Целое гауссово - Gaussian integer

В теория чисел, а Целое гауссово это комплексное число чья действительная и мнимая части являются целые числа. Целые гауссовские числа с обычными добавление и умножение из сложные числа, для мужчин область целостности, обычно пишется как $Z [я]$ .^[1] Эта область целостности является частным случаем коммутативное кольцо из квадратичные целые числа. У него нет общий заказ который уважает арифметику.

Целые гауссовские числа как точки решетки в комплексная плоскость

Основные определения

Целые гауссовы числа - это множество^[1]

{ displaystyle mathbf {Z} [i] = {a + bi mid a, b in mathbf {Z} }, qquad { text {where}} i ^ {2} = - 1. }

Другими словами, гауссовское целое число - это комплексное число так что его настоящий и мнимые части оба целые числа.Поскольку гауссовские целые числа замкнуты относительно сложения и умножения, они образуют коммутативное кольцо, который является подкольцо поля комплексных чисел. Таким образом, это область целостности.

При рассмотрении в рамках комплексная плоскость, гауссовские целые числа составляют $2$ -размерный целочисленная решетка.

В сопрягать гауссовского целого числа $а + би$ - целое гауссовское число $а - би$ .

В норма гауссовского целого числа является его произведением со своим сопряженным.

{ Displaystyle N (a + bi) = (a + bi) (a-bi) = a ^ {2} + b ^ {2}.}

Таким образом, норма гауссовского целого числа - это квадрат его абсолютная величина как комплексное число. Норма гауссовского целого числа - неотрицательное целое число, которое является суммой двух квадраты. Таким образом, норма не может иметь вид $4 k + 3$ , с $k$ целое число.

Норма мультипликативный, то есть есть^[2]

{ Displaystyle N (zw) = N (z) N (w),}

для каждой пары гауссовских целых чисел $z, ш$ . Это можно показать напрямую или с помощью мультипликативного свойства модуля комплексных чисел.

В единицы кольца гауссовских целых чисел (то есть гауссовских целых чисел, мультипликативный обратный также гауссовское целое число) - это в точности целые гауссовские числа с нормой 1, то есть 1, –1, $я$ и $- я$ .^[3]

Евклидово деление

Визуализация максимального расстояния до некоторого гауссовского целого числа

Гауссовские целые числа имеют Евклидово деление (деление с остатком) аналогично целые числа и многочлены. Это делает гауссовские целые числа Евклидова область, и подразумевает, что гауссовские целые числа разделяют с целыми числами и многочленами многие важные свойства, такие как существование Евклидов алгоритм для вычислений наибольшие общие делители, Личность Безу, то главное идеальное свойство, Лемма евклида, то уникальная теорема факторизации, а Китайская теорема об остатках, все это можно доказать, используя только евклидово деление.

Алгоритм евклидова деления принимает в кольце гауссовских целых чисел делимое $а$ и делитель $б \neq 0$ , и производит частное $q$ и остальное $р$ такой, что

{ displaystyle a = bq + r quad { text {and}} quad N (r)

Фактически, можно уменьшить остаток:

{ displaystyle a = bq + r quad { text {and}} quad N (r) leq { frac {N (b)} {2}}.}

Даже при этом лучшем неравенстве частное и остаток не обязательно уникальны, но можно уточнить выбор, чтобы гарантировать уникальность.

