Простая постоянная - Prime constant

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Простая постоянная»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В простая константа это настоящий номер ${ displaystyle rho}$ чей ${ displaystyle n}$-я двоичная цифра равна 1, если ${ displaystyle n}$ является основной и 0, если п является составной или 1.

Другими словами, ${ displaystyle rho}$ просто число, чье двоичное расширение соответствует индикаторная функция из набора простые числа. То есть,

${ displaystyle rho = sum _ {p} { frac {1} {2 ^ {p}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi _ { mathbb {P}} (n)} {2 ^ {n}}}}$

куда ${ displaystyle p}$ указывает на штрих и ${ displaystyle chi _ { mathbb {P}}}$ - характеристическая функция простых чисел.

Начало десятичного разложения ρ является: ${ displaystyle rho = 0,414682509851111660248109622 ldots}$ (последовательность A051006 в OEIS )

Начало двоичного раскрытия: ${ displaystyle rho = 0,011010100010100010100010000 ldots _ {2}}$ (последовательность A010051 в OEIS )

Иррациональность

Номер ${ displaystyle rho}$ легко показать, чтобы быть иррациональный. Чтобы понять почему, предположим, что это было рационально.

Обозначим ${ displaystyle k}$-я цифра двоичного разложения ${ displaystyle rho}$ к ${ displaystyle r_ {k}}$. Тогда, поскольку ${ displaystyle rho}$ считается рациональным, должно существовать ${ displaystyle N}$, ${ displaystyle k}$ положительные целые числа такие, что${ displaystyle r_ {n} = r_ {n + ik}}$ для всех ${ displaystyle n> N}$ и все ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$.

Поскольку существует бесконечное количество простых чисел, мы можем выбрать простое число ${ displaystyle p> N}$. По определению мы видим, что ${ displaystyle r_ {p} = 1}$. Как уже отмечалось, у нас есть ${ displaystyle r_ {p} = r_ {p + ik}}$ для всех ${ Displaystyle я в mathbb {N}}$. Теперь рассмотрим случай ${ displaystyle i = p}$. У нас есть ${ Displaystyle r_ {п + я cdot k} = r_ {p + p cdot k} = r_ {p (k + 1)} = 0}$, поскольку ${ Displaystyle р (к + 1)}$ составной, потому что ${ Displaystyle к + 1 geq 2}$. С ${ displaystyle r_ {p} neq r_ {p (k + 1)}}$ Мы видим, что ${ displaystyle rho}$ иррационально.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Prime Constant". MathWorld.