Суперсовершенная группа - Superperfect group

В математика, в сфере теория групп, а группа как говорят суперсовершенный когда его первые два группы гомологии находятся банальный: ЧАС1(грамм, Z) = ЧАС2(грамм, Z) = 0. Это сильнее совершенной группы, у которой первая группа гомологий равна нулю. Говоря более классическим языком, суперсовершенная группа - это группа, у которой абелианизация и Множитель Шура оба исчезают; абелианизация равняется первым гомологиям, а множитель Шура - вторым гомологиям.

Определение

Первая группа гомологий группы - это абелианизация самой группы, поскольку гомологии группы грамм является гомологией любого Пространство Эйленберга – Маклейна типа K(грамм, 1); то фундаментальная группа из K(грамм, 1) есть грамм, и первые гомологии K(грамм, 1) является абелианизацией своей фундаментальной группы. Таким образом, если группа суперсовершенная, то она идеально.

Конечная совершенная группа является суперсовершенной тогда и только тогда, когда она сама по себе универсальное центральное расширение (UCE), поскольку вторая группа гомологий совершенной группы параметризует центральные расширения.

Примеры

Например, если грамм фундаментальная группа сфера гомологии, тогда грамм суперсовершенно. Наименьшей конечной нетривиальной суперсовершенной группой является бинарная группа икосаэдра (фундаментальная группа Пуанкаре сфера гомологии).

Переменная группа А5 является совершенным, но не суперсовершенным: у него нетривиальное центральное расширение, бинарная группа икосаэдра (которая фактически является его UCE) суперсовершена. В более общем плане проективные специальные линейные группы PSL (п, q) просты (следовательно, совершенны), за исключением PSL (2, 2) и PSL (2, 3), но не суперсовершенные, с специальные линейные группы SL (п,q) как центральные расширения. Это семейство включает бинарную группу икосаэдров (которую называют SL (2, 5)) как UCE А5 (задумано как PSL (2, 5)).

Каждый ациклическая группа является суперсовершенным, но обратное неверно: бинарная группа икосаэдра суперсовершенная, но не ациклическая.

Рекомендации

  • А. Джон Беррик и Джонатан А. Хиллман, "Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп", Журнал Лондонского математического общества (2) 68 (2003), нет. 3, 683--698. МИСТЕР2009444