Последовательность Эйлера - Euler sequence

В математика, то Последовательность Эйлера особый точная последовательность из снопы на п-размерный проективное пространство через звенеть. Это показывает, что связка относительных дифференциалов является стабильно изоморфный для (п + 1) -кратная сумма двойственного к Серру скручивающаяся связка.

Последовательность Эйлера обобщается на последовательность проективный пучок также как и Расслоение Грассмана (см. последнюю статью для этого обобщения.)

Заявление

За А кольцо, существует точная последовательность пучков

{displaystyle 0 o Omega _ {mathbb {P} _ {A} ^ {n} / A} ^ {1} o {mathcal {O}} _ {mathbb {P} _ {A} ^ {n}} (- 1) ^ {oplus n + 1} o {mathcal {O}} _ {mathbb {P} _ {A} ^ {n}} o 0.}

Это можно доказать, определив гомоморфизм ${displaystyle S (-1) ^ {oplus n + 1} o S, e_ {i} mapsto x_ {i}}$ с ${displaystyle S = A [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ и ${displaystyle e_ {i} = 1}$ в степени 1, сюръективно в степенях ${displaystyle geq 1}$ и проверяя это локально на п + 1 стандартных карт ядро изоморфно относительному дифференциальному модулю.^[1]

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что А это поле k.

Приведенная выше точная последовательность эквивалентна последовательности

{displaystyle 0 o {mathcal {O}} _ {mathbb {P} ^ {n}} o {mathcal {O}} (1) ^ {oplus (n + 1)} o {mathcal {T}} _ {mathbb {P} ^ {n}} o 0}

,

где последний ненулевой член - это касательная связка.

Мы считаем V а п + 1 размерный векторное пространство над k , и объясните точную последовательность

{displaystyle 0 o {mathcal {O}} _ {mathbb {P} (V)} o {mathcal {O}} _ {mathbb {P} (V)} (1) иногда V o {mathcal {T}} _ {mathbb {P} (V)} o 0}

Эту последовательность легче всего понять, если интерпретировать центральный член как пучок 1-однородных векторные поля в векторном пространстве V. Существует замечательный участок этого пучка - Векторное поле Эйлера, тавтологически определяемая путем сопоставления точке векторного пространства тождественно ассоциированного касательного вектора (т.е. сама: это карта идентичности, рассматриваемая как векторное поле).

Это векторное поле является радиальным в том смысле, что оно равномерно обращается в нуль на 0-однородных функциях, то есть на функциях, которые инвариантны при гомотетическом масштабировании, илине зависит от радиальной координаты".

Функция (определенная на некотором открытом множестве) на ${displaystyle mathbb {P} (V)}$ приводит к 0-однородной функции на V (снова частично определено). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая векторное поле Эйлера на такие функции. Это определение первого отображения, и его инъективность очевидна.

Вторая карта связана с понятием деривации, эквивалентным понятию векторного поля. Вспомните, что векторное поле на открытом множестве U проективного пространства ${displaystyle mathbb {P} (V)}$ можно определить как производную от функций, определенных на этом открытом множестве. Втянут обратно V, это эквивалентно выводу по прообразу U сохраняющий 0-однородные функции. любое векторное поле на ${displaystyle mathbb {P} (V)}$ Таким образом, можно получить, и дефект инъективности этого отображения состоит как раз из радиальных векторных полей.

Таким образом, мы видим, что ядро второго морфизма идентифицируется с диапазоном действия первого.

Каноническое линейное расслоение проективных пространств

Взяв наивысший внешняя сила, видно, что каноническая связка из проективное пространство дан кем-то

${displaystyle omega _ {mathbb {P} _ {A} ^ {n} / A} = {mathcal {O}} _ {mathbb {P} _ {A} ^ {n}} (- (n + 1)) }$ .

В частности, проективные пространства Разновидности Фано, поскольку каноническое расслоение анти-обильный и этот линейный пучок не имеет ненулевых глобальных секций, поэтому геометрический род равно 0. Это можно найти, посмотрев на последовательность Эйлера и подставив ее в формулу определителя

${displaystyle {ext {det}} ({mathcal {E}}) = {ext {det}} ({mathcal {E}} ') иногда {ext {det}} ({mathcal {E}}' ')}$ ^[2]

для любой короткой точной последовательности формы ${displaystyle 0 o {mathcal {E}} 'o {mathcal {E}} o {mathcal {E}}' 'o 0}$ .

Классы Черна

Последовательность Эйлера может использоваться для вычисления Классы Черна проективного пространства. Напомним, что для короткой точной последовательности когерентных пучков

${displaystyle 0 o {mathcal {E}} 'o {mathcal {E}} o {mathcal {E}}' 'o 0}$

мы можем вычислить полный класс Черна ${displaystyle {mathcal {E}}}$ с формулой ${displaystyle c ({mathcal {E}}) = c ({mathcal {E}} ') cdot c ({mathcal {E}}' ')}$ .^[3] Например, на ${displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ мы нашли

${displaystyle {egin {align} c (Omega _ {mathbb {P} ^ {2}} ^ {1}) & = {frac {c ({mathcal {O}} (- 1) ^ {oplus (2 + 1) )})} {c ({mathcal {O}})}} & = (1- [H]) ^ {3} & = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} - [ H] ^ {3} & = 1-3 [H] +3 [H] ^ {2} конец {выровнен}}}$ ^[4]

куда ${displaystyle [H]}$ представляет класс гиперплоскости в чау-ринге ${displaystyle A ^ {ullet} (mathbb {P} ^ {2})}$ . Используя точную последовательность

${displaystyle 0 o Omega ^ {2} o {mathcal {O}} (- 2) ^ {oplus 3} o Omega ^ {1} o 0}$ ^[5]

мы снова можем использовать формулу полного класса Черна, чтобы найти

${displaystyle {egin {выравнивается} c (Omega ^ {2}) & = {frac {c ({mathcal {O}} (- 2) ^ {oplus 3})} {c (Omega ^ {1})}} & = {гидроразрыв {(1-2 [H]) ^ {3}} {1-3 [H] +3 [H] ^ {2}}} end {align}}}$

поскольку нам нужно инвертировать многочлен в знаменателе, это эквивалентно нахождению степенного ряда ${displaystyle a ([H]) = a_ {0} + a_ {1} [H] + a_ {2} [H] ^ {2} + a_ {3} [H] ^ {3} + cdots}$ такой, что ${displaystyle a ([H]) c (Omega ^ {1}) = 1}$ .

Примечания

^ Теорема II.8.13 в Хартсхорн 1977
^ Вакил, Рави. Восходящее море (PDF). 386. Архивировано с оригинал (PDF) на 2019-11-30.CS1 maint: location (связь)
^ «3264 и все такое» (PDF). п. 169.
^ Обратите внимание, что ${displaystyle [H] ^ {3} = 0}$ в ринге для еды по соображениям габаритов.
^ Арапура, Дону. «Вычисление некоторых чисел Ходжа» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 1 февраля 2020 г.