Египетская фракция - Egyptian fraction

В Математический папирус Райнда

An Египетская фракция конечная сумма различных единицы измерения, Такие как

${ displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {16}}.}$

То есть каждый дробная часть в выражении есть числитель равный 1 и a знаменатель это положительно целое число, и все знаменатели отличаются друг от друга. Значением выражения этого типа является положительный Рациональное число а/б; например, указанная выше египетская фракция составляет 43/48. Каждое положительное рациональное число может быть представлено египетской дробью. Суммы этого типа и подобные суммы, также включающие 2/3 и 3/4, как слагаемые, использовались в качестве серьезного обозначения рациональных чисел древними египтянами и продолжали использоваться другими цивилизациями до средневековья. В современных математических обозначениях египетские дроби были заменены на пошлые фракции и десятичный обозначение. Однако египетские фракции продолжают оставаться объектом изучения в современных теория чисел и развлекательная математика, а также в современных исторических исследованиях древняя математика.

Мотивирующие приложения

Помимо исторического использования, египетские дроби имеют некоторые практические преимущества перед другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь в делении ряда объектов на равные доли (Knott). Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 посетителями, египетская фракция

${ displaystyle { frac {5} {8}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {8}}}$

означает, что каждый посетитель получает половину пиццы плюс еще одна восьмая пиццы, например разделив 4 пиццы на 8 половинок, а оставшуюся пиццу на 8 восьмых.

Точно так же, хотя можно разделить 13 пицц между 12 посетителями, дав каждому посетителю по одной пицце и разделив оставшуюся пиццу на 12 частей (возможно, уничтожив ее), можно заметить, что

${ displaystyle { frac {13} {12}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {4}}}$

и разделить 6 пицц на половинки, 4 на трети и оставшиеся 3 на четвертинки, а затем дать каждому посетителю половину, одну треть и одну четверть.

Ранняя история

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. Египетские цифры, Глаз Гора, и Египетская математика.

Глаз Гора

Обозначение египетской дроби было разработано в Среднее царство Египта, изменяя Старое Королевство Глаз Гора система счисления. Пять ранних текстов, в которых фигурируют египетские дроби, были Рулон египетской математической кожи, то Московский математический папирус, то Папирус Рейснера, то Кахун Папирус и Ахмим Деревянная Табличка. Более поздний текст, Математический папирус Райнда, введены улучшенные способы записи египетских дробей. Папирус Райнда был написан Ахмес и датируется Второй промежуточный период; он включает таблица разложения египетских дробей для рациональных чисел 2 /п, а также 84 текстовые задачи. Решения каждой задачи были записаны в стенографической форме, а окончательные ответы на все 84 задачи были выражены в египетской системе счисления дробей. 2 /п таблицы, подобные той, что есть на папирусе Райнда, также встречаются в некоторых других текстах. Однако, как Кахун Папирус шоу, пошлые фракции также использовались писцами в своих расчетах.

Обозначение

Чтобы записать дробные единицы, используемые в их египетском обозначении дробей, иероглифом, египтяне поместили иероглиф

(э, «[один] среди» или, возможно, повторно, рот) над числом, чтобы представить взаимный из этого числа. Точно так же в иератическом сценарии они чертили линию над буквой, представляющей число. Например:

${ displaystyle = { frac {1} {3}}}$

${ displaystyle = { frac {1} {10}}}$

У египтян были специальные символы для 1/2, 2/3 и 3/4, которые использовались для уменьшения размера чисел больше 1/2, когда такие числа преобразовывались в египетский ряд дробей. Оставшееся число после вычитания одной из этих специальных дробей было записано как сумма различных единичных дробей в соответствии с обычным египетским обозначением дробей.

${ displaystyle = { frac {1} {2}}}$

${ displaystyle = { frac {2} {3}}}$

${ displaystyle = { frac {3} {4}}}$

Египтяне также использовали альтернативную нотацию, измененную по сравнению с Древним Царством, для обозначения специального набора дробей формы 1/2.^k (за k = 1, 2, ..., 6) и суммы этих чисел, которые обязательно равны диадические рациональные числа. Они были названы «фракциями Гора-Глаза» после теории (ныне дискредитированной)^[1] что они были основаны на частях Глаз Гора Они использовались в Среднем Царстве в сочетании с более поздним обозначением египетских дробей для подразделения гекат, основная мера объема в Древнем Египте для зерна, хлеба и других небольших объемов, как описано в Ахмим Деревянная Табличка. Если какой-либо остаток оставался после выражения количества в долях геката в Глазе Гора, остаток записывался с использованием обычного египетского обозначения дроби как кратного числа ро, единица, равная 1/320 геката.

