Золотой прямоугольник - Golden rectangle

Золотой прямоугольник со сторонами аб размещен рядом с квадратом со сторонами длины а производит похожий золотой прямоугольник.
Эта статья про геометрическую фигуру. Для проекта индийского шоссе см. Золотой четырехугольник.

В геометрия, а золотой прямоугольник это прямоугольник чьи стороны длины в Золотое сечение, , который (греческая буква фи ), куда составляет примерно 1,618.

Золотые прямоугольники демонстрируют особую форму самоподобие: Все прямоугольники, созданные путем добавления или удаления квадрата, также являются золотыми прямоугольниками.

Метод построения золотого прямоугольника. Благодаря теорема Пифагора,[а] диагональ, разделяющая половину квадрата, равна радиусу круга, крайняя точка которого также является углом золотого прямоугольника, добавленного к квадрату.[1]

Строительство

Золотой прямоугольник можно построен только с линейкой и компасом за четыре простых шага:

  1. Нарисуйте простой квадрат.
  2. Проведите линию от середины одной стороны квадрата до противоположного угла.
  3. Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, определяющую высоту прямоугольника.
  4. Завершите золотой прямоугольник.

Отличительной особенностью этой формы является то, что при квадрат раздел добавлен или удален - продукт представляет собой еще один золотой прямоугольник с таким же соотношение сторон как первый. Добавление или удаление квадратов можно повторять бесконечно, и в этом случае соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотая спираль, уникальный логарифмическая спираль с этим свойством. Диагональные линии, проведенные между первыми двумя порядками встроенных золотых прямоугольников, будут определять точку пересечения диагоналей всех встроенных золотых прямоугольников; Клиффорд А. Пиковер назвал эту точку «Глазом Бога».[2]

История

Пропорции золотого прямоугольника наблюдались еще в Вавилонский Табличка Шамаша (ок. 888–855 гг. до н.э.),[3][4] хотя Марио Ливио вызывает любое знание Золотое сечение перед Древние греки «сомнительно».[5]

По словам Ливио, с момента публикации Лука Пачоли с Divina пропорционально в 1509 году «золотое сечение стало доступным для художников в теоретических трактатах, которые не были слишком математическими, которые они могли реально использовать».[6]

1927 год Вилла Штайн разработано Ле Корбюзье, некоторые из которых архитектура использует золотое сечение, имеет размеры, близкие к золотым прямоугольникам.[7]

Отношение к правильным многоугольникам и многогранникам

Евклид дает альтернативное построение золотого прямоугольника с использованием трех многоугольников ограниченный конгруэнтными кругами: регулярный десятиугольник, шестиугольник, и пятиугольник. Соответствующие длины а, б, и c сторон этих трех многоугольников удовлетворяют уравнению а2 + б2 = c2, поэтому отрезки этой длины образуют прямоугольный треугольник (наоборот теорема Пифагора ). Отношение длины стороны шестиугольника к десятиугольнику - это золотое сечение, поэтому этот треугольник образует половину золотого прямоугольника.[8]

Три золотых прямоугольника в икосаэдр

В выпуклый корпус двух противоположных ребер правильного икосаэдр образует золотой прямоугольник. Таким образом, двенадцать вершин икосаэдра можно разложить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых соединены узором Кольца Борромео.[9]

Смотрите также

Примечания

  1. ^

Рекомендации

  1. ^ Позаментьер, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2011). Великолепное золотое сечение. Книги Прометея. п.11. ISBN  9-781-61614-424-1.
  2. ^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Бродвей Книги. п.85. ISBN  0-7679-0816-3.
  3. ^ Олсен, Скотт (2006). Золотое сечение: величайший секрет природы. Гластонбери: Деревянные книги. п.3. ISBN  978-1-904263-47-0.
  4. ^ Ван Мерсберген, Одри М., Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с помощью философской полемики, Связь ежеквартально, Vol. 46, 1998 («Золотой прямоугольник имеет отношение длин сторон, равное 1: 1.61803+. Парфенон имеет эти размеры»).
  5. ^ Ливио, Марио. «Золотое сечение в искусстве: в значительной степени опирается на золотое сечение» (PDF). п. 6. Получено 11 сентября 2019.
  6. ^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Бродвей Книги. п.136. ISBN  0-7679-0816-3.
  7. ^ Ле Корбюзье, Модулор, п. 35, цитируется у Падована Ричарда, Пропорции: наука, философия, архитектура (1999), стр. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-419-22780-6: «И в картинах, и в архитектурных решениях используется золотое сечение».
  8. ^ Евклид, Элементы, Книга XIII, Предложение 10.
  9. ^ Бургер, Эдвард Б.; Starbird, Майкл П. (2005). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению. Springer. п. 382. ISBN  9781931914413 {{противоречивые цитаты}}.

внешняя ссылка