Константа Эрдеша – Борвейна - Erdős–Borwein constant

В Константа Эрдеша – Борвейна это сумма взаимные из Числа Мерсенна. Он назван в честь Пол Эрдёш и Питер Борвейн.

По определению это:

${ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} -1}} приблизительно 1.606695152415291763 dots}$^[1]

Эквивалентные формы

Можно доказать, что все следующие формы в сумме дают одну и ту же константу:

${ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n ^ {2}}}} { frac {2 ^ {n} +1} {2 ^ {n} -1}}}$

${ displaystyle E = sum _ {m = 1} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {mn}}}}$

${ displaystyle E = 1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} (2 ^ {n} -1)}}}$

${ displaystyle E = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sigma _ {0} (n)} {2 ^ {n}}}}$

где σ₀(п) = d(п) это делительная функция, а мультипликативная функция что равно количеству положительных делители числа п. Чтобы доказать эквивалентность этих сумм, заметим, что все они имеют вид Серия Ламберта и, следовательно, может быть возобновлен как таковой.^[2]

Иррациональность

Эрдеш в 1948 году показал, что постоянный E является иррациональный номер.^[3] Позже Борвейн представил альтернативное доказательство.^[4]

Несмотря на свою иррациональность, двоичное представление постоянной Эрдеша – Борвейна можно эффективно вычислить.^[5][6]

Приложения

Постоянная Эрдеша – Борвейна встречается в анализ среднего случая из heapsort алгоритм, в котором он контролирует постоянный коэффициент времени выполнения для преобразования несортированного массива элементов в кучу.^[7]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Erdos-Borwein Constant". MathWorld.