyle delta _ {S} ^ {4} = 12 delta _ {S} + 5 = [33; 1,32,1,32, точки] приблизительно 33.97056}$

Силы продолжаются по шаблону

${ displaystyle delta _ {S} ^ {n} = K_ {n} delta _ {S} + K_ {n-1}}$

куда

${ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}$

Например, используя это свойство:

${ displaystyle delta _ {S} ^ {5} = 29 delta _ {S} + 12 = [82; 82,82,82, dots] приблизительно 82,01219}$

С помощью K₀ = 1 и K₁ = 2 в качестве начальных условий a Бине -подобная формула получается из решения рекуррентного соотношения

${ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}$

который становится

${ displaystyle K_ {n} = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} left ( delta _ {S} ^ {n + 1} - {(2- delta _ {S })} ^ {n + 1} right)}$

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими отношениями для π/8 = 22.5°.

${ displaystyle sin { frac { pi} {8}} = { frac { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} {2}} = { frac { sqrt {1-1) / delta _ {s}}} {2}}}$

${ displaystyle cos { frac { pi} {8}} = { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} {2}} = { frac { sqrt {1+ дельта _ {s}}} {2}}}$

${ displaystyle tan { frac { pi} {8}} = { sqrt {2}} - 1 = { frac {1} { delta _ {s}}}}$

${ displaystyle cot { frac { pi} {8}} = tan { frac {3 pi} {8}} = { sqrt {2}} + 1 = delta _ {s}}$

Итак, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны а дан кем-то

${ displaystyle A = 2a ^ {2} cot { frac { pi} {8}} = 2 (1 + { sqrt {2}}) a ^ {2} simeq 4.828427a ^ {2}. }$

Размеры бумаги и серебряные прямоугольники

Прямоугольник с соотношением сторон серебра (1:√2, приблизительно 1: 1.4142135 в десятичной системе) иногда называют серебряный прямоугольник по аналогии с золотые прямоугольники. В размеры бумаги под ISO 216 такие прямоугольники. 1:√2 прямоугольники (прямоугольники, имеющие форму бумаги ISO 216) обладают тем свойством, что при разрезании прямоугольника пополам по его длинной стороне получаются два меньших прямоугольника с таким же соотношением сторон.

Удаление из такого прямоугольника максимально возможного квадрата оставляет прямоугольник с пропорциями 1 : (√2 − 1) который совпадает с (1 + √2) : 1, соотношение серебра. Удаление самого большого квадрата из полученного прямоугольника снова оставляет квадрат с соотношением сторон 1:√2.^[4] Удаление максимально возможного квадрата из любого типа серебряного прямоугольника дает серебряный прямоугольник другого типа, а затем повторение процесса еще раз дает прямоугольник исходной формы, но меньший линейный коэффициент 1 + √2.^[3]

Смотрите также

• Металлические средства
• Мозаика Амманна – Бенкера

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Буитраго, Антония Редондо (2008). "Многоугольники, диагонали и среднее значение бронзы", Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика, стр.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN  9783764386993.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное соотношение». MathWorld.
• "Введение в непрерывные дроби: серебряные средства ", Числа Фибоначчи и золотое сечение.
• "Серебряный прямоугольник и его последовательность "в Тартапелаге Джорджио Пьетрокола"