Чтобы доказать это, можно рассмотреть комплексное число частное $Икс + иу = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} а / б$ . Есть уникальные целые числа $м$ и $п$ такой, что $- 1 / 2 < Икс - м \leq 1 / 2$ и $- 1 / 2 < у - п \leq 1 / 2$ , и поэтому $N (Икс - м + я (у - п)) \leq 1 / 2$ . Принимая $q = м + в$ , надо

{ displaystyle a = bq + r,}

с

{ Displaystyle г = б { bigl (} х-м + я (у-п) { bigr)},}

и

{ Displaystyle N (r) leq { frac {N (b)} {2}}.}

Выбор $Икс - м$ и $у - п$ в полуоткрытый интервал Это определение евклидова деления может быть интерпретировано геометрически в комплексной плоскости (см. рисунок), отметив, что расстояние от комплексного числа $ξ$ к ближайшему гауссовскому целому числу не более $\sqrt 2 / 2$ .^[4]

Основные идеалы

Поскольку кольцо $грамм$ целых гауссовских чисел является евклидовой областью, $грамм$ это главная идеальная область, что означает, что каждый идеальный из $грамм$ является главный. Явно идеальный $я$ является подмножеством кольца $р$ такая, что каждая сумма элементов $я$ и каждый продукт элемента $я$ элементом $р$ принадлежать $я$ . Идеал - это главный, если он состоит из всех кратных одного элемента $грамм$ , то есть имеет вид

{ displaystyle {gx mid x in G }.}

В этом случае говорят, что идеал генерируется к $грамм$ или это $грамм$ это генератор идеала.

Каждый идеал $я$ в кольце гауссовских целых чисел является главным, потому что, если выбрать в $я$ ненулевой элемент $грамм$ минимальной нормы для каждого элемента $Икс$ из $я$ , остаток евклидова деления $Икс$ к $грамм$ принадлежит также $я$ и имеет норму меньше, чем у $грамм$ ; из-за выбора $грамм$ , эта норма равна нулю, а значит, и остаток тоже равен нулю. То есть есть $Икс = qg$ , куда $q$ является частным.

Для любого $грамм$ , идеал, порожденный $грамм$ также порождается любым ассоциировать из $грамм$ , то есть, $грамм, джи, - грамм, - джи$ ; никакой другой элемент не порождает такого же идеала. Поскольку все образующие идеала имеют одинаковую норму, норма идеала норма любого из его образующих.

В некоторых случаях полезно раз и навсегда выбрать генератор для каждого идеала. Есть два классических способа сделать это, и оба рассматривают сначала идеалы нечетной нормы. Если $грамм = а + би$ имеет нечетную норму $а 2 + б 2$ , затем один из $а$ и $б$ нечетное, а другое - четное. Таким образом $грамм$ имеет ровно одного партнера с реальной частью $а$ это странно и положительно. В своей оригинальной статье Гаусс сделал другой выбор, выбрав уникального партнера так, чтобы оставшаяся часть его деления на $2 + 2 я$ является одним. Фактически, как $N (2 + 2 я) = 8$ , норма остатка не превышает 4. Так как эта норма нечетная, а 3 не является нормой гауссовского целого числа, норма остатка равна единице, то есть остаток является единицей. Умножение $грамм$ обратным этой единице, можно найти ассоциата, который имеет единицу в качестве остатка при делении на $2 + 2 я$ .

Если норма $грамм$ четно, то либо $грамм = 2 k час$ или же $грамм = 2 k час (1 + я)$ , куда $k$ положительное целое число, и $N (час)$ странно. Таким образом, выбирается партнер $грамм$ для получения $час$ что соответствует выбору ассоциатов для элементов нечетной нормы.

Простые числа Гаусса

Поскольку целые гауссовы числа образуют главная идеальная область они также образуют уникальная область факторизации. Это означает, что гауссовское целое число равно несводимый (то есть это не продукт двух не подразделения ) тогда и только тогда, когда это основной (то есть генерирует главный идеал ).

В основные элементы из $Z [я]$ также известны как Простые числа Гаусса. Ассоциированный элемент гауссовского простого числа также является гауссовским простым числом. Сопряжение гауссовского простого числа также является гауссовым простым числом (это означает, что гауссовские простые числа симметричны относительно действительной и мнимой осей).