Методы расчета

Современные историки математики изучили папирус Райнда и другие древние источники в попытке открыть методы, которые египтяне использовали для вычисления с египетскими дробями. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц разложений для чисел вида 2 /п в папирусе Райнда. Хотя эти расширения обычно можно описать как алгебраические тождества, методы, используемые египтянами, могут не соответствовать непосредственно этим тождествам. Кроме того, расширения в таблице не соответствуют ни одной идентичности; скорее, разные личности соответствуют расширениям для основной и для составной знаменатели, и более одной идентичности подходят числам каждого типа:

• Для малых нечетных простых знаменателей п, расширение 2/п = 1/((п + 1) / 2) + 1/п((п + 1) / 2) использовался.
• Для больших простых знаменателей расширение формы 2/п = 1/А + (2А − п)/Ap был использован, где А число с множеством делителей (например, практический номер ) между п/ 2 и п. Оставшийся срок (2А − п)/Ap был расширен путем представления числа (2А − п)/Ap как сумму делителей А и образуя фракцию d/Ap для каждого такого делителя d в этой сумме.^[2] Например, расширение Ахмеса 1/24 + 1/111 + 1/296 для 2/37 соответствует этому шаблону с А = 24 и (2А − п)/Ap = 11 = 3 + 8, в качестве 1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/(24 × 37) + 8/(24 × 37). Может быть много разных расширений этого типа для данного п; однако, как заметил К.С. Браун, расширение, выбранное египтянами, часто приводило к тому, что наибольший знаменатель был как можно меньше среди всех расширений, соответствующих этой схеме.
• Для составных знаменателей, разложенных на множители как п×q, можно расширить 2 /pq используя тождество 2 /pq = 1/водный + 1/apq, куда а = (п+1) / 2. Например, применяя этот метод для pq = 21 дает п = 3, q = 7 и а = (3 + 1) / 2 = 2, что дает расширение 2/21 = 1/14 + 1/42 из папируса Ринда. Некоторые авторы предпочли написать это расширение как 2 /А × А/pq, куда А = п+1;^[3] заменив второй член этого продукта на п/pq + 1/pq, применение закона распределения к продукту и упрощение приводит к выражению, эквивалентному описанному здесь первому разложению. Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Райнда,^[4] но есть исключения, а именно 2/35, 2/91 и 2/95.^[5]
• Также можно расширить 2 /pq как 1 /пр + 1/qr, куда р = (п+q) / 2. Например, Ахмес расширяется на 2/35 = 1/30 + 1/42, где п = 5, q = 7 и р = (5 + 7) / 2 = 6. Более поздние писцы использовали более общую форму этого расширения, п/pq = 1/пр + 1/qr, куда р =(п + q)/п, который работает, когда п + q кратно п.^[6]
• Для некоторых других составных знаменателей разложение для 2 /pq имеет вид разложения для 2 /q с каждым знаменателем, умноженным на п. Например, 95 = 5 × 19 и 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 (как можно найти, используя метод для простых чисел с А = 12), поэтому 2/95 = 1 / (5 × 12) + 1 / (5 × 76) + 1 / (5 × 114) = 1/60 + 1/380 + 1/570.^[6] Это выражение можно упростить как 1/380 + 1/570 = 1/228, но в папирусе Ринда используется неупрощенная форма.
• Последнее (простое) расширение в папирусе Ринда, 2/101, не соответствует ни одной из этих форм, но вместо этого использует расширение 2 /п = 1/п + 1/2п + 1/3п + 1/6п который может применяться независимо от значения п. То есть 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Соответствующее расширение также использовалось в египетском математическом кожаном рулоне для нескольких случаев.

Позднее использование

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. Liber Abaci и Жадный алгоритм для египетских дробей.

Обозначение египетской дроби продолжало использоваться в греческие времена и в средние века,^[7] несмотря на жалобы еще Птолемей с Альмагест о неуклюжести обозначений по сравнению с альтернативами, такими как Вавилонский обозначение base-60. Важный текст средневековой математики, Liber Abaci (1202) из Леонардо Пизанский (более известный как Фибоначчи), дает некоторое представление об использовании египетских дробей в средние века и вводит темы, которые продолжают оставаться важными в современном математическом исследовании этих рядов.

