Repunit - Repunit

В развлекательная математика, а объединить это номер например, 11, 111 или 1111, который содержит только цифру 1 - более конкретный тип повторять. Этот термин означает представительсъел единица измерения и был придуман в 1966 году Альберт Х. Бейлер в его книге Развлечение в теории чисел.^{[примечание 1]}

А объединить прайм это репутация, которая также простое число. Простые числа, которые являются повторными единицами в база-2 находятся Простые числа Мерсенна.

Определение

База-б репутации определяются как (это б может быть как положительным, так и отрицательным)

${ Displaystyle R_ {n} ^ {(b)} Equiv 1 + b + b ^ {2} + cdots + b ^ {n-1} = {b ^ {n} -1 over {b-1 }} qquad { mbox {for}} | b | geq 2, n geq 1.}$

Таким образом, число р_п^(б) состоит из п копии цифры 1 в базе-б представление. Первые две базы репутации-б за п = 1 и п = 2 являются

${ Displaystyle R_ {1} ^ {(b)} = {b-1 over {b-1}} = 1 qquad { text {и}} qquad R_ {2} ^ {(b)} = {b ^ {2} -1 over {b-1}} = b + 1 qquad { text {for}} | b | geq 2.}$

В частности, десятичный (основание-10) repunits которые часто называют просто объединяет определяются как

${ Displaystyle R_ {n} Equiv R_ {n} ^ {(10)} = {10 ^ {n} -1 over {10-1}} = {10 ^ {n} -1 over 9} qquad { mbox {for}} n geq 1.}$

Таким образом, число р_п = р_п⁽¹⁰⁾ состоит из п копии цифры 1 в десятичном представлении. Последовательность повторных единиц base-10 начинается с

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... (последовательность A002275 в OEIS ).

Аналогичным образом, база-2 репюнитов определяется как

${ Displaystyle R_ {n} ^ {(2)} = {2 ^ {n} -1 over {2-1}} = {2 ^ {n} -1} qquad { mbox {for}} п geq 1.}$

Таким образом, число р_п⁽²⁾ состоит из п копии цифры 1 в представлении base-2. Фактически, репутации Base-2 - это хорошо известные Числа Мерсенна M_п = 2^п - 1, они начинаются с

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... (последовательность A000225 в OEIS ).

Характеристики

• Любая повторная единица в любой базе, имеющей составное число цифр, обязательно является составной. Только повторные единицы (в любой базе) с простым числом цифр могут быть простыми. Это необходимое, но недостаточное условие. Например,

  р₃₅^(б) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

так как 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Эта факторизация повторного объединения не зависит от базовогоб в котором выражается объединение.