Положительное целое число является гауссовским простым числом тогда и только тогда, когда оно является простое число то есть соответствует 3 по модулю 4 (то есть может быть написано $4 п + 3$ , с $п$ неотрицательное целое число) (последовательность A002145 в OEIS ). Остальные простые числа не являются гауссовскими простыми числами, но каждое является произведением двух сопряженных гауссовских простых чисел.

Целое число Гаусса $а + би$ является гауссовским простым числом тогда и только тогда, когда:

один из $а, б$ равен нулю и абсолютная величина другого - простое число вида $4 п + 3$ (с $п$ неотрицательное целое число), или
оба ненулевые и $а 2 + б 2$ простое число (которое будет нет иметь форму $4 п + 3$ ).

Другими словами, гауссовское целое число является гауссовским простым числом тогда и только тогда, когда либо его норма является простым числом, либо является произведением единицы ( $\pm1, \pm я$ ) и простое число вида $4 п + 3$ .

Отсюда следует, что существует три случая факторизации простого числа $п$ в гауссовых целых числах:

Если $п$ сравнимо с 3 по модулю 4, то это простое число Гаусса; на языке алгебраическая теория чисел, $п$ как говорят инертный в гауссовых целых числах.
Если $п$ сравнимо с 1 по модулю 4, то это произведение гауссовского простого числа на его сопряженное, оба из которых являются несвязанными гауссовскими простыми числами (ни одно из них не является произведением другого на единицу); $п$ считается разложенное простое число в гауссовых целых числах. Например, $5 = (2 + я)(2 - я)$ и $13 = (3 + 2 я)(3 - 2 я)$ .
Если $п = 2$ , у нас есть $2 = (1 + я)(1 - я) = я (1 - я) 2$ ; то есть 2 - произведение квадрата гауссовского простого числа на единицу; это уникальный разветвленный премьер в гауссовых целых числах.

Уникальная факторизация

Что касается каждого уникальная область факторизации, каждое целое гауссовское число может быть разложено на множители как произведение единица измерения и гауссовские простые числа, и эта факторизация уникальна до порядка множителей и замены любого простого числа любым из его ассоциированных (вместе с соответствующим изменением единичного множителя).

Если раз и навсегда выбрать фиксированное гауссовское простое число для каждого класс эквивалентности связанных простых чисел, и если при факторизации используются только эти выбранные простые числа, то получается факторизация простых чисел, которая уникальна до порядка множителей. С варианты, описанные выше, полученная уникальная факторизация имеет вид

{ displaystyle u (1 + i) ^ {e_ {0}} {p_ {1}} ^ {e_ {1}} cdots {p_ {k}} ^ {e_ {k}},}

куда $ты$ единица (то есть $ты \in {1, -1, я, - я}$ ), $е 0$ и $k$ неотрицательные целые числа, $е 1, \dots, е k$ положительные целые числа, и $п 1, \dots, п k$ - различные гауссовские простые числа, такие что, в зависимости от выбора выбранных ассоциатов,

либо $п k = а k + ib k$ с $а$ странно и положительно, и $б$ четное,
или остаток евклидова деления $п k$ к $2 + 2 я$ равно 1 (это первоначальный выбор Гаусса^[5]).

Преимущество второго выбора состоит в том, что выбранные партнеры хорошо себя ведут под произведениями для гауссовских целых чисел нечетной нормы. С другой стороны, выбранный ассоциированный элемент для вещественных гауссовских простых чисел - отрицательные целые числа. Например, факторизация 231 в целых числах и с первым выбором партнеров будет 3 × 7 × 11, пока это (–1) × (–3) × (–7) × (–11) со вторым выбором.

Гауссовские рациональные числа

В поле из Гауссовские рациональные числа это поле дробей кольца целых гауссовских чисел. Он состоит из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых равны рациональный.

Кольцо гауссовских целых чисел - это целостное закрытие целых чисел в гауссовских рациональных числах.

