Материал условный - Material conditional

«Логическое условное» перенаправляет сюда. Для других связанных значений см. Условный оператор.
Не путать с Материальный вывод.
Материал условный
ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ
Диаграмма Венна материального условного
Определение
Таблица истинности
Логический вентильПОДРАЗУМЕВАЙТЕ ANSI.svg
Нормальные формы
Дизъюнктивный
Конъюнктивный
Полином Жегалкина
Решетки столба
0-сохранениенет
1-консервирующийда
Монотонныйнет
Аффинныйнет

В материальный условный (также известен как материальное значение, материальные последствия, или просто значение, подразумевает, или условный) это логическая связка (или бинарный оператор ), что часто обозначается стрелкой вперед «→».[1] Условный материал используется для формирования заявления формы п → q (названный Условный оператор), которое читается как "если п тогда q". В отличие от английского строительство «если… то…», существенное условное заявление п → q обычно не указывает причинно-следственная связь между п и q; "п это причина и q является следствием этого "не является общепринятым интерпретация из п → q. Это просто означает "если п верно тогда q также верно", так что оператор п → q ложно только когда п правда и q ложно.[2] В двухвалентный таблица истинности п → q, если п тогда ложно п → q верно, независимо от того, q верно или неверно (латинская фраза: ex falso quodlibet ) поскольку (1) п → q всегда верно, пока q верно, и (2) п → q верно, когда оба п и q ложны. Эта таблица истинности полезна при доказательстве некоторых математических теорем (например, определения подмножество ).

Материальное условное обозначение также обозначается с помощью:

  1. п ⊃ q (хотя этот символ может использоваться для символа расширенного набора в теория множеств );
  2. п ⇒ q[3] (хотя этот символ часто используется для логическое следствие, т.е. логическое следствие, а не материальное условное);
  3. Cpq (с помощью Обозначение Лукасевича или Обозначение Бохенского ).

Что касается приведенных выше материальных условий:

Условные утверждения могут быть вложенными так, что один или оба антецедента или консеквента сами могут быть условными операторами. В примере (п → q) → (р → s), что означает "если правда п подразумевает истину q, то правда о р подразумевает истину s", как антецедент, так и последствие являются условными операторами.

В классическая логика, п → q является логически эквивалентный к ¬(п ∧ ¬q) и, по Закон де Моргана, логически эквивалентно ¬п ∨ q.[3][4] Тогда как в минимальная логика (а значит, и интуиционистская логика), п → q только логически влечет ¬(п ∧ ¬q); И в интуиционистская логика (но не минимальная логика), ¬п ∨ q влечет за собой п → q.

Определения

У логиков есть много разных взглядов на природу материального значения и подходов к объяснению его смысла.[5]

Как функция истины

Состав п → q является ложный если и только если п правда и q ложно. Тем же ходом п → q является правда если и только если либо п ложно или q верно (или оба). Символ → - это функция, которая использует пары ценности истины компонентов п, q (например., п True, q True ... p False, q False) и сопоставляет его со значениями истинности соединения п → q. Истинная ценность п → q является функцией значений истинности его компонентов (р, д). Следовательно, эта интерпретация называется истинно-функциональный.

Состав п → q также логически эквивалентен ¬п ∨ q (либо нет п, или q (или оба)),[3] и чтобы ¬q → ¬п (если не q тогда не п). Однако это не эквивалентно ¬п → ¬q, что вместо этого эквивалентно q → п.

Таблица истинности

В таблица истинности связанный с материальным условным п→q идентичен тому из ¬п∨q. Это выглядит следующим образом:[3]

пqп → q
ТТТ
ТFF
FТТ
FFТ

В Булева алгебра, true и false можно обозначить соответственно как 1 и 0[1] с эквивалентной таблицей.

Как формальная связка

Материальную условность можно рассматривать как символ формальная теория, взятый как набор предложений, удовлетворяющих всем классическим выводам, включающим →, в частности, следующим характерным правилам:

  1. Modus ponens;
  2. Условное доказательство;
  3. Классическое противопоставление;
  4. Классическое сокращение до абсурда.

