Шестиугольное число - Hexagonal number

А шестиугольное число это фигуральное число. В пгексагональное число час_п это количество отчетливый точек в узор из точек, состоящих из очертания правильных шестиугольников со сторонами до n точек, когда шестиугольники наложены так, что они разделяют один вершина.

Формула для пгексагональное число

${ displaystyle h_ {n} = 2n ^ {2} -n = n (2n-1) = { frac {2n (2n-1)} {2}}.}$

Первые несколько шестиугольных чисел (последовательность A000384 в OEIS ) находятся:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Каждое шестиугольное число - это треугольное число, но только каждый Другой треугольное число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е