Это означает, что гауссовские целые числа квадратичные целые числа и что гауссовское рациональное число является гауссовским целым числом тогда и только тогда, когда оно является решением уравнения

{ displaystyle x ^ {2} + cx + d = 0,}

с $c$ и $d$ целые числа. Фактически $а + би$ является решением уравнения

{ displaystyle x ^ {2} -2ax + a ^ {2} + b ^ {2},}

и это уравнение имеет целые коэффициенты тогда и только тогда, когда $а$ и $б$ оба являются целыми числами.

Наибольший общий делитель

Что касается любого уникальная область факторизации, а наибольший общий делитель (gcd) двух целых гауссовских чисел $а, б$ является целым гауссовским числом $d$ это общий делитель $а$ и $б$ , которая имеет все общие делители $а$ и $б$ как делитель. То есть (где $|$ обозначает делимость связь),

$d | а$ и $d | б$ , и
$c | а$ и $c | б$ подразумевает $c | d$ .

Таким образом, величайший подразумевается относительно отношения делимости, а не для упорядочивания кольца (для целых чисел оба значения величайший совпадают).

С технической точки зрения, наибольший общий делитель $а$ и $б$ это генератор из идеальный создано $а$ и $б$ (эта характеристика действительна для области главных идеалов, но не для уникальных областей факторизации).

Наибольший общий делитель двух целых гауссовских чисел не единственен, но определяется с точностью до умножения на единица измерения. То есть с учетом наибольшего общего делителя $d$ из $а$ и $б$ , наибольшие общие делители $а$ и $б$ находятся $d, - d, я бы$ , и $- я бы$ .

Существует несколько способов вычисления наибольшего общего делителя двух целых гауссовских чисел. $а$ и $б$ . Когда известно разложение на простые множители $а$ и $б$ ,

{ displaystyle a = i ^ {k} prod _ {m} {p_ {m}} ^ { nu _ {m}}, quad b = i ^ {n} prod _ {m} {p_ { m}} ^ { mu _ {m}},}

где простые числа $п м$ попарно не ассоциированы, а показатели $μ м$ неассоциированный, наибольший общий делитель равен

{ displaystyle prod _ {m} {p_ {m}} ^ { lambda _ {m}},}

с

{ displaystyle lambda _ {m} = min ( nu _ {m}, mu _ {m}).}

К сожалению, за исключением простых случаев, разложение на простые множители трудно вычислить, и Евклидов алгоритм приводит к гораздо более простым (и быстрым) вычислениям. Этот алгоритм заключается в замене входного $(а, б)$ к $(б, р)$ , куда $р$ остаток от евклидова деления $а$ к $б$ , и повторяя эту операцию до получения нулевого остатка, то есть пары $(d, 0)$ . Этот процесс завершается, потому что на каждом шаге норма второго гауссовского целого числа уменьшается. Результирующий $d$ является наибольшим общим делителем, потому что (на каждом шаге) $б$ и $р = а - бк$ имеют те же делители, что и $а$ и $б$ , а значит, и тот же самый большой общий делитель.

Этот метод вычисления работает всегда, но он не так прост, как для целых чисел, потому что евклидово деление более сложно. Поэтому для рукописных вычислений часто предпочитают третий метод. Он состоит в том, чтобы отметить, что норма $N (d)$ наибольшего общего делителя $а$ и $б$ является общим делителем $N (а)$ , $N (б)$ , и $N (а + б)$ . Когда наибольший общий делитель $D$ из этих трех целых чисел имеет несколько множителей, тогда легко проверить на общий делитель все гауссовские целые числа с нормой, делящей $D$ .

Например, если $а = 5 + 3 я$ , и $б = 2 - 8 я$ , надо $N (а) = 34$ , $N (б) = 68$ , и $N (а + б) = 74$ . Поскольку наибольший общий делитель трех норм равен 2, наибольший общий делитель $а$ и $б$ имеет 1 или 2 в качестве нормы. Поскольку гауссовское целое число нормы 2 необходимо связать с $1 + я$ , и, как $1 + я$ разделяет $а$ и $б$ , то наибольший общий делитель равен $1 + я$ .