В отличие от подхода, основанного на функции истинности, этот подход к логическим связкам позволяет исследовать структурно идентичные пропозициональные формы в различных логические системы, где могут быть продемонстрированы несколько иные свойства. Например, в интуиционистская логика, который отвергает доказательства противопоставлением как действительные правила вывода, (п → q) ⇒ ¬п ∨ q не пропозициональная теорема, но материальное условие используется для определения отрицания.

Естественный язык

"Это не тот случай, когда правда, не будет правдой ".

"Невозможно без . «Слово« без »означает не« из-за отсутствия », а« в отсутствие следствия ».

Формальные свойства

При формальном изучении логики материальное условное условие отличается от семантическое следствие связь (также известный как следствие).[1] По определению, если каждая интерпретация, которая делает А правда также делает B правда. Однако между ними существует тесная взаимосвязь в большинстве логических схем, включая классическая логика. Например, верны следующие принципы:

  • Если тогда для некоторых . (Это особая форма теорема дедукции. На словах это говорит, что если Γ моделирует ψ это значит, что ψ можно вывести только из некоторого подмножества теорем в Γ.)
  • Обратное вышеизложенному
  • И то и другое и находятся монотонный; т.е. если тогда , и если тогда для любого α, Δ. (С точки зрения структурных правил это часто называют ослабление или прореживание.)

Однако эти принципы соблюдаются не во всех логиках. Очевидно, они не выдерживают немонотонная логика, и они не держатся логика релевантности.

Другие свойства импликации (следующие выражения всегда верны для любых логических значений переменных):

  • Распределительность:
  • Транзитивность:
  • Рефлексивность:
  • Тотальность:
  • Сохранение истины: Интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «истина», дает значение истинности «истина» в результате материальной импликации.
  • Коммутативность антецедентов:

Обратите внимание, что является логически эквивалентный к ; это свойство иногда называют un / currying. Благодаря этим свойствам удобно использовать правоассоциативный обозначение для →, где обозначает .

Сравнение булевых таблиц истинности показывает, что эквивалентно , и одно является эквивалентной заменой другого в классической логике. Увидеть материальное значение (правило вывода).

Философские проблемы с материальным условием

За пределами математики есть некоторые разногласия относительно того, функция истины для материальное значение обеспечивает адекватную обработку условных утверждений в естественный язык например, английский, т.е. ориентировочные условия и контрфактические условия.[нужна цитата ] Контрфактуальное условие - это условие со специальной морфологической маркировкой, которая указывает на то, что говорящий считает антецедент невозможным или маловероятным.[6] Изобразительное условное выражение - это условное предложение, которое не имеет такой специальной пометки и, таким образом, означает, что говорящий рассматривает его антецедент как живую возможность.[7] Другими словами, критики утверждают, что в некоторых нематематических случаях значение истинности составного утверждения, "если п тогда q", не определяется адекватно истинностными значениями п и q.[7] Примеры функциональных заявлений, не отвечающих истине, включают: "q потому что п", "п перед q"и" возможно, что п".[7]

"[Из] шестнадцати возможных истинностных функций А и B, материальные последствия - единственный серьезный кандидат. Во-первых, это бесспорный, что когда А правда и B ложно, "Если А, B"ложно. Основное правило вывода: modus ponens: from "Если А, B" и А, мы можем сделать вывод B. Если бы можно было А правда, B false и "Если А, B«Правда, этот вывод будет недействительным. Во-вторых, это бесспорный, что» если А, B"иногда верно, когда А и B являются соответственно (истина, истина), или (ложь, истина), или (ложь, ложь) ... Неисправные функциональные аккаунты соглашаются, что «Если А, B"ложно, когда А правда и B ложно; и они согласны с тем, что условное выражение иногда верно для трех других комбинаций истинностных значений компонентов; но они отрицают, что условие всегда верно в каждом из этих трех случаев. Некоторые соглашаются с функционалистом истины в том, что когда А и B оба верны, "Если А, B"должно быть правдой. Некоторые не верят, требуя дальнейшего соотношения между фактами, которые А и это B."[7]

