Целое число Эйзенштейна - Eisenstein integer

Целые числа Эйзенштейна как точки пересечения треугольной решетки на комплексной плоскости

В математика, Целые числа Эйзенштейна (названный в честь Готтхольд Эйзенштейн ), иногда также известный^[1] так как Целые числа Эйлера (после Леонард Эйлер ), находятся сложные числа формы

{ Displaystyle г = а + б омега,}

где $а$ и $б$ находятся целые числа и

{ displaystyle omega = { frac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}} = e ^ { frac {2 pi i} {3}}}

это примитивный (следовательно, ненастоящий) кубический корень из единицы. Целые числа Эйзенштейна образуют треугольная решетка в комплексная плоскость, в отличие от Гауссовские целые числа, которые образуют квадратная решетка в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна - это счетно бесконечное множество.

Характеристики

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо из алгебраические целые числа в поле алгебраических чисел $ℚ (ω)$ - третий круговое поле. Чтобы убедиться, что целые числа Эйзенштейна являются целыми алгебраическими, обратите внимание, что каждое $z = a + b ω$ является корнем монический многочлен

{ displaystyle z ^ {2} - (2 , a-b) , z + left (a ^ {2} -a , b + b ^ {2} right) ~.}

Особенно, $ω$ удовлетворяет уравнению

{ displaystyle omega ^ {2} + omega + 1 = 0 ~.}

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна $а + б ω$ и $c + d ω$ дается явно

{ Displaystyle (а + б , омега) , (с + д , омега) = (а , куб , д) + (б , с + а , дб , д) , omega ~.}

Норма целого числа Эйзенштейна - это просто квадрат его модуль, и задается

{ displaystyle { left | a + b , omega right |} ^ {2} , = , {(a - { tfrac {1} {2}} b)} ^ {2} + { tfrac {3} {4}} b ^ {2} , = , a ^ {2} -a , b + b ^ {2} ~,}

что явно является положительным обыкновенным (рациональным) целым числом.

Так же комплексно сопряженный из $ω$ удовлетворяет

{ displaystyle { bar { omega}} = omega ^ {2} ~.}

В группа единиц в этом кольце циклическая группа сформированный шестой корни единства в комплексной плоскости: ${ displaystyle left { pm 1, pm omega, pm omega ^ {2} right } ~,}$ целые числа Эйзенштейна нормы 1.

Простые числа Эйзенштейна

Малые простые числа Эйзенштейна.

Если $Икс$ и $у$ являются целыми числами Эйзенштейна, мы говорим, что $Икс$ разделяет $у$ если есть какое-то целое число Эйзенштейна $z$ такой, что $у = zx$ . Неединичное целое число Эйзенштейна $Икс$ считается Эйзенштейн простое если его единственные неединичные делители имеют вид $ux$ , где $ты$ является любой из шести единиц.

Есть два типа простых чисел Эйзенштейна. Во-первых, обычный простое число (или рациональное простое число), что соответствует 2 мод 3 также является простым числом Эйзенштейна. Во-вторых, 3 и любое рациональное простое число, конгруэнтное 1 мод 3 равен норме $Икс 2 - ху + у 2$ целого числа Эйзенштейна $Икс + ωy$ . Таким образом, такое простое число может быть факторизовано как $(Икс + ωy)(Икс + ω 2 у)$ , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: это в точности целые числа Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует Евклидова область чья норма $N$ дается квадратным модулем, как указано выше:

{ Displaystyle N (a + b , omega) = a ^ {2} -ab + b ^ {2}.}

А алгоритм деления применяется к любым дивидендам ${ displaystyle alpha}$ и делитель ${ displaystyle beta neq 0}$ , дает частное ${ displaystyle kappa}$ и остаток ${ displaystyle rho}$ меньше делителя, удовлетворяя:

{ displaystyle alpha = kappa beta + rho { text {with}} N ( rho)

Вот ${ Displaystyle альфа, бета, каппа, rho}$ все числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает Евклидов алгоритм, что доказывает Лемма евклида и уникальная факторизация целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Один алгоритм деления следующий. Сначала выполните деление в поле комплексных чисел и запишите частное через ω:

{ displaystyle { frac { alpha} { beta}} = { tfrac {1} { | beta | ^ {2}}} alpha { overline { beta}} = a + bi = a + { tfrac {1} { sqrt {3}}} b + { tfrac {2} { sqrt {3}}} b omega,}

для рационального ${ displaystyle a, b in mathbb {Q}}$ . Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округляя рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

{ displaystyle kappa = left lfloor a + { tfrac {1} { sqrt {3}}} b right rceil + left lfloor { tfrac {2} { sqrt {3}}} b right rceil omega { text {and}} rho = { alpha} - kappa beta.}

Вот ${ displaystyle lfloor x rceil}$ может обозначать любой из стандартных округление к целочисленным функциям.

Причина, по которой это удовлетворяет ${ Displaystyle N ( rho)$ , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичное целое число кольца, заключается в следующем. Фундаментальная область идеала ${ Displaystyle mathbb {Z} [ omega] beta = mathbb {Z} beta + mathbb {Z} omega beta}$ , действующий сдвигами на комплексную плоскость, представляет собой ромб 60 ° -120 ° с вершинами ${ displaystyle 0, beta, omega beta, beta {+} omega beta}$ . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из сдвигов этого параллелограмма, а частное κ является одной из его вершин. Остаток - это квадратное расстояние от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме составляет всего ${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {2}} | beta |}$ , так ${ displaystyle | rho | leq { tfrac { sqrt {3}} {2}} | beta | <| beta |}$ . (Размер ρ можно немного уменьшить, взяв κ быть ближайшим углом.)

Коэффициент $C$ целыми числами Эйзенштейна

В частное комплексной плоскости $C$ посредством решетка содержащий все целые числа Эйзенштейна, является комплексный тор вещественной размерности 2. Это один из двух торов с максимальным симметрия среди всех таких сложных торов.^{[нужна цитата ]} Этот тор можно получить, отождествив каждую из трех пар противоположных сторон правильного шестиугольника. (Другой максимально симметричный тор - это фактор комплексной плоскости по аддитивной решетке Гауссовские целые числа, и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, такой как [0,1] × [0,1].)

Смотрите также

Заметки

^ Сураньи, Ласло (1997). Алгебра. ТИПОТЕКС. п. 73. и Салай, Михай (1991). Számelmélet. Tankönyvkiadó. п. 75. оба называют эти числа «Эйлер-эгешек», то есть целые эйлеровы числа. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.

внешние ссылки

Целое число Эйзенштейна - из MathWorld

[euler-name-1] Сураньи, Ласло (1997). Алгебра. ТИПОТЕКС. п. 73. и Салай, Михай (1991). Számelmélet. Tankönyvkiadó. п. 75. оба называют эти числа «Эйлер-эгешек», то есть целые эйлеровы числа. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.

[1]

Систолическая геометрия
1-систолы поверхностей	Неравенство тора Лёвнера Неравенство Пу Гипотеза области заполнения Поверхность Больца Систолы поверхностей Целые числа Эйзенштейна
1-систолы коллекторов	Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий Существенный коллектор Радиус заполнения Постоянная Эрмита
Высшие систолы	Неравенство Громова для комплексного проективного пространства Систолическая свобода Систолическая категория