Парадокс познаваемости Fitchs - Fitchs paradox of knowability - Wikipedia

Парадокс познаваемости Fitch одна из фундаментальных загадок эпистемическая логика. Это бросает вызов тезис познаваемости, который утверждает, что каждая истина, в принципе, познаваема. В парадокс состоит в том, что из этого предположения следует принцип всеведения, который утверждает, что все истины известны. По сути, парадокс Fitch утверждает, что существование неизвестной истины непостижимо. Итак, если бы все истины были познаваемы, из этого следовало бы, что все истины известны на самом деле.

Парадокс вызывает беспокойство верификатор или же антиреалист счета правды, за которые тезис познаваемости очень правдоподобно,[1] но принцип всеведения очень неправдоподобен.

Парадокс оказался второстепенным теорема в статье 1963 г. Фредерик Фитч, «Логический анализ некоторых ценностных концепций». Помимо тезиса о познаваемости, его доказательство делает лишь скромные предположения относительно модальный природа знание и из возможность. Он также обобщил доказательство для различных модальностей. Он вновь появился в 1979 году, когда У. Д. Харт написал, что доказательство Fitch было "несправедливо забытой логической жемчужиной".

Доказательство

Предполагать п это предложение, которое является неизвестная правда; то есть приговор п верно, но это не так известен который п правда. В таком случае предложение "приговор п неизвестная истина "истинна; и, если все истины познаваемы, должно быть возможно знать это"п неизвестная правда ". Но это невозможно, потому что, как только мы узнаем"п неизвестная правда », мы знаем, что п верно, рендеринг п больше не неизвестный правда, так что заявление "п неизвестная истина "становится ложью. Следовательно, утверждение"п неизвестная истина "не может быть одновременно познаваемой и истинной. Следовательно, если все истины познаваемы, набор" всех истин "не должен включать в себя какую-либо форму"что нибудь является неизвестной истиной »; таким образом, не должно быть неизвестных истин, и поэтому должны быть известны все истины.

Это можно формализовать с помощью модальная логика. K и L будет стоять за известен и возможный, соответственно. Таким образом LK средства возможно известно, другими словами, познаваемый. Используемые правила модальности:

(А)Kп → п- знание подразумевает правда.
(В)K(п & q) → (Kп & Kq)- зная соединение подразумевает знание каждого конъюнкта.
(С)п → LKп- все истины познаваемы.
(D)от ¬п, вывести ¬Lп- если п можно доказать ложность без предположений, то п невозможно (что похоже на правило необходимости: если п может быть доказано без предположений, то п является обязательно верно ).

Доказательство продолжается:

1. Предположим K(п & ¬Kп)
2. Kп & K¬Kпиз строки 1 по правилу (B)
3. Kпиз строки 2 по устранение соединения
4. K¬Kпиз строки 2 путем исключения конъюнкции
5. ¬Kпиз строки 4 по правилу (A)
6. ¬K(п & ¬Kп)из строк 3 и 5 на сокращение до абсурда, выполнив допущение 1
7. ¬LK(п & ¬Kп)из строки 6 по правилу (D)
8. Предположим, п & ¬Kп
9. LK(п & ¬Kп)из строки 8 по правилу (C)
10. ¬(п & ¬Kп)из строк 7 и 9 методом reductio ad absurdum, отклоняя предположение 8.
11. п → Kпиз строки 10 классическим тавтология

В последней строке указано, что если п правда тогда это известно. Поскольку больше ничего о п предполагалось, значит, известна вся правда.

Обобщения

Доказательство использует минимальные предположения о природе K и L, поэтому можно заменить «известные» другими способами. Джо Салерно приводит пример «вызванного Богом»: правило (C) становится тем, что каждый истинный факт могло бы быть вызвано Богом, и вывод состоит в том, что каждый истинный факт был вызвано Богом. Правило (A) также можно ослабить, чтобы включить в него методы, не подразумевающие истины. Например, вместо «известно» мы могли бы иметь доксастический модальность, «в которую верит разумный человек» (представлена B). Правило (А) заменяется следующим:

(E)Bп → BBп- рациональная вера прозрачна; если п рационально считается, то рационально считается, что п рационально считается.
(F)¬(Bп & B¬п)- рациональные убеждения последовательны

На этот раз доказательство продолжается:

1. Предположим, B(п & ¬Bп)
2. Bп & B¬Bпиз строки 1 по правилу (B)
3. Bпиз строки 2 путем исключения конъюнкции
4. BBпиз строки 3 по правилу (E)
5. B¬Bпиз строки 2 путем исключения конъюнкции
6. BBп & B¬Bпиз строк 4 и 5 на введение соединения
7. ¬(BBп & B¬Bп)по правилу (F)
8. ¬B(п & ¬Bп)из строк 6 и 7 на сокращение до абсурда, выполнив допущение 1

Последняя строка соответствует строке 6 в предыдущем доказательстве, а оставшаяся часть соответствует предыдущей. Итак, если разумный человек может поверить в какое-либо истинное предложение, то этому предложению верят один или несколько разумных людей.

Некоторые антиреалисты выступают за использование интуиционистская логика; однако, за исключением последней строки, которая начинается с нет неизвестных истин к все истины известны, доказательство действительно интуитивно верно.

Тезис познаваемости

Правило (C) обычно считается ошибочным, а не какой-либо другой используемый логический принцип. Можно утверждать, что это правило неверно транслирует идею о том, что все истины познаваемы, и что правило (C) не должно применяться неограниченно. Кванвиг утверждает, что это представляет собой незаконную замену модального контекста.

Теорема Гёделя доказывает, что в любой рекурсивно аксиоматизированной системе, достаточной для вывода математики (например, в арифметике Пеано), есть неразрешимые утверждения. В этом контексте трудно утверждать, что «все истины познаваемы», поскольку некоторые потенциальные истины неопределенны.

Однако отказ от тезиса познаваемости не обязательно разрешает парадокс, поскольку можно заменить более слабую версию тезиса познаваемости, называемую (C ').

(C ')∃Икс((Икс & ¬KИкс) & LKИкс) & LK((Икс & ¬KИкс) & LKИкс)- Есть неизвестная, но познаваемая правда, и известно, что это неизвестная, но познаваемая правда.

Тот же аргумент показывает, что (C ') приводит к противоречию, указывая на то, что любая познаваемая истина либо известна, либо непознаваема, что это неизвестная, но познаваемая истина; и наоборот, он утверждает, что если истина неизвестна, то она непознаваема или неизвестно, что она познаваема, но неизвестна.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Мюллер, Винсент С. В.; Штейн, Кристиан (1996). «Эпистемические теории истины: исследован парадокс оправданности».

Рекомендации

внешняя ссылка