Основная тема Liber Abaci это вычисления с использованием десятичной и простой записи дробей, которые в конечном итоге заменили египетские дроби. Сам Фибоначчи использовал сложное обозначение дробей, включающее комбинацию смешанный корень запись с суммами дробей. Во многих вычислениях в книге Фибоначчи используются числа, представленные как египетские дроби, и один раздел этой книги^[8] предоставляет список методов преобразования вульгарных дробей в египетские дроби. Если число еще не является единичной дробью, первый метод в этом списке - попытаться разбить числитель на сумму делителей знаменателя; это возможно, если знаменатель практический номер, и Liber Abaci включает таблицы расширений этого типа для практических номеров 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Следующие несколько методов включают алгебраические тождества, такие как ${ displaystyle { tfrac {a} {ab-1}} = { tfrac {1} {b}} + { tfrac {1} {b (ab-1)}}.}$ Например, Фибоначчи представляет собой дробь ${ displaystyle { tfrac {8} {11}}}$ разделив числитель на сумму двух чисел, каждое из которых делит единицу плюс знаменатель: ${ displaystyle { tfrac {8} {11}} = { tfrac {6} {11}} + { tfrac {2} {11}}.}$ Фибоначчи применяет приведенное выше алгебраическое тождество к каждой из этих двух частей, производя расширение${ displaystyle { tfrac {8} {11}} = { tfrac {1} {2}} + { tfrac {1} {22}} + { tfrac {1} {6}} + { tfrac {1} {66}}.}$ Фибоначчи описывает аналогичные методы для знаменателей, которые на два или три меньше числа с множеством факторов.

В том редком случае, когда все эти методы терпят неудачу, Фибоначчи предлагает жадный алгоритм для вычисления египетских дробей, в которых многократно выбирается единичная дробь с наименьшим знаменателем, который не больше, чем оставшаяся дробь, подлежащая расширению: то есть в более современных обозначениях мы заменяем дробь Икс/у расширением

${ displaystyle { frac {x} {y}} = { frac {1} { lceil y / x rceil}} + { frac {(-y) , { bmod {,}} x } {y lceil y / x rceil}},}$

куда ${ Displaystyle lceil ldots rceil}$ представляет функция потолка; поскольку (-y) mod x < Икс, этот метод дает конечное разложение.

Фибоначчи предлагает переключиться на другой метод после первого такого расширения, но он также приводит примеры, в которых это жадное расширение повторялось до тех пор, пока не было построено полное расширение египетской дроби: ${ displaystyle { tfrac {4} {13}} = { tfrac {1} {4}} + { tfrac {1} {18}} + { tfrac {1} {468}}}$ и ${ displaystyle { tfrac {17} {29}} = { tfrac {1} {2}} + { tfrac {1} {12}} + { tfrac {1} {348}}.}$

По сравнению с древнеегипетскими расширениями или более современными методами, этот метод может давать достаточно длинные расширения с большими знаменателями, и сам Фибоначчи отметил громоздкость расширений, полученных этим методом. Например, жадный метод расширяет

${ displaystyle { frac {5} {121}} = { frac {1} {25}} + { frac {1} {757}} + { frac {1} {763309}} + { frac {1} {873960180913}} + { frac {1} {1527612795642093418846225}},}$

в то время как другие методы приводят к более короткому расширению

${ displaystyle { frac {5} {121}} = { frac {1} {33}} + { frac {1} {121}} + { frac {1} {363}}.}$

Последовательность Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807, ... можно рассматривать как генерируемые бесконечным жадным расширением этого типа для числа один, где на каждом шаге мы выбираем знаменатель ${ Displaystyle lfloor y / x rfloor +1}$ вместо ${ Displaystyle lceil у / х rceil}$, а иногда жадный алгоритм Фибоначчи приписывают Сильвестр.

После описания жадного алгоритма Фибоначчи предлагает еще один метод, расширяющий дробь. ${ displaystyle a / b}$ путем поиска числа c имеющий много делителей, с ${ displaystyle b / 2$, заменяя ${ displaystyle a / b}$ к ${ displaystyle ac / bc}$, и расширение ${ displaystyle ac}$ как сумму делителей ${ displaystyle bc}$аналогично методу, предложенному Хульчем и Брюинзом для объяснения некоторых расширений папируса Райнда.

Современная теория чисел

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. Проблема Эрдеша – Грэма, Проблема Знама, и Расширение Энгеля.

