Бинарная группа икосаэдра - Binary icosahedral group

В математика, то бинарная группа икосаэдра 2я или ⟨2,3,5⟩ - некоторая неабелева группа из порядок 120. Это расширение из группа икосаэдров я или (2,3,5) порядка 60 циклическая группа порядка 2, и является прообраз группы икосаэдра в соотношении 2: 1 покрывающий гомоморфизм

${ displaystyle operatorname {Spin} (3) to operatorname {SO} (3) ,}$

из специальная ортогональная группа посредством вращательная группа. Отсюда следует, что бинарная группа икосаэдра является дискретная подгруппа спина (3) порядка 120.

Не следует путать с полная группа икосаэдра, которая представляет собой другую группу порядка 120 и скорее является подгруппой ортогональная группа О (3).

Бинарную группу икосаэдра проще всего описать конкретно как дискретную подгруппу единицы кватернионы, при изоморфизме ${ displaystyle operatorname {Spin} (3) cong operatorname {Sp} (1)}$ куда Sp (1) - мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. В статье о кватернионы и пространственные вращения.)

Элементы

120 кватернионных элементов в 12-кратной проекции. Даны порядки элементов: 1,2,3,4,5,6,10

Явно бинарная группа икосаэдра задается как объединение 24 Единицы Гурвица

${ Displaystyle { pm 1, pm я, pm j, pm k, ( pm 1 pm i pm j pm k) / 2 }}$

со всеми 96 кватернионами, полученными из

${ displaystyle (0 pm я pm varphi ^ {- 1} j pm varphi k) / 2}$

по даже перестановка всех четырех координат 0, 1, φ⁻¹, φ, и со всеми возможными комбинациями знаков. Здесь φ = (1 + √5) / 2 - это Золотое сечение.

Всего элементов 120, а именно блок икозианцы. Все они имеют единичную величину и, следовательно, принадлежат к единичной группе кватернионов Sp (1).

120 элементов в 4-мерном пространстве соответствуют 120 вершинам 600 ячеек, а правильный 4-многогранник.

Характеристики

Центральное расширение

Бинарная группа икосаэдра, обозначенная 2я, это универсальное идеальное центральное расширение группы икосаэдра и, таким образом, квазипростой: это идеальное центральное расширение простой группы.^{[нужна цитата ]}

Явно он вписывается в короткая точная последовательность

${ Displaystyle 1 к { pm 1 } к 2I к I к 1. ,}$

Эта последовательность не расколоть, что означает, что 2я является нет а полупрямой продукт из {± 1} на я. На самом деле не существует подгруппы из 2я изоморфен я.

В центр из 2я - подгруппа {± 1}, так что группа внутренних автоморфизмов изоморфен я. Полный группа автоморфизмов изоморфен S₅ (в симметричная группа на 5 букв), как и для ${ displaystyle I cong A_ {5}}$ - любой автоморфизм 2я фиксирует нетривиальный элемент центра (${ displaystyle -1}$), поэтому спускается к автоморфизму Я, и наоборот, любой автоморфизм я поднимается до автоморфизма 2Я, поскольку подъем генераторов я являются генераторами 2я (разные подъемы дают одинаковый автоморфизм).

Суперсовершенный

Бинарная группа икосаэдра есть идеально, что означает, что он равен своему коммутаторная подгруппа. Фактически, 2я - единственная совершенная группа порядка 120. Отсюда следует, что 2я не является разрешимый.

Далее, бинарная группа икосаэдра есть суперсовершенный, что абстрактно означает, что его первые два групповая гомология группы исчезают: ${ displaystyle H_ {1} (2I; mathbf {Z}) cong H_ {2} (2I; mathbf {Z}) cong 0.}$ Конкретно это означает, что его абелианизация тривиальна (у него нет нетривиальных абелевых факторов) и что его абелианизация Множитель Шура тривиален (не имеет нетривиальных совершенных центральных расширений). Фактически, бинарная группа икосаэдра является самой маленькой (нетривиальной) суперсовершенной группой.^{[нужна цитата ]}

Бинарная группа икосаэдра не ациклический, однако, поскольку H_п(2я,Z) является циклическим порядка 120 при п = 4k+3, и тривиально для п > 0 в противном случае (Адем и Милграм 1994, п. 279).