Если $б$ заменяется его сопряженным $б = 2 + 8 я$ , то наибольший общий делитель трех норм равен 34, норма $а$ , поэтому можно догадаться, что наибольший общий делитель равен $а$ , то есть, что $а | б$ . Фактически, есть $2 + 8 я = (5 + 3 я)(1 + я)$ .

Конгруэнции и классы остатков

Учитывая гауссовское целое число $z 0$ , называется модуль, два целых гауссовских числа $z 1, z 2$ находятся конгруэнтный по модулю $z 0$ , если их разница кратна $z 0$ , то есть если существует гауссовское целое число $q$ такой, что $z 1 - z 2 = qz 0$ . Другими словами, два целых гауссовских числа конгруэнтны по модулю $z 0$ , если их разность принадлежит идеальный создано $z 0$ . Это обозначается как $z 1 \equiv z 2 (мод z 0)$ .

Сравнение по модулю $z 0$ является отношение эквивалентности (также называемый отношение конгруэнтности ), что определяет раздел целых гауссовских чисел в классы эквивалентности, называется здесь классы конгруэнтности или же классы остатков. Множество классов вычетов обычно обозначают $Z [я]/ z 0 Z [я]$ , или же $Z [я]/⟨ z 0 ⟩$ , или просто $Z [я]/ z 0$ .

Класс вычетов гауссовского целого числа $а$ это набор

{ displaystyle { bar {a}}: = left {z in mathbf {Z} [i] mid z Equiv a { pmod {z_ {0}}} right }}

всех гауссовских целых чисел, конгруэнтных $а$ . Следует, что $а = б$ если и только если $а \equiv б (мод z 0)$ .

Сложение и умножение совместимы со сравнениями. Это означает, что $а 1 \equiv б 1 (мод z 0)$ и $а 2 \equiv б 2 (мод z 0)$ подразумевать $а 1 + а 2 \equiv б 1 + б 2 (мод z 0)$ и $а 1 а 2 \equiv б 1 б 2 (мод z 0)$ Это определяет четко определенные операции (что не зависит от выбора представителей) на классах вычетов:

{ displaystyle { bar {a}} + { bar {b}}: = { overline {a + b}} quad { text {and}} quad { bar {a}} cdot { bar {b}}: = { overline {ab}}.}

С помощью этих операций классы вычетов образуют коммутативное кольцо, то кольцо частного гауссовских целых чисел идеалом, порожденным $z 0$ , который также традиционно называют кольцо классов вычетов по модулю $z 0$ (подробнее см. Факторное кольцо ).

Примеры

Имеется ровно два класса вычетов для модуля $1 + я$ , а именно $0 = {0, \pm2, \pm4,\dots,\pm1 \pm я, \pm3 \pm я,\dots}$ (все кратные $1 + я$ ), и $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,\dots, \pm я, \pm2 \pm я,\dots}$ , которые образуют узор шахматной доски на комплексной плоскости. Таким образом, эти два класса образуют кольцо с двумя элементами, которое, по сути, является поле, единственное (с точностью до изоморфизма) поле с двумя элементами и, таким образом, может быть отождествлено с целые числа по модулю 2. Эти два класса можно рассматривать как обобщение разбиения целых чисел на четные и нечетные целые числа. Таким образом, можно говорить о четное и странный Целые числа Гаусса (Гаусс разделил четные целые числа Гаусса на четное, который делится на 2, и половинчатый).
Для модуля 2 существует четыре класса вычетов, а именно $0, 1, я, 1 + я$ . Они образуют кольцо с четырьмя элементами, в котором $Икс = - Икс$ для каждого $Икс$ . Таким образом, это кольцо не изоморфный с кольцом целых чисел по модулю 4, еще одно кольцо с четырьмя элементами. Надо $1 + я 2 = 0$ , а значит, это кольцо не конечное поле с четырьмя элементами, ни прямой продукт двух экземпляров кольца целых чисел по модулю 2.
Для модуля $2 + 2i = (я - 1) 3$ существует восемь классов вычетов, а именно $0, \pm1, \pm я, 1 \pm я, 2$ , из которых четыре содержат только четные целые гауссовы числа, а четыре содержат только нечетные целые гауссовы числа.

