Проективная рамка - Projective frame - Wikipedia

В математика, а точнее в проективная геометрия, а проекционная рамка или же проективная основа это кортеж точек в проективное пространство что можно использовать для определения однородные координаты в этом пространстве. Точнее, в проективном пространстве размерности п, проективный репер - это п + 2-набор точек такой, что ни одна гиперплоскость не содержит п + 1 их. Проективный фрейм иногда называют симплекс,[1] хотя симплекс в пространстве измерения п имеет самое большее п + 1 вершины.

В этой статье только проективные пространства над полем K рассматриваются, хотя большинство результатов можно обобщить на проективные пространства над делительное кольцо.

Позволять п(V) быть проективным пространством размерности п, куда V это K-векторное пространство измерения п + 1. Позволять - каноническая проекция, отображающая ненулевой вектор v в соответствующую точку п(V), которая представляет собой векторную линию, содержащую v.

Каждый кадр п(V) можно записать как для некоторых векторов из V. Из определения следует существование ненулевых элементов K такой, что . Замена к за и к , получаем следующую характеристику кадра:

п + 2 точки п(V) сформировать фрейм тогда и только тогда, когда они являются изображением п основы V и сумма его элементов.

Более того, две базы определяют один и тот же фрейм таким образом, тогда и только тогда, когда элементы второй являются произведениями элементов первой на фиксированный ненулевой элемент K.

В качестве омографии из п(V) индуцированы линейными эндоморфизмами V, отсюда следует, что для данных двух фреймов существует ровно одна гомография, отображающая первую во вторую. В частности, единственной гомографией, фиксирующей точки кадра, является карта идентичности. Этот результат намного сложнее в синтетическая геометрия (где проективные пространства определены через аксиомы). Иногда его называют первая основная теорема проективной геометрии.[2]

Каждый кадр можно записать как куда является основой V. В проективные координаты или же однородные координаты точки п(v) над этой рамкой - координаты вектора v на основании Если изменить векторы, представляющие точку п(v) и элементы кадра, координаты умножаются на фиксированный ненулевой скаляр.

Обычно проективное пространство пп(K) = п(Kп+1) Считается. Оно имеет каноническая рамка состоящий из изображения п канонической основы Kп+1 (состоящий из элементов, имеющих только одну ненулевую запись, равную 1), и (1, 1, ..., 1). Исходя из этого, однородные координаты п(v) являются просто элементами (коэффициентами) v.

Учитывая другое проективное пространство п(V) того же измерения п, и рама F из него есть ровно одна омография час отображение F на канонические рамки п(Kп+1). Проективные координаты точки а на раме F - однородные координаты час(а) на канонической основе пп(K).

В случае проективной прямой рамка состоит из трех различных точек. Если п1(K) отождествляется с K с бесконечно удаленной точкой добавлен, то его каноническая рамка (∞, 0, 1). Учитывая любой кадр (а0, а1, а2) проективные координаты точки аа0 находятся (р, 1), куда р это перекрестное соотношение (а, а2; а1, а0). Если а = а0, поперечное отношение равно бесконечности, а проективные координаты равны (1,0).

Рекомендации

  1. ^ Баер, п. 66
  2. ^ Бергер, Глава 6
  • Baer, ​​Reinhold (2005) [Впервые опубликовано в 1952 году], Линейная алгебра и проективная геометрия, Дувр, ISBN  9780486445656
  • Бергер, Марсель (2009), Геометрия I, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-11658-5, переведено с французского оригинала 1977 г. М. Коулом и С. Леви, четвертое издание английского перевода 1987 г.