• Если п нечетное простое число, то каждое простое число q что разделяет р_п^(б) должно быть либо 1 плюс кратное 2п, или фактор б - 1. Например, простой фактор р₂₉ равно 62003 = 1 + 2 · 29 · 1069. Причина в том, что премьер п наименьший показатель больше 1 такой, что q разделяет б^п - 1, потому что п простое. Следовательно, если q разделяет б − 1, п делит функцию Кармайкла из q, что четно и равно q − 1.
• Любое положительное кратное повторной единицы р_п^(б) содержит как минимум п ненулевые цифры в базеб.
• Любой номер Икс представляет собой двузначную единицу по основанию x - 1.
• Единственными известными числами, которые являются повторными единицами по крайней мере с 3 цифрами в более чем одной базе одновременно, являются 31 (111 в базе 5, 11111 в базе 2) и 8191 (111 в базе 90, 1111111111111 в базе 2). В Гипотеза Гурмагтиха говорит, что есть только эти два случая.
• С использованием принцип ямы легко показать, что для относительно простой натуральные числа п и б, существует репунит в базе-б это кратно п. Чтобы увидеть это, подумайте о репуитах р₁^(б),...,р_п^(б). Потому что есть п объединяет, но только п−1 ненулевой вычет по модулю п существует две репутации р_я^(б) и р_j^(б) с 1 ≤ я < j ≤ п такой, что р_я^(б) и р_j^(б) иметь одинаковый остаток по модулю п. Следует, что р_j^(б) − р_я^(б) имеет остаток 0 по модулю п, т.е. делится на п. С р_j^(б) − р_я^(б) состоит из j − я те, за которыми следуют я нули, р_j^(б) − р_я^(б) = р_j−я^(б) × б^я. Сейчас же п делит левую часть этого уравнения, поэтому делит и правую часть, но поскольку п и б относительно простые, п должен разделить р_j−я^(б).
• В Гипотеза Фейта – Томпсона в том, что р_q^(п) никогда не делит р_п^(q) для двух различных простых чисел п и q.
• С использованием Евклидов алгоритм для определения репутации: р₁^(б) = 1; р_п^(б) = р_п−1^(б) × б +1, любые последовательные повторные единицы р_п−1^(б) и р_п^(б) относительно просты в любом основании-б для любого п.
• Если м и п иметь общий делитель d, р_м^(б) и р_п^(б) иметь общий делитель р_d^(б) в любой базе-б для любого м и п. То есть репединицы фиксированной базы образуют последовательность сильной делимости. Как следствие, если м и п относительно простые, р_м^(б) и р_п^(б) относительно просты. Евклидов алгоритм основан на gcd(м, п) = gcd(м − п, п) за м > п. Аналогично, используя р_м^(б) − р_п^(б) × б^м−п = р_м−п^(б), легко показать, что gcd(р_м^(б), р_п^(б)) = gcd(р_м−п^(б), р_п^(б)) за м > п. Поэтому если gcd(м, п) = d, тогда gcd(р_м^(б), р_п^(б)) = р_d^(б).

Факторизация десятичных единиц

(Основные факторы окрашены красный означает «новые факторы», т.е. е. простой делитель делит р_п но не разделяет р_k для всех k < п) (последовательность A102380 в OEIS )^[2]

Наименьший простой фактор р_п за п > 1 сотка

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, .. . (последовательность A067063 в OEIS )

Перегруппировать простые числа

Определение повторных единиц было продиктовано математиками-любителями, искавшими главные факторы таких номеров.

Легко показать, что если п делится на а, тогда р_п^(б) делится на р_а^(б):

${ Displaystyle R_ {n} ^ {(b)} = { frac {1} {b-1}} prod _ {d | n} Phi _ {d} (b),}$

куда ${ Displaystyle Phi _ {d} (х)}$ это ${ displaystyle d ^ { mathrm {th}}}$ циклотомический многочлен и d пробегает делители п. За п премьер

${ Displaystyle Phi _ {p} (x) = sum _ {i = 0} ^ {p-1} x ^ {i},}$

который имеет ожидаемую форму повторного объединения, когда Икс заменяется на б.

Например, 9 делится на 3, и поэтому р₉ делится на р₃- на самом деле 111111111 = 111 · 1001001. Соответствующие циклотомические многочлены ${ Displaystyle Phi _ {3} (х)}$ и ${ Displaystyle Phi _ {9} (х)}$ находятся ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1}$ и ${ displaystyle x ^ {6} + x ^ {3} +1}$, соответственно. Таким образом, для р_п быть первоклассным, п обязательно должно быть простым, но этого недостаточно для п быть первоклассным. Например, р₃ = 111 = 3 · 37 не является простым. За исключением этого случая р₃, п может только разделить р_п для премьер п если п = 2кн +1 для некоторых k.

Десятичные числа с повторной единицей

р_п является основным для п = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (последовательность A004023 в OEIS ). р₄₉₀₈₁ и р₈₆₄₅₃ находятся наверное премьер. 3 апреля 2007 г. Харви Дубнер (кто также нашел р₄₉₀₈₁) объявил, что р₁₀₉₂₉₇ - вероятное простое число.^[3] Позже он объявил, что других из р₈₆₄₅₃ к р₂₀₀₀₀₀.^[4] 15 июля 2007 г. Максим Возный объявил р₂₇₀₃₄₃ быть вероятно главным,^[5] вместе с его намерением искать до 400000. По состоянию на ноябрь 2012 года все остальные кандидаты до р_2500000 были протестированы, но новых вероятных простых чисел пока не найдено.