Изоморфизмы

Конкретно, бинарная группа икосаэдра является подгруппой Spin (3) и покрывает группу икосаэдра, которая является подгруппой SO (3). Абстрактно группа икосаэдра изоморфна симметриям 4-симплекс, которая является подгруппой SO (4), а бинарная группа икосаэдра изоморфна ее двойному покрытию в Spin (4). Обратите внимание, что симметрическая группа ${ displaystyle S_ {5}}$ делает имеют 4-мерное представление (его обычное неприводимое представление низшей размерности в виде полных симметрий ${ Displaystyle (п-1)}$-симплекс), и, таким образом, полные симметрии 4-симплекса ${ displaystyle S_ {5},}$ не полная группа икосаэдра (это две разные группы порядка 120).^{[нужна цитата ]}

Бинарную группу икосаэдра можно рассматривать как двойная крышка переменной группы ${ displaystyle A_ {5},}$ обозначенный ${ Displaystyle 2 cdot A_ {5} cong 2I;}$ этот изоморфизм покрывает изоморфизм группы икосаэдра с знакопеременной группой ${ displaystyle A_ {5} cong I,}$.Как только ${ displaystyle I}$ дискретная подгруппа ${ Displaystyle mathrm {SO} (3)}$, ${ displaystyle 2I}$ является дискретной подгруппой дублера группы ${ Displaystyle mathrm {SO} (3)}$, а именно ${ Displaystyle mathrm {Spin} (3) cong mathrm {SU} (2)}$. Гомоморфизм 2-1 из ${ displaystyle mathrm {Spin} (3)}$ к ${ Displaystyle mathrm {SO} (3)}$ то ограничивается гомоморфизмом 2-1 из ${ displaystyle 2I}$ к ${ displaystyle I}$. По аналогии,${ displaystyle S_ {5}}$ дискретная подгруппа ${ Displaystyle O (3)}$, а его два двойных покрытия являются дискретными подгруппами двух Группы контактов ${ displaystyle mathrm {Pin} ^ { pm} (3)}$.^{[нужна цитата ]}

Можно показать, что бинарная группа икосаэдра изоморфна группе специальная линейная группа SL (2,5) - группа всех матриц 2 × 2 над конечное поле F₅ с определителем единицы измерения; это охватывает исключительный изоморфизм из ${ displaystyle I cong A_ {5}}$ с проективная специальная линейная группа PSL (2,5).

Отметим также исключительный изоморфизм ${ Displaystyle PGL (2,5) cong S_ {5},}$ которая является другой группой порядка 120, причем коммутативный квадрат групп SL, GL, PSL, PGL изоморфен коммутативному квадрату группы ${ Displaystyle 2 cdot A_ {5}, 2 cdot S_ {5}, A_ {5}, S_ {5},}$ которые изоморфны подгруппам коммутативного квадрата Spin (4), Pin (4), SO (4), O (4).

Презентация

Группа 2я имеет презентация данный

${ displaystyle langle r, s, t mid r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} = rst rangle}$

или эквивалентно,

${ displaystyle langle s, t mid (st) ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} rangle.}$

Генераторы с этими отношениями даются

${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (1 + i + j + k) qquad t = { tfrac {1} {2}} ( varphi + varphi ^ {- 1} я + j).}$

Подгруппы

Подгруппы бинарных икосаэдров:
* бинарная тетраэдрическая группа: 2Т = ⟨2,3,3⟩
* 3 бинарные группы диэдра: ⟨2,2,5⟩, ⟨2,2,3⟩, ⟨2,2,2⟩
* 3 бинарные циклические группы: ⟨5⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩
* 3 циклические группы: (5), (3), (2)
* 1 тривиальная группа: ( )

Единственный правильный нормальная подгруппа из 2я является центром {± 1}.