Описание классов остатков

Все 13 классов вычетов с их минимальными вычетами (синие точки) в квадрате

Q 00

(светло-зеленый фон) для модуля

z 0 = 3 + 2 я

. Один класс остатков с

z = 2 - 4 я \equiv - я (мод z 0)

выделяется желтыми / оранжевыми точками.

Учитывая модуль $z 0$ , все элементы класса вычетов имеют одинаковый остаток от евклидова деления на $z 0$ при условии, что используется деление с уникальным частным и остатком, которое описано над. Таким образом, перечисление классов остатков эквивалентно перечислению возможных остатков. Геометрически это можно сделать следующим образом.

в комплексная плоскость можно рассматривать квадратная сетка, квадраты которого разделены двумя линиями

{ Displaystyle { begin {align} V_ {s} & = left { left.z_ {0} left (s - { tfrac {1} {2}} + ix right) right vert x in mathbf {R} right } quad { text {and}} H_ {t} & = left { left.z_ {0} left (x + i left (t - { tfrac {1} {2}} right) right) right vert x in mathbf {R} right }, end {выравнивается}}}

с $s$ и $т$ целые числа (синие линии на рисунке). Они делят самолет на полуоткрытый квадраты (где $м$ и $п$ целые числа)

{ Displaystyle Q_ {mn} = left {(s + it) z_ {0} left vert s in left [м - { tfrac {1} {2}}, м + { tfrac {1} } {2}} right), t in left [n - { tfrac {1} {2}}, n + { tfrac {1} {2}} right) right. Right }. }

Полуоткрытые интервалы, входящие в определение $Q млн$ были выбраны таким образом, чтобы каждое комплексное число принадлежало ровно одному квадрату; то есть квадраты $Q млн$ сформировать раздел комплексной плоскости. Надо

{ displaystyle Q_ {mn} = (m + in) z_ {0} + Q_ {00} = left {(m + in) z_ {0} + z mid z in Q_ {00} right }.}

Отсюда следует, что каждое целое гауссовское число конгруэнтно по модулю $z 0$ к единственному целому гауссовскому числу в $Q 00$ (зеленый квадрат на рисунке), остаток от деления на $z 0$ . Другими словами, каждый класс остатков содержит ровно один элемент в $Q 00$ .

Целые гауссовы числа в $Q 00$ (или в его граница ) иногда называют минимальные остатки потому что их норма не превышает нормы любого другого гауссовского целого числа в том же классе вычетов (Гаусс назвал их абсолютно мельчайшие остатки).

Из этого можно вывести из геометрических соображений, что количество классов вычетов по модулю целого гауссовского $z 0 = а + би$ соответствует его норме $N (z 0) = а 2 + б 2$ (см. ниже для доказательства; аналогично для целых чисел количество классов вычетов по модулю $п$ его абсолютное значение $| п |$ ).

Доказательство —

Соотношение $Q млн = (м + в) z 0 + Q 00$ означает, что все $Q млн$ получены из $Q 00$ к Идет перевод это гауссовское целое число. Это означает, что все $Q млн$ иметь такую же площадь $N = N (z 0)$ , и содержат такое же число $п грамм$ гауссовских целых чисел.

