Подвеска (топология) - Suspension (topology)

В топология, филиал математика, то приостановка из топологическое пространство Икс интуитивно получается растяжением Икс в цилиндр а затем сворачивание обоих торцов в точки. Один просмотр Икс как «приостановлено» между этими конечными точками.

Космос SX иногда называют невосстановленный, необоснованный, или же бесплатная приостановка из Икс, чтобы отличить его от уменьшенная подвеска ΣИкс из заостренное пространство описано ниже.

Уменьшенная подвеска может быть использована для создания гомоморфизм из гомотопические группы, к которому Теорема Фрейденталя о подвеске применяется. В теория гомотопии, явления, которые сохраняются во взвешенном состоянии, в подходящем смысле составляют теория стабильной гомотопии.

Приостановление круг. Исходное пространство выделено синим цветом, а свернутые конечные точки - зеленым.

Определение и свойства подвески

Учитывая топологическое пространство Икс, приостановление Икс определяется как

${ Displaystyle SX = (Икс раз I) / sim}$

то факторное пространство из товар из Икс с единичный интервал я = [0, 1] по модулю отношение эквивалентности ${ displaystyle sim}$ создано

${ displaystyle (x_ {1}, 0) sim (x_ {2}, 0) { mbox {and}} (x_ {1}, 1) sim (x_ {2}, 1) { mbox { для всех}} x_ {1}, x_ {2} in X.}$

Можно рассматривать подвеску как две шишки на Икс склеены у их основания; это также гомеоморфный к присоединиться ${ Displaystyle X звезда S ^ {0},}$ куда ${ displaystyle S ^ {0}}$ это дискретное пространство с двумя точками.

Грубо говоря S увеличивает размер пространства на единицу: требуется п-сфера для (п + 1) -сфера для п ≥ 0.

Учитывая непрерывная карта ${ displaystyle f: X rightarrow Y,}$ есть непрерывная карта ${ displaystyle Sf: SX rightarrow SY}$ определяется ${ Displaystyle Sf ([x, t]): = [f (x), t],}$ где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности. Это делает ${ displaystyle S}$ в функтор от категория топологических пространств себе.

Пониженная подвеска

Если Икс это заостренное пространство с базовой точкой Икс₀, есть вариант подвески, который иногда бывает полезнее. В уменьшенная подвеска или же приостановка на основе ΣИкс из Икс факторное пространство:

${ displaystyle Sigma X = (X times I) / (X times {0 } cup X times {1 } cup {x_ {0} } times I)}$.

Это эквивалентно взятию SX и сворачивая строку (Икс₀ × я ) соединив два конца в одну точку. Базовая точка отмеченного пространства ΣИкс в качестве класса эквивалентности (Икс₀, 0).

Можно показать, что уменьшенная подвеска Икс гомеоморфен разбить продукт из Икс с единичный круг S¹.

${ Displaystyle Sigma X cong S ^ {1} клин X}$

За хорошо воспитанный пространства, такие как Комплексы CW, уменьшенная подвеска Икс является гомотопический эквивалент к безосновательной подвеске.

Сочетание функторов уменьшенной подвески и петлевого пространства

Σ порождает функтор из категория остроконечных пространств себе. Важным свойством этого функтора является то, что он левый смежный к функтору ${ displaystyle Omega}$ взяв заостренное место ${ displaystyle X}$ к его пространство петли ${ displaystyle Omega X}$. Другими словами, у нас есть естественный изоморфизм

${ displaystyle operatorname {Maps} _ {*} left ( Sigma X, Y right) cong operatorname {Maps} _ {*} left (X, Omega Y right)}$

куда ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ являются заостренными пространствами и ${ displaystyle operatorname {Карты} _ {*}}$ обозначает непрерывные карты, сохраняющие базовые точки. Геометрически это присоединение можно понять следующим образом: ${ displaystyle Sigma X}$ возникает из ${ displaystyle X}$ если заостренный круг присоединен к каждой не базовой точке ${ displaystyle X}$, а базовые точки всех этих окружностей отождествляются и приклеиваются к базовой точке ${ displaystyle X}$. Теперь, чтобы указать карту с точками из ${ displaystyle Sigma X}$ к ${ displaystyle Y}$, нам нужно передать заостренные карты из каждого из этих заостренных кругов в ${ displaystyle Y}$. Это означает, что нам нужно связать каждый элемент ${ displaystyle X}$петля в ${ displaystyle Y}$ (элемент петлевого пространства ${ displaystyle Omega Y}$), а тривиальный цикл должен быть связан с базовой точкой ${ displaystyle X}$: это остроконечная карта из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Omega Y}$. (Необходимо проверить целостность всех задействованных карт.)

Таким образом, примыкание сродни карри, переводя карты декартовых произведений в их карриновую форму, и является примером Двойственность Экмана – Хилтона.

Это примыкание является частным случаем примыкания, описанного в статье о разбивать продукты.

Десуспензия

Десуспензия - операция, частично обратная приостановке.^[1]

Смотрите также

• Конус (топология)
• Присоединиться (топология)

Рекомендации

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii + 544 с. ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0
• В эту статью включены материалы из раздела "Приостановление" на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.