Функциональная истинностная теория условного выражения была неотъемлемой частью Frege новая логика (1879). Его с энтузиазмом восприняли Рассел (который назвал это «материальным подтекстом»), Витгенштейн в Tractatus, а логические позитивисты, и теперь он присутствует в каждом логическом тексте. Это первая теория условных выражений, с которой сталкиваются студенты. Как правило, это не кажется студентам очевидно правильный. Это первая неожиданность логики. Тем не менее, как свидетельствуют учебники, во многих случаях он выполняет похвальную работу. И у него много защитников. Это поразительно простая теория: «Если А, B"ложно, когда А правда и B ложно. Во всех остальных случаях "Если А, B"верно. Таким образом, это эквивалентно" ~ (А&~B) "и" ~А или B". "А ⊃ B"имеет, согласно оговорке, эти условия истинности.

— Дороти Эджингтон, Стэнфордская энциклопедия философии, "Условные выражения"[7]

Значение материального условного выражения иногда может использоваться в английском языке "if состояние тогда следствие"строительство (вид условное предложение ), где состояние и следствие должны быть заполнены предложениями на английском языке. Однако эта конструкция подразумевает и «разумную» связь между условием (протазис ) и следствие (аподозис ) (увидеть Связная логика ).[нужна цитата ]

Материальное условное выражение может дать некоторые неожиданные истины, если оно выражено на естественном языке. Например, любое существенное условное утверждение с ложным антецедентом истинно (см. пустая правда ). Таким образом, утверждение «если 2 нечетно, то 2 четно» верно. Точно так же любое материальное условие с истинным следствием истинно. Так что утверждение «если у меня в кармане пенни, значит, Париж во Франции» всегда верно, независимо от того, есть ли в моем кармане пенни или нет. Эти проблемы известны как парадоксы материального подтекста, хотя на самом деле это не парадоксы в строгом смысле слова; то есть они не вызывают логических противоречий. Эти неожиданные истины возникают из-за соблазна говорящих на английском (и других естественных языках) двусмысленно между материальным условием и ориентировочный условный, или другие условные выражения, такие как контрфактический условный и материал бикондиционный.

Неудивительно, что строго определенный функциональный оператор истинности не соответствует в точности всем понятиям импликации или иным образом выражается предложениями типа «если… то…» в естественных языках. Для обзора некоторых различных анализов (формального и неформального) условных выражений см. § Использованная литература ниже. Логика релевантности пытается уловить эти альтернативные концепции импликации, которые маскируются материальной импликацией.

Смотрите также

Условные

использованная литература

  1. ^ а б c «Исчерпывающий список логических символов». Математическое хранилище. 2020-04-06. Получено 2020-09-03.
  2. ^ Магнус, П.Д. (6 января 2012 г.). "forallx: Введение в формальную логику" (PDF). Creative Commons. п. 25. Получено 28 мая 2013.
  3. ^ а б c d Вайсштейн, Эрик В. "Подразумевает". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-03.
  4. ^ Теллер, Пол (10 января 1989 г.). "Учебник по современной формальной логике: том 1 логики предложений" (PDF). Прентис Холл. п. 54. Получено 28 мая 2013.
  5. ^ Кларк, Мэтью С. (март 1996 г.). «Сравнение методов введения существенных последствий». Корнелл Университет. Получено 4 марта, 2012.
  6. ^ Контрфактуалы также часто называют сослагательные наклонения хотя этот термин признан неверным в применении к английскому языку. В английских условных выражениях такого типа не используются сослагательное наклонение. См. Palmer (1986), Dancygier & Sweetswer (1996), Iatridou (2000), Karawani (2014), Romero (2014), Mackay (2015) и др.
  7. ^ а б c d е Эджингтон, Дороти (2008). Эдвард Н. Залта (ред.). «Условные». Стэнфордская энциклопедия философии (Зима 2008 г.).

дальнейшее чтение

внешние ссылки