Хотя египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные теоретики чисел продолжили изучать множество различных проблем, связанных с ними. К ним относятся проблемы ограничения длины или максимального знаменателя в представлениях египетской дроби, нахождение расширений определенных специальных форм или знаменателей, в которых все имеют какой-либо особый тип, прекращение различных методов расширения египетских дробей и демонстрация того, что расширения существуют для любых достаточно плотный набор достаточно гладкие числа.

• Одна из самых ранних публикаций Пол Эрдёш доказал, что это невозможно гармоническая прогрессия сформировать представление египетской дроби целое число. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии обязательно будет делиться на простое число это не делит никакого другого знаменателя.^[9] Последняя публикация Эрдеша, почти 20 лет спустя после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведением трех простых чисел.^[10]
• В Гипотеза Эрдеша – Грэма в комбинаторная теория чисел утверждает, что, если целые числа больше 1 разбиты на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств имеет конечное подмножество самого себя, сумма обратных чисел которого равна единице. То есть на каждый р > 0, и каждые р-раскраска целых чисел больше единицы, существует конечное монохроматическое подмножество S таких целых чисел, что

${ displaystyle sum _ {n in S} 1 / n = 1.}$

Гипотеза была доказана в 2003 г. Эрнест С. Крут, III.

• Проблема Знама и первичные псевдосовершенные числа тесно связаны с существованием египетских дробей формы

${ displaystyle sum { frac {1} {x_ {i}}} + prod { frac {1} {x_ {i}}} = 1.}$

Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43 и дает египетскую дробь 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1. / 1806.

• Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различными, но это требование может быть ослаблено, чтобы разрешить повторение знаменателей. Однако эта упрощенная форма египетских дробей не позволяет представить любое число с использованием меньшего количества дробей, так как любое расширение с повторяющимися дробями может быть преобразовано в египетскую дробь равной или меньшей длины путем повторного применения замены

${ displaystyle { frac {1} {k}} + { frac {1} {k}} = { frac {2} {k + 1}} + { frac {2} {k (k + 1 )}}}$

если k нечетно, или просто заменив 1 /k+1/k на 2 /k если k даже. Этот результат был впервые доказан Такенучи (1921).

• Грэм и Джуэтт^[11] доказали, что аналогично можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби с помощью замены

${ displaystyle { frac {1} {k}} + { frac {1} {k}} = { frac {1} {k}} + { frac {1} {k + 1}} + { frac {1} {k (k + 1)}}.}$

Этот метод может привести к длинным разложениям с большими знаменателями, например

${ displaystyle { frac {4} {5}} = { frac {1} {5}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {30}} + { frac {1} {31}} + { frac {1} {32}} + { frac {1} {42} } + { frac {1} {43}} + { frac {1} {56}} + { frac {1} {930}} + { frac {1} {931}} + { frac { 1} {992}} + { frac {1} {1806}} + { frac {1} {865830}}.}$

Боттс (1967) первоначально использовал эту технику замены, чтобы показать, что любое рациональное число имеет представления египетской дроби с произвольно большими минимальными знаменателями.

• Любая фракция Икс/у имеет египетское представление дроби, в котором максимальный знаменатель ограничен^[12]

${ Displaystyle О влево (Y журнал у ( журнал журнал у) ^ {4} ( журнал журнал журнал у) ^ {2} справа)}$

и представление с не более чем

${ displaystyle O left ({ sqrt { log y}} right)}$

термины.^[13] Количество терминов иногда должно быть по крайней мере пропорционально ${ displaystyle log log y}$; например, это верно для дробей в последовательности 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ..., знаменатели которых составляют Последовательность Сильвестра. Было высказано предположение, что ${ Displaystyle О ( журнал журнал у)}$ сроков всегда хватает.^[14] Также можно найти представления, в которых как максимальный знаменатель, так и количество членов малы.^[15]

• Грэм (1964) характеризует числа, которые могут быть представлены египетскими дробями, в которых все знаменатели пй полномочия. В частности, рациональное число q может быть представлена ​​как египетская дробь с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов

${ displaystyle left [0, { frac { pi ^ {2}} {6}} - 1 right) cup left [1, { frac { pi ^ {2}} {6}} верно).}$

• Мартин (1999) показал, что любое рациональное число имеет очень плотное разложение, используя постоянную долю знаменателей до N для любого достаточно большого N.
• Расширение Энгеля, иногда называемый Египетский продукт, представляет собой форму расширения египетской дроби, в которой каждый знаменатель кратен предыдущему:

${ displaystyle x = { frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + { frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + cdots.}$

Кроме того, последовательность множителей а_я не убывает. Каждое рациональное число имеет конечное разложение Энгеля, а иррациональные числа имеют бесконечное расширение Энгеля.