Посредством третья теорема об изоморфизме, Существует Связь Галуа между подгруппами 2я и подгруппы я, где оператор закрытия на подгруппах 2я умножение на {± 1}.

${ displaystyle -1}$ является единственным элементом порядка 2, следовательно, он содержится во всех подгруппах четного порядка: таким образом, каждая подгруппа из 2я имеет либо нечетный порядок, либо является прообразом подгруппы я.

Кроме циклические группы порожденные различными элементами (которые могут иметь нечетный порядок), единственные другие подгруппы из 2я (до спряжения) бывают:^[1]

• бинарные группы диэдра, Dic₅= Q20 = ⟨2,2,5⟩, порядок 20 и Dic₃= Q12 = ⟨2,2,3⟩ порядка 12
• В группа кватернионов, Q8 = ⟨2,2,2⟩, состоящий из 8 Единицы Липшица образует подгруппу индекс 15, который также является дициклическая группа Dic₂; это закрывает стабилизатор кромки.
• 24 Единицы Гурвица образуют подгруппу индекса 5, называемую бинарная тетраэдрическая группа; это охватывает хиральный тетраэдрическая группа. Эта группа саморегулирующийся так что это класс сопряженности имеет 5 участников (это дает карту ${ displaystyle 2I к S_ {5}}$ чье изображение ${ displaystyle A_ {5}}$).

Отношение к 4-мерным группам симметрии

4-мерный аналог группа симметрии икосаэдра я_час группа симметрии 600 ячеек (а также его двойного, 120 ячеек ). Так же, как и первое Группа Кокстера типа ЧАС₃, последняя - группа Кокстера типа ЧАС₄, также обозначается [3,3,5]. Его вращательная подгруппа, обозначенная [3,3,5]⁺ группа порядка 7200 проживающих в ТАК (4). SO (4) имеет двойная крышка называется Отжим (4) почти так же, как Spin (3) является двойным покрытием SO (3). Аналогично изоморфизму Spin (3) = Sp (1) группа Spin (4) изоморфна Sp (1) × Sp (1).

Прообраз [3,3,5]⁺ в Spin (4) (четырехмерный аналог 2я) именно группа товаров 2я × 2я порядка 14400. Тогда группа вращательной симметрии 600-ячейки равна

[3,3,5]⁺ = ( 2я × 2я ) / { ±1 }.

Различные другие 4-мерные группы симметрии могут быть построены из 2я. Подробнее см. (Conway and Smith, 2003).

Приложения

В пространство смежности Отжим (3) / 2я = S³ / 2я это сферический 3-х коллектор P назвал Сфера гомологии Пуанкаре. Это пример сфера гомологии, т.е. трехмерное многообразие, группы гомологии идентичны таковым из 3-сфера. В фундаментальная группа сферы Пуанкаре изоморфна бинарной группе икосаэдра, поскольку сфера Пуанкаре является фактором 3-сферы по бинарной группе икосаэдра.

Это единственная трехмерная гомологическая сфера, фундаментальная группа которой конечна. Его можно построить из твердого додекаэдра, отождествив противоположные пятиугольники с поворотом 2π / 10 (в том же смысле). По этой причине это многообразие иногда называют додекаэдрическим пространством Пуанкаре.50.234.60.130 (разговаривать ) 21:30, 5 декабря 2020 г. (UTC)

Смотрите также

• бинарная группа полиэдров
• бинарная циклическая группа, ⟨п⟩, Порядок 2п
• бинарная группа диэдра, ⟨2,2,п⟩, Заказ 4п
• бинарная тетраэдрическая группа, 2T = ⟨2,3,3⟩, порядок 24
• бинарная октаэдрическая группа, 2O = ⟨2,3,4⟩, порядок 48

Рекомендации

Примечания