Особая точка кривой - Singular point of a curve

В геометрия, а особая точка на изгиб это тот, где кривая не задается гладкий встраивание параметра. Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые на плоскости можно определить как множество точек (Икс, у), удовлетворяющее уравнению вида ж(Икс, у) = 0, где ж это многочлен функция ж:р²→р. Если ж расширяется как

{displaystyle f = a_ {0} + b_ {0} x + b_ {1} y + c_ {0} x ^ {2} + 2c_ {1} xy + c_ {2} y ^ {2} + точки,}

Если начало координат (0, 0) находится на кривой, то а₀= 0. Если б₁≠ 0, то теорема о неявной функции гарантирует плавную работу час так что кривая имеет вид у=час(Икс) около начала координат. Аналогично, если б₀≠ 0, то существует гладкая функция k так что кривая имеет вид Икс=k(у) около начала координат. В любом случае есть гладкое отображение из р на плоскость, определяющую кривую в окрестности начала координат. Обратите внимание, что в начале координат

{displaystyle b_ {0} = {частичное f вместо частичного x} ,, b_ {1} = {частичное f вместо частичного y},}

так что кривая неособая или обычный в исходной точке, если хотя бы один из частные производные из ж не равно нулю. Особые точки - это те точки на кривой, в которых обе частные производные обращаются в нуль,

{displaystyle f (x, y) = {частичное f вместо частичного x} = {частичное f вместо частичного y} = 0.}

Обычные очки

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и напишите у=mx. потом ж можно написать

{displaystyle f = (b_ {0} + mb_ {1}) x + (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + точки.,}

Если б₀+мб₁ не 0 тогда ж= 0 имеет решение кратности 1 при Икс= 0, а начало координат - точка единственного контакта с линией у=mx. Если б₀+мб₁= 0, тогда ж= 0 имеет решение кратности 2 или больше и прямая у=mx, или же б₀х +б₁y = 0, касается кривой. В этом случае, если c₀+2MC₁+ c₂м² не 0, то кривая имеет точку двойного контакта с у=mx. Если коэффициент Икс², c₀+2MC₁+ c₂м², равно 0, но коэффициент при Икс³ не тогда происхождение точка перегиба кривой. Если коэффициенты при Икс² и Икс³ равны 0, то происхождение называется точка волнистости кривой. Этот анализ может быть применен к любой точке кривой, перемещая оси координат так, чтобы начало координат находилось в данной точке.^[1]

Двойные очки

Три Limaçons иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в Декартовы координаты в качестве

{displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -x) ^ {2} = (1.5) ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}),}

левая кривая приобретает узел в начале координат, который является изолированной точкой на плоскости. Центральная кривая, кардиоидный, имеет острие в начале координат. Правая кривая имеет кранод в начале координат, и кривая пересекает себя, образуя петлю.

Если б₀ и б₁ равны 0 в приведенном выше расширении, но хотя бы один из c₀, c₁, c₂ не 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положив у=mx, ж можно написать

{displaystyle f = (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + (d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2 } + d_ {3} m ^ {3}) x ^ {3} + точки.,}

Двойные точки можно классифицировать по решениям c₀+2mc₁+м²c₂=0.

Crunodes

Если c₀+2mc₁+м²c₂= 0 имеет два действительных решения для м, то есть если c₀c₂−c₁²<0, то начало координат называется Crunode. Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения c₀+2mc₁+м²c₂= 0. Функция ж имеет точка перевала в происхождении в этом случае.

Acnodes

Если c₀+2mc₁+м²c₂= 0 не имеет реальных решений для м, то есть если c₀c₂−c₁²> 0, то начало координат называется узел. В реальной плоскости начало координат - это изолированная точка на кривой; однако, если рассматривать ее как сложную кривую, начало координат не изолировано и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям c₀+2mc₁+м²c₂= 0. Функция ж имеет локальный экстремум в происхождении в этом случае.

Куспиды

Если c₀+2mc₁+м²c₂= 0 имеет единственное решение кратности 2 при м, то есть если c₀c₂−c₁²= 0, то начало координат называется куспид. Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет единственную касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация

Период, термин узел используется для обозначения crunode или acnode, другими словами, двойной точки, которая не является куспидом. Количество узлов и количество выступов на кривой - два инварианта, используемых в Формулы Плюккера.

Если одно из решений c₀+2mc₁+м²c₂= 0 также является решением d₀+3мд₁+3м²d₂+м³d₃= 0, то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется флекнод. Если обе касательные обладают этим свойством, значит c₀+2mc₁+м²c₂ фактор d₀+3мд₁+3м²d₂+м³d₃, то начало координат называется бифлекноз.^[2]

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в начале координат:

{displaystyle x (t) = sin 2t + cos t, quad}

{displaystyle y (t) = sin t + cos 2t}

В общем, если все члены степени меньше k равны 0, и хотя бы один член степени k не 0 в ж, то говорят, что кривая имеет несколько точек порядка k или точка k-ple. Кривая в целом будет иметь k касательные в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть воображаемыми.^[3]

Параметрические кривые

А параметризованный кривая в р² определяется как изображение функции грамм:р→р², грамм(т) = (грамм₁(т),грамм₂(т)). Особые точки - это те точки, в которых

{displaystyle {dg_ {1} over dt} = {dg_ {2} over dt} = 0.}

Куспид в полукубическая парабола

{displaystyle y ^ {2} = x ^ {3}}

Многие кривые могут быть определены любым способом, но эти два определения могут не совпадать. Например, куспид можно определить на алгебраической кривой, Икс³−у² = 0, или на параметризованной кривой, грамм(т) = (т²,т³). Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако узел такой как у у²−Икс³−Икс² = 0 в начале координат является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем ее как грамм(т) = (т²−1,т(т²−1)), то грамм′(т) никогда не обращается в нуль, поэтому узел нет особенность параметризованной кривой, как определено выше.

При выборе параметризации следует соблюдать осторожность. Например прямая линия у = 0 можно параметризовать грамм(т) = (т³, 0), имеющая особенность в нуле. Когда параметризовано грамм(т) = (т, 0) неособая. Следовательно, технически правильнее обсуждать особые точки гладкого отображения а не особая точка кривой.

Приведенные выше определения могут быть расширены для охвата скрытый кривые которые определяются как нулевое множество ж⁻¹(0) из гладкая функция, и необязательно рассматривать только алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены для охвата кривых в более высоких измерениях.

Теорема о Хасслер Уитни ^[4]^[5] состояния

Теорема. Любой закрытый набор в р^п происходит как набор решений ж⁻¹(0) для некоторых гладкий функция ж:р^п→р.

Любую параметризованную кривую также можно определить как неявную кривую, а классификацию особых точек кривых можно изучить как классификацию особая точка алгебраического многообразия.

Типы особых точек

Вот некоторые из возможных особенностей:

Изолированная точка: Икс²+у² = 0, an узел
Пересечение двух линий: Икс²−у² = 0, а Crunode
А куспид: Икс³−у² = 0, также называемый колючка
А такнод: Икс⁴−у² = 0
Рамфоидный бугорок: Икс⁵−у² = 0.