• Аншель и Гольдфельд (1991) изучать числа, которые имеют несколько различных египетских представлений дробей с одинаковым количеством членов и одинаковым произведением знаменателей; например, один из примеров, которые они предоставляют, это

${ displaystyle { frac {5} {12}} = { frac {1} {4}} + { frac {1} {10}} + { frac {1} {15}} = { frac {1} {5}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {20}}.}$

В отличие от древних египтян, они позволяют повторять знаменатели в этих расширениях. Они применяют свои результаты для этой проблемы к характеристике бесплатные продукты из Абелевы группы по небольшому количеству числовых параметров: ранг коммутаторная подгруппа, количество терминов в бесплатном продукте и произведение порядков факторов.

• Количество разных п-членные египетские дробные представления числа 1 ограничены сверху и снизу двойные экспоненциальные функции из п.^[16]

Открытые проблемы

Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. странное жадное расширение и Гипотеза Эрдеша – Штрауса.

Некоторые заметные проблемы остаются нерешенными в отношении египетских дробей, несмотря на значительные усилия математиков.

• В Гипотеза Эрдеша – Штрауса^[14] касается длины кратчайшего расширения для дроби вида 4 /п. Делает расширение

${ displaystyle { frac {4} {n}} = { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} + { frac {1} {z}}}$

существуют для каждого п? Известно, что это правда для всех п < 10¹⁴, и для всех, кроме исчезающе малой доли возможных значений п, но общая истинность гипотезы остается неизвестной.

• Неизвестно, был ли странное жадное расширение существует для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицирован так, что он всегда выбирает наименьший возможный странный знаменатель, при каких условиях этот модифицированный алгоритм производит конечное расширение? Очевидно необходимое условие - стартовая дробь Икс/у иметь нечетный знаменатель у, и предполагается, но неизвестно, что это также достаточное условие. Это известно^[17] что каждый Икс/у со странным у имеет разложение на отдельные нечетные единичные дроби, построенные с использованием другого метода, чем жадный алгоритм.
• Можно использовать перебор алгоритмы поиска египетского дробного представления заданного числа с наименьшим возможным количеством членов^[18] или минимизация наибольшего знаменателя; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективными. Существование полиномиальное время алгоритмы решения этих проблем или, в более общем смысле, вычислительная сложность таких проблем остается неизвестным.

Парень (2004) описывает эти проблемы более подробно и перечисляет множество дополнительных открытых проблем.

Другое приложение

Египетские фракции позволяют решить пазл с таймером, в котором заданная продолжительность должна быть измерена путем зажигания неоднородных тросов, которые сгорают через заданное время, скажем, один час. Время, необходимое для полного сжигания веревки, линейно пропорционально количеству фронтов пламени на веревке. Любую рациональную долю одного часа можно рассчитать, найдя эквивалентное расширение египетской фракции и последовательно сжигая веревки с соответствующим количеством фронтов пламени для фракций. Обычное ограничение, заключающееся в том, что каждая фракция отличается, может быть ослаблено.^[19]

Например, для определения времени 40 минут (2/3 часа) мы можем разложить 2/3 на 1/2 + 1/6. Сначала с обоих концов зажигается часовая веревка. Когда через полчаса он перегорает, зажигается еще одна веревка с обоих концов и в любых двух точках между ними, образуя три сегмента, каждый с обоими концами. Когда перегорает какой-либо сегмент, загорается любая точка в оставшемся сегменте, разделяя его на два сегмента, таким образом поддерживая в общей сложности шесть фронтов пламени. Теоретически все сегменты выгорают за 1/6 часа, что дает в общей сложности 2/3 часа, если требуется.

Смотрите также

• Список сумм обратных величин

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Браун, Кевин, Египетские единицы измерения.
• Эппштейн, Дэвид, Египетские фракции.
• Нотт, Рон, Египетские фракции.
• Вайсштейн, Эрик В. «Египетская фракция». MathWorld.
• Жиру, Андре, Египетские фракции и Зеленый, Энрике, Алгоритмы для египетских дробей, Демонстрационный проект Wolfram, на основе программ Дэвид Эппштейн.