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел для повторного объединения.^[6] и они, кажется, происходят примерно так же часто, как теорема о простых числах предсказал бы: показатель степени N-ое простое число повторного объединения обычно составляет фиксированное кратное степени числа (N−1) тыс.

Первичные репединицы - это тривиальное подмножество перестановочные простые числа, т.е. простые числа, которые остаются простыми после любого перестановка их цифр.

Особые свойства

• Остальная часть р_п по модулю 3 равен остатку от п по модулю 3. Использование 10^а ≡ 1 (mod 3) для любого а ≥ 0,
  п ≡ 0 (мод 3) ⇔ р_п ≡ 0 (мод 3) ⇔ р_п ≡ 0 (мод р₃),
  п ≡ 1 (мод. 3) ⇔ р_п ≡ 1 (мод. 3) ⇔ р_п ≡ р₁ ≡ 1 (мод р₃),
  п ≡ 2 (мод 3) ⇔ р_п ≡ 2 (мод 3) ⇔ р_п ≡ р₂ ≡ 11 (мод р₃).
  Следовательно, 3 | п ⇔ 3 | р_п ⇔ р₃ | р_п.
• Остальная часть р_п по модулю 9 равен остатку от п по модулю 9. Использование 10^а ≡ 1 (mod 9) для любых а ≥ 0,
  п ≡ р (мод 9) ⇔ р_п ≡ р (мод 9) ⇔ р_п ≡ р_р (мод р₉),
  для 0 ≤ р < 9.
  Следовательно, 9 | п ⇔ 9 | р_п ⇔ р₉ | р_п.

Базовые 2-е простые числа

Простые числа перегруппировки с основанием 2 называются Простые числа Мерсенна.

Базовые 3 числа перегруппировки

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 3:

13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 (последовательность A076481 в OEIS ),

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... (последовательность A028491 в OEIS ).

Базовые 4-е простые числа

Единственное простое число повторного объединения по основанию 4 - 5 (${ displaystyle 11_ {4}}$). ${ Displaystyle 4 ^ {n} -1 = влево (2 ^ {n} +1 вправо) влево (2 ^ {n} -1 вправо)}$, а 3 всегда делит ${ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ когда п это странно и ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ когда п даже. За п больше 2, оба ${ displaystyle 2 ^ {n} +1}$ и ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ больше 3, поэтому удаление множителя 3 по-прежнему оставляет два множителя больше 1. Следовательно, число не может быть простым.

Базовые 5 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 5:

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 (последовательность A086122 в OEIS ),

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... (последовательность A004061 в OEIS ).

Базовые 6 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 6:

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 13373306381825434933550177959008146042301341625806040753185772075518818574419699 последовательность A165210 в OEIS ),

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... (последовательность A004062 в OEIS ).

Базовые 7 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 7:

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

5, 13, 131, 149, 1699, ... (последовательность A004063 в OEIS ).

Базовые 8-кратные простые числа

Единственное простое число с основанием-8 - это 73 (${ displaystyle 111_ {8}}$). ${ displaystyle 8 ^ {n} -1 = left (4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1 right) left (2 ^ {n} -1 right)}$и 7 делит ${ displaystyle 4 ^ {n} + 2 ^ {n} +1}$ когда п не делится на 3 и ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ когда п делится на 3.

Базовые 9 повторных простых чисел

Простые числа с основанием-9 не используются. ${ displaystyle 9 ^ {n} -1 = left (3 ^ {n} +1 right) left (3 ^ {n} -1 right)}$, и оба ${ displaystyle 3 ^ {n} +1}$ и ${ displaystyle 3 ^ {n} -1}$ четные и больше 4.

Базовые 11 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения с основанием 11:

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... (последовательность A005808 в OEIS ).

Базовые 12 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения по основанию 12:

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (последовательность A004064 в OEIS ).

Базовые 20 повторных простых чисел

Первые несколько простых чисел повторения по основанию 20:

421, 10778947368421, 689852631578947368421

соответствующий ${ displaystyle n}$ из

3, 11, 17, 1487, ... (последовательность A127995 в OEIS ).

Базы ${ displaystyle b}$ такой, что ${ Displaystyle R_ {p} (б)}$ является простым для простого ${ displaystyle p}$

Наименьшая база ${ displaystyle b}$ такой, что ${ Displaystyle R_ {p} (б)}$ простое (где ${ displaystyle p}$ это ${ displaystyle n}$й простое число) являются

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ... (последовательность A066180 в OEIS )

Наименьшая база ${ displaystyle b}$ такой, что ${ displaystyle R_ {p} (- b)}$ простое (где ${ displaystyle p}$ это ${ displaystyle n}$й простое число) являются

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (последовательность A103795 в OEIS )

${ displaystyle p}$	базы ${ displaystyle b}$ такой, что ${ Displaystyle R_ {p} (б)}$ простое (перечисляет только положительные основания)	OEIS последовательность
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	A162862
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	A217070
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

Список базовых чисел повторного объединения ${ displaystyle b}$

Наименьшее простое число ${ displaystyle p> 2}$ такой, что ${ Displaystyle R_ {p} (б)}$ простое (начинаются с ${ displaystyle b = 2}$, 0 если таких нет ${ displaystyle p}$ существуют)

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, .. . (последовательность A128164 в OEIS )

Наименьшее простое число ${ displaystyle p> 2}$ такой, что ${ displaystyle R_ {p} (- b)}$ простое (начинаются с ${ displaystyle b = 2}$, 0 если таких нет ${ displaystyle p}$ существует, вопросительный знак, если этот термин в настоящее время неизвестен)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37,?, 19, 7, 3, .. . (последовательность A084742 в OEIS )

${ displaystyle b}$	числа ${ displaystyle n}$ такой, что ${ Displaystyle R_ {п} (б)}$ простое (некоторые большие члены соответствуют только вероятные простые числа, эти ${ displaystyle n}$ проверены до 100000)	OEIS последовательность
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2*, 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
−45	103, 157, 37159, ...	A309412
−44	2*, 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, ...	A185230
−32	2* (нет других)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(никто)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
−8	2* (нет других)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2*, 3 (других нет)
−3	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ...	A007658
−2	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (других нет)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (других нет)
9	(никто)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (других нет)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(никто)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (других нет)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, ...	A128002
32	(никто)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, ...
36	2 (других нет)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(никто)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* Реповиты с отрицательной базой и даже п отрицательны. Если их абсолютное значение простое, они включены выше и отмечены звездочкой. Они не включены в соответствующие последовательности OEIS.

Для получения дополнительной информации см.^{[7][8][9][10]}

Факторизация алгебры обобщенных чисел повторения

Если б это идеальная сила (можно записать как м^п, с м, п целые числа, п > 1) отличается от 1, то в base-б. Если п это основная сила (можно записать как п^р, с п премьер р целое число п, р > 0), то все репединицы в базу-б не главные кроме р_п и р₂. р_п может быть простым или составным, предыдущие примеры, б = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 и т.д., последние примеры, б = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 и т. Д., и р₂ может быть простым (когда п отличается от 2) только если б отрицательно, степень −2, например, б = −8, −32, −128, −8192 и т. Д., Фактически р₂ также может быть составным, например, б = −512, −2048, −32768 и т. Д. Если п не основная сила, то нет базы-б существует повторное объединение, например, б = 64, 729 (с п = 6), б = 1024 (с п = 10), и б = −1 или 0 (с п любое натуральное число). Другая особая ситуация б = −4k⁴, с k положительное целое число, которое имеет авериллева факторизация, Например, б = −4 (с k = 1, тогда р₂ и р₃ простые числа), и б = −64, −324, −1024, −2500, −5184, ... (с k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), то без основания-б перегруппировать премьер существует. Также предполагается, что когда б не является ни идеальной степенью, ни −4k⁴ с k положительное целое число, то существует бесконечное множество базовых-б объединить простые числа.

Обобщенная гипотеза о воссоединении

Гипотеза, связанная с обобщенными простыми числами перегруппировки:^[11][12] (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна, если гипотеза верна, то существует бесконечно много перегруппированных простых чисел для всех оснований ${ displaystyle b}$)

Для любого целого числа ${ displaystyle b}$, который удовлетворяет условиям:

1. ${ displaystyle | b |> 1}$.
2. ${ displaystyle b}$ это не идеальная сила. (с тех пор как ${ displaystyle b}$ идеальный ${ displaystyle r}$-я степень, можно показать, что существует не более одного ${ displaystyle n}$ ценность такая, что ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ простое, и это ${ displaystyle n}$ ценность ${ displaystyle r}$ сам или корень из ${ displaystyle r}$)
3. ${ displaystyle b}$ не в форме ${ displaystyle -4k ^ {4}}$. (если да, то в номере авериллева факторизация )

имеет обобщенные простые числа повторного объединения вида

${ displaystyle R_ {p} (b) = { frac {b ^ {p} -1} {b-1}}}$

для премьер ${ displaystyle p}$, простые числа будут распределены рядом с наиболее подходящей линией

${ displaystyle Y = G cdot log _ {| b |} left ( log _ {| b |} left (R _ {(b)} (n) right) right) + C,}$

где предел ${ Displaystyle п rightarrow infty}$, ${ displaystyle G = { frac {1} {e ^ { gamma}}} = 0,561459483566 ...}$

и есть около

${ displaystyle left ( log _ {e} (N) + m cdot log _ {e} (2) cdot log _ {e} { big (} log _ {e} (N) { big)} + { frac {1} { sqrt {N}}} - delta right) cdot { frac {e ^ { gamma}} { log _ {e} (| b | )}}}$

основание-б объединить простые числа меньше чем N.

• ${ displaystyle e}$ это основание натурального логарифма.
• ${ displaystyle gamma}$ является Константа Эйлера – Маскерони.
• ${ displaystyle log _ {| b |}}$ это логарифм в основание ${ displaystyle | b |}$
• ${ Displaystyle R _ {(b)} (п)}$ это ${ displaystyle n}$-ое общее число повторных единиц в базеб (с начальным п)
• ${ displaystyle C}$ константа соответствия данных, которая изменяется в зависимости от ${ displaystyle b}$.
• ${ displaystyle delta = 1}$ если ${ displaystyle b> 0}$, ${ displaystyle delta = 1,6}$ если ${ displaystyle b <0}$.
• ${ displaystyle m}$ - наибольшее натуральное число такое, что ${ displaystyle -b}$ это ${ Displaystyle 2 ^ {м-1}}$-я мощность.

У нас также есть следующие 3 объекта недвижимости:

1. Количество простых чисел вида ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ (с начальным ${ displaystyle p}$) меньше или равно ${ displaystyle n}$ около ${ displaystyle e ^ { gamma} cdot log _ {| b |} { big (} log _ {| b |} (n) { big)}}$.
2. Ожидаемое количество простых чисел вида ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ с премьер ${ displaystyle p}$ между ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle | b | cdot n}$ около ${ displaystyle e ^ { gamma}}$.
3. Вероятность того, что номер формы ${ displaystyle { frac {b ^ {n} -1} {b-1}}}$ простое (для простого ${ displaystyle p}$) около ${ displaystyle { frac {e ^ { gamma}} {p cdot log _ {e} (| b |)}}}$.

История

Хотя в то время они не были известны под этим названием, репединицы по основанию 10 изучались многими математиками в течение девятнадцатого века в попытке разработать и предсказать циклические модели повторяющиеся десятичные дроби.^[13]

Очень рано было обнаружено, что для любого прайма п больше 5, период десятичного разложения 1 /п равна длине наименьшего числа повторных объединений, которое делится на п. Таблицы периода обратности простых чисел до 60000 были опубликованы к 1860 году и позволили факторизация такими математиками, как Reuschle, всех объединений до р₁₆ и многие другие. К 1880 году даже р₁₇ к р₃₆ был учтен^[13] и любопытно, что хотя Эдуард Лукас не показал простых чисел ниже трех миллионов. 19 До начала двадцатого века не было попыток проверить какое-либо объединение на первичность. Американский математик Оскар Хоппе доказал р₁₉ быть премьер-министром в 1916 году^[14] и Лемер и Крайчик независимо друг от друга обнаружили р₂₃ быть премьер-министром в 1929 году.

Дальнейшие успехи в изучении повторных объединений не происходили до 1960-х годов, когда компьютеры позволили найти множество новых факторов повторных объединений и исправить пробелы в более ранних таблицах простых периодов. р₃₁₇ оказался вероятный прайм около 1966 года и был признан лучшим одиннадцатью годами позже, когда р₁₀₃₁ было показано, что это единственное возможное объединение простых чисел с числом знаков меньше десяти тысяч. Он был признан лучшим в 1986 году, но поиски новых основных единиц в следующем десятилетии постоянно терпели неудачу. Тем не менее, в области обобщенных повторных единиц произошли важные побочные разработки, которые привели к появлению большого количества новых простых и вероятных простых чисел.

С 1999 года было обнаружено еще четыре, вероятно, основных подразделения, но маловероятно, что какое-либо из них окажется основным в обозримом будущем из-за их огромных размеров.

В Каннингем проект пытается задокументировать целочисленные факторизации (среди других чисел) повторных единиц по основанию 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 и 12.

Номера Демло

Д. Р. Капрекар определил числа Демло как конкатенацию левой, средней и правой части, где левая и правая части должны быть одинаковой длины (до возможного ведущего нуля слева) и должны составлять число повторных цифр, а средняя часть может содержать любое дополнительное число этой повторяющейся цифры.^[15] Они названы в честь Демло железнодорожной станции в 30 милях от Бомбея на тогдашней G.I.P. Железнодорожный, где Капрекар начал их расследование. Замечательные числа Демло имеют форму 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Тот факт, что это квадраты репединиц, побудил некоторых авторов называть числа Демло бесконечной последовательностью этих^[16], 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (последовательность A002477 в OEIS ), хотя можно проверить, что это не числа Демло для п = 10, 19, 28, ...

Смотрите также

• Все один многочлен - Еще одно обобщение
• Гипотеза Гурмагтиха
• Повторяющаяся десятичная дробь
• Repdigit
• Wagstaff Prime - можно рассматривать как повторное объединение простых чисел с отрицательная база ${ displaystyle b = -2}$

Сноски

Примечания

Рекомендации

Рекомендации

• Бейлер, Альберт Х. (2013) [1964], Развлечение в теории чисел: королева математики развлекает, Dover Recreational Math (2-е пересмотренное издание), New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-21096-4
• Диксон, Леонард Юджин; Кресс, Г. (1999-04-24), История теории чисел, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2-е переиздание), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN  978-0-8218-1934-0
• Фрэнсис, Ричард Л. (1988), "Математические стога сена: еще один взгляд на числа повторного объединения", Математический журнал колледжа, 19 (3): 240–246
• Гунджикар, К.; Капрекар, Д. (1939), «Теория чисел Демло» (PDF), Журнал Бомбейского университета, VIII (3): 3–9
• Капрекар, Д. (1938), «О чудесных числах Демло», Студент-математик, 6: 68
• Капрекар, Д. (1938), "Числа Демло", J. Phys. Sci. Univ. Бомбей, VII (3)
• Капрекар, Д. (1948), Номера Демло, Девлали, Индия: Khareswada
• Рибенбойм, Пауло (1996-02-02), Новая книга рекордов простых чисел, Компьютеры и медицина (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-94457-9
• Йетс, Сэмюэл (1982), Объединяет и повторяет, Флорида: Делрей-Бич, ISBN  978-0-9608652-0-8

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Репюнит". MathWorld.
• Основные таблицы из Каннингем проект.
• Repunit в Прайм Страницы Криса Колдуэлла.
• Repunits и их основные факторы в Мир! Чисел.
• Основные обобщенные репутации не менее 1000 десятичных цифр Энди Стюарда
• Проект Repunit Primes Страница повторного объединения Джованни Ди Марии.
• Наименьшее нечетное простое число p такое, что (b ^ p-1) / (b-1) и (b ^ p + 1) / (b + 1) является простым для оснований 2 <= b <= 1024
• Факторизация чисел повторных единиц
• Обобщенные простые числа повторной единицы с основанием от -50 до 50