Как правило, количество узлов сетки (здесь целые числа Гаусса) в произвольном квадрате с площадью $А$ является $А + Θ (\sqrt А)$ (видеть Большая тета для обозначений). Если рассматривать большой квадрат, состоящий из $k \times k$ квадраты $Q млн$ , то он содержит $k 2 N + О (k \sqrt N)$ точки сетки. Следует $k 2 п грамм = k 2 N + Θ (k \sqrt N)$ , и поэтому $п грамм = N + Θ (\sqrt N / k)$ , после деления на $k 2$ . Принимая предел, когда $k$ стремится к бесконечности дает $п грамм = N = N (z 0)$ .

Поля класса остатка

Кольцо классов вычетов по модулю целого гауссова числа $z 0$ это поле если и только если ${ displaystyle z_ {0}}$ гауссово простое число.

Если $z 0$ разложенное простое число или разветвленное простое число $1 + я$ (то есть, если его норма $N (z 0)$ - простое число, равное либо 2, либо простому числу, сравнимому с 1 по модулю 4), то поле классов вычетов имеет простое число элементов (т. е. $N (z 0)$ ). Таким образом изоморфный в поле целых чисел по модулю $N (z 0)$ .

Если же, с другой стороны, $z 0$ инертное простое число (то есть $N (z 0) = п 2$ квадрат простого числа, сравнимого с 3 по модулю 4), то поле классов вычетов имеет $п 2$ элементы, и это расширение степени 2 (единственная с точностью до изоморфизма) основное поле с $п$ элементы (целые числа по модулю $п$ ).

Группа классов примитивных вычетов и функция Эйлера

Многие теоремы (и их доказательства) для модулей целых чисел можно напрямую перенести на модули целых чисел Гаусса, если заменить абсолютное значение модуля нормой. Это особенно актуально для группа классов примитивных вычетов (также называемый мультипликативная группа целых чисел по модулю $п$ ) и Функция Эйлера. Группа классов примитивных вычетов модуля $z$ определяется как подмножество его классов вычетов, которое содержит все классы вычетов $а$ которые взаимно просты с $z$ , т.е. $(а, z) = 1$ . Очевидно, эта система строит мультипликативная группа. Количество его элементов обозначим $ϕ (z)$ (аналогично тотент-функции Эйлера $φ (п)$ для целых чисел $п$ ).

Для гауссовских простых чисел немедленно следует, что $ϕ (п) = | п | 2 - 1$ и для произвольных составных целых гауссовских чисел

{ Displaystyle г = я ^ {к} прод _ {м} {р_ {м}} ^ { ню _ {м}}}

Формула произведения Эйлера можно получить как

{ displaystyle phi (z) = prod _ {m , ( nu _ {m}> 0)} | {p_ {m}} ^ { nu _ {m}} | ^ {2} left (1 - { frac {1} {| p_ {m} | ^ {2}}} right) = | z | ^ {2} prod _ {p_ {m} | z} left (1- { frac {1} {| p_ {m} | ^ {2}}} right)}

где произведение строится по всем простым делителям $п м$ из $z$ (с $ν м > 0$ ). Также важно теорема Эйлера могут быть переданы напрямую:

Для всех

а

с

(а, z) = 1

, считается, что

а ϕ (z) \equiv 1 (мод z)

.

Историческое прошлое

Кольцо целых гауссовских чисел было введено Карл Фридрих Гаусс в своей второй монографии по четверная взаимность (1832).^[6] Теорема о квадратичная взаимность (которое ему впервые удалось доказать в 1796 году) связывает разрешимость сравнения $Икс 2 \equiv q (мод п)$ к тому из $Икс 2 \equiv п (мод q)$ . Точно так же кубическая взаимность связывает разрешимость $Икс 3 \equiv q (мод п)$ к тому из $Икс 3 \equiv п (мод q)$ , а биквадратная (или квартичная) взаимность - это отношение между $Икс 4 \equiv q (мод п)$ и $Икс 4 \equiv п (мод q)$ . Гаусс обнаружил, что закон биквадратной взаимности и его дополнения легче сформулировать и доказать как утверждения о «целых комплексных числах» (т. Е. Гауссовских целых числах), чем как утверждения об обычных целых числах (т.е. целых числах).

В сноске он отмечает, что Целые числа Эйзенштейна являются естественной областью для формулирования и доказательства результатов по кубическая взаимность и указывает на то, что подобные расширения целых чисел являются подходящими областями для изучения высших законов взаимности.

Эта статья не только ввела гауссовские целые числа и доказала, что они являются уникальной областью факторизации, но также ввела термины норма, единица, примар и ассоциация, которые теперь являются стандартными в алгебраической теории чисел.

Нерешенные проблемы

Распределение малых гауссовских простых чисел в комплексной плоскости

Большинство нерешенных проблем связано с распределением гауссовых простых чисел на плоскости.

Проблема круга Гаусса не имеет дело с гауссовыми целыми числами как таковыми, а вместо этого запрашивает количество точки решетки внутри круга заданного радиуса с центром в начале координат. Это эквивалентно определению количества целых чисел Гаусса с нормой меньше заданного значения.

Есть также предположения и нерешенные проблемы о простых гауссовских числах. Два из них:

Реальная и мнимая оси имеют бесконечный набор гауссовских простых чисел 3, 7, 11, 19, ... и их партнеров. Существуют ли какие-либо другие прямые, на которых бесконечно много гауссовских простых чисел? В частности, существует ли бесконечно много гауссовских простых чисел вида $1 + ки$ ?^[7]
Можно ли дойти до бесконечности, используя простые числа Гаусса в качестве ступенек и делая шаги равномерно ограниченной длины? Это известно как Гауссов ров проблема; он был поставлен в 1962 году Бэзил Гордон и остается нерешенным.^[8]^[9]

Смотрите также

Алгебраическое целое число
Целое число Эйзенштейна
Эйзенштейн простое
Кватернион Гурвица
Кольцо Куммера
Доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов
Доказательства квадратичной взаимности
Квадратичное целое число
Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа описывает структуру простых идеалов в целых гауссовских числах
Таблица гауссовских целочисленных факторизаций

Примечания

^ ^а ^б Фрали (1976), п. 286)
^ Фрали (1976), п. 289)
^ Фрали (1976), п. 288)
^ Фрали (1976), п. 287)
^ Карл Фридрих Гаусс, Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik, Springer, Berlin 1889, p. 546 (на немецком языке) [1]
^ http://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2
^ Рибенбойм, гл.III.4.D гл. 6.II, гл. 6.IV (гипотеза Харди и Литтлвуда E и F)
^ Гетнер, Эллен; Вагон, Стан; Вик, Брайан (1998). «Прогулка по простым числам Гаусса». Американский математический ежемесячник. 105 (4): 327–337. Дои:10.2307/2589708. МИСТЕР 1614871. Zbl 0946.11002.
^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. С. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

внешняя ссылка

Сборник ИМО текст о квадратичных расширениях и гауссовских целых числах при решении задач
Кейт Конрад, Гауссовские целые числа.

[Fraleigh_1976_286-1] а ^б Фрали (1976), п. 286)

[2] Фрали (1976), п. 289)

[3] Фрали (1976), п. 288)

[4] Фрали (1976), п. 287)

[5] Карл Фридрих Гаусс, Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik, Springer, Berlin 1889, p. 546 (на немецком языке) [1]

[6] ttp://www.ems-ph.org/journals/show_pdf.php?issn=0013-6018&vol=53&iss=1&rank=2

[7] Рибенбойм, гл.III.4.D гл. 6.II, гл. 6.IV (гипотеза Харди и Литтлвуда E и F)

[8] Гетнер, Эллен; Вагон, Стан; Вик, Брайан (1998). «Прогулка по простым числам Гаусса». Американский математический ежемесячник. 105 (4): 327–337. Дои:10.2307/2589708. МИСТЕР 1614871. Zbl 0946.11002.

[9] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. С. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллай Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел