Натуральный логарифм 2 - Natural logarithm of 2

Десятичное значение натуральный логарифм из 2 (последовательность A002162 в OEIS ) приблизительно

${ displaystyle ln 2 приблизительно 0,693 , 147 , 180 , 559 , 945 , 309 , 417 , 232 , 121 , 458.}$

Логарифм 2 в других основаниях получается с помощью формула

${ displaystyle log _ {b} 2 = { frac { ln 2} { ln b}}.}$

В десятичный логарифм в частности (OEIS: A007524)

${ displaystyle log _ {10} 2 приблизительно 0,301 , 029 , 995 , 663 , 981 , 195.}$

Обратное к этому числу - это двоичный логарифм из 10:

${ displaystyle log _ {2} 10 = { frac {1} { log _ {10} 2}} приблизительно 3.321 , 928 , 095}$ (OEIS: A020862).

Посредством Теорема Линдемана – Вейерштрасса, натуральный логарифм любого натуральное число кроме 0 и 1 (в общем, любых положительных алгебраическое число кроме 1) является трансцендентное число.

Представления серий

Растущий альтернативный факториал

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - { frac {1} {2 }} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {4}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {6}} + cdots. }$ Это хорошо известный "переменный гармонический ряд ".

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {5} {8}} + { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} + { frac {3} {4}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {131} {192}} + { frac {3} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {661} {960}} + { frac {15} {4}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Двоичный возрастающий постоянный факториал

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 1- sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {5} {6}} - 6 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {7} {12}} + 24 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {47} {60}} - 120 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Другие изображения серий

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2n + 1) (2n + 2)}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (4n ^ {2} -1)}} = 2 ln 2-1.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n (4n ^ {2} -1)}} = ln 2-1.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n (9n ^ {2} -1)}} = 2 ln 2 - { гидроразрыв {3} {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4n ^ {2} -2n}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 (-1) ^ {n + 1} (2n-1) +1} {8n ^ {2} -4n}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {3n + 1}} = { frac { ln 2} {3}} + { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {3n + 2}} = - { frac { ln 2} {3}} + { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(3n + 1) (3n + 2)}} = { frac {2 ln 2} {3}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2}}} = 18-24 ln 2}$ с помощью ${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} sum _ {n = N} ^ {2N} { frac {1} {n}} = ln 2}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4k ^ {2} -3k}} = ln 2 + { frac { pi} {6}}}$ (суммы обратных десятиугольные числа )

Использование дзета-функции Римана

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n}}} [ zeta (n) -1] = ln 2 - { frac {1} {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2n + 1}} [ zeta (n) -1] = 1- gamma - { frac { ln 2 } {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {2n-1} (2n + 1)}} zeta (2n) = 1- ln 2.}$

(γ это Константа Эйлера – Маскерони и ζ Дзета-функция Римана.)

Представления типа BBP

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} + { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {2k}} + { frac {1} {4k + 1}} + { frac {1} {8k + 4}} + { frac {1} {16k + 12}} right) { frac { 1} {16 ^ {k}}}.}$

(Подробнее о Представления типа Бейли – Борвейна – Плуфа (BBP).)

Применение трех общих рядов натурального логарифма к 2 напрямую дает:

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {9 ^ {k} (2k + 1)}}. }$

Применяя их к ${ displaystyle textstyle 2 = { frac {3} {2}} cdot { frac {4} {3}}}$ дает:

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ {n} n}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {3 ^ {n} n}}.}.$

${ displaystyle ln 2 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {3 ^ {n} n}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {5}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {25 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {2} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {49 ^ {k} (2k + 1)}}.}.}$

Применяя их к ${ displaystyle textstyle 2 = ({ sqrt {2}}) ^ {2}}$ дает:

${ displaystyle ln 2 = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {({ sqrt {2}} + 1) ^ { n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(2 + { sqrt {2}}) ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {4} {3 + 2 { sqrt {2}}}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(17 + 12 { sqrt {2}}) ^ {k} (2k + 1)}}.}$

Применяя их к ${ displaystyle textstyle 2 = { left ({ frac {16} {15}} right)} ^ {7} cdot { left ({ frac {81} {80}} right)} ^ {3} cdot { left ({ frac {25} {24}} right)} ^ {5}}$ дает:

${ displaystyle ln 2 = 7 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {15 ^ {n} n}} + 3 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {80 ^ {n} n}} + 5 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {24 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 7 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {16 ^ {n} n}} + 3 sum _ {n = 1} ^ { infty } { frac {1} {81 ^ {n} n}} + 5 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {25 ^ {n} n}}.}.$

${ displaystyle ln 2 = { frac {14} {31}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {961 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {6} {161}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {25921 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {10} { 49}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2401 ^ {k} (2k + 1)}}.}.}$

Представление в виде интегралов

Натуральный логарифм 2 часто встречается в результате интегрирования. Некоторые явные формулы для него включают:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x}} = int _ {1} ^ {2} { frac {dx} {x}} = ln 2 }$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} { frac {1-e ^ {- x}} {x}} , dx = ln 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {3}} tan x , dx = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {4}} tan x , dx = ln 2}$

Другие представления

Расширение Пирса OEIS: A091846

${ displaystyle ln 2 = 1 - { frac {1} {1 cdot 3}} + { frac {1} {1 cdot 3 cdot 12}} - cdots.}$

В Расширение Энгеля является OEIS: A059180

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2 cdot 3}} + { frac {1} {2 cdot 3 cdot 7}} + { frac {1} {2 cdot 3 cdot 7 cdot 9}} + cdots.}$

Котангенсное разложение равно OEIS: A081785

${ displaystyle ln 2 = cot ({ operatorname {arccot} (0) - operatorname {arccot} (1) + operatorname {arccot} (5) - operatorname {arccot} (55) + operatorname { arccot} (14187) - cdots}).}$

Простой непрерывная дробь расширение OEIS: A016730

${ Displaystyle пер 2 = влево [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1, ... right]}$,

который дает рациональные приближения, первые несколько из которых - 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 и 61/88.

Этот обобщенная цепная дробь:

${ displaystyle ln 2 = left [0; 1,2,3,1,5, { tfrac {2} {3}}, 7, { tfrac {1} {2}}, 9, { tfrac {2} {5}}, ..., 2k-1, { frac {2} {k}}, ... right]}$,^[1]

также выражается как

${ Displaystyle ln 2 = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {2} {2 + { cfrac {2} { 5 + { cfrac {3} {2 + { cfrac {3} {7 + { cfrac {4} {2+ ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = { cfrac {2} {3 - { cfrac {1 ^ {2}} {9 - { cfrac {2 ^ {2}} {15 - { cfrac {3 ^ {2}} {21- ddots}} }}}}}}}$

Загрузка других логарифмов

Учитывая значение пер. 2, схема вычисления логарифмов других целые числа заключается в табулировании логарифмов простые числа а в следующем слое - логарифмы составной числа c на основе их факторизации

${ displaystyle c = 2 ^ {i} 3 ^ {j} 5 ^ {k} 7 ^ {l} cdots rightarrow ln (c) = i ln (2) + j ln (3) + k ln (5) + l ln (7) + cdots}$

Здесь задействованы

На третьем уровне логарифмы рациональных чисел р = а/б вычисляются с ln (р) = ln (а) - ln (б), и логарифмы корней через пер ^п√c = 1/п ln (c).

Логарифм 2 полезно в том смысле, что степени двойки распределены довольно плотно; найти силы 2^я близко к власти б^j других номеров б сравнительно легко, и представления ряда ln (б) находятся путем соединения 2 с б с логарифмические преобразования.

Пример

Если п^s = q^т + d с небольшим d, тогда п^s/q^т = 1 + d/q^т и поэтому

${ Displaystyle s ln (p) -t ln (q) = ln left (1 + { frac {d} {q ^ {t}}} right) = sum _ {m = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {m + 1} { frac {({ frac {d} {q ^ {t}}}) ^ {m}} {m}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2} {2n + 1}} { left ({ frac {d} {2q ^ {t} + d}} right)} ^ {2n + 1} .}$

Выбор q = 2 представляет ln (п) к пер. 2 и ряд параметра d/q^т который желает сохранить маленьким для быстрой конвергенции. Принимая 3² = 2³ + 1, например, генерирует

${ displaystyle 2 ln (3) = 3 ln 2- sum _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k} k}} = 3 ln 2+ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2} {2n + 1}} { left ({ frac {1} {2 cdot 8 + 1}} right)} ^ {2n + 1}.}$

Фактически это третья строка в следующей таблице расширений этого типа:

Начиная с натурального логарифма q = 10 можно использовать следующие параметры:

Известные цифры

Это таблица последних записей по вычислению цифр пер. 2. По состоянию на декабрь 2018 года в нем было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме.^{[2] [3]} натурального числа, кроме 1.

Смотрите также

• Правило 72 # Непрерывное начисление процентов, в котором пер. 2 занимает видное место
• Период полураспада # Формулы периода полураспада при экспоненциальном распаде, в котором пер. 2 занимает видное место
• Уравнение Эрдеша – Мозера: все решения должны исходить из сходящийся из пер. 2.

Рекомендации

• Брент, Ричард П. (1976). «Быстрое вычисление элементарных функций с высокой точностью». J. ACM. 23 (2): 242–251. Дои:10.1145/321941.321944. МИСТЕР  0395314.
• Улер, Гораций С. (1940). «Пересчет и расширение модуля и логарифмов 2, 3, 5, 7 и 17». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 26 (3): 205–212. Дои:10.1073 / pnas.26.3.205. МИСТЕР  0001523. ЧВК  1078033. PMID  16588339.
• Суини, Дура В. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера». Математика вычислений. 17 (82): 170–178. Дои:10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X. МИСТЕР  0160308.
• Чемберленд, Марк (2003). «Бинарные BBP-формулы для логарифмов и обобщенных простых чисел Гаусса – Мерсенна» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 6: 03.3.7. МИСТЕР  2046407. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-06-06. Получено 2010-04-29.
• Гуревич, Борис; Гильера Гоянес, Хесус (2007). «Построение биномиальных сумм для π и полилогарифмические константы, вдохновленные формулами BBP " (PDF). Прикладная математика. Электронные заметки. 7: 237–246. МИСТЕР  2346048.
• У, Цян (2003). «О мере линейной независимости логарифмов рациональных чисел». Математика вычислений. 72 (242): 901–911. Дои:10.1090 / S0025-5718-02-01442-4.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм 2». MathWorld.
• "таблица натуральных логарифмов". PlanetMath.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль. «Постоянный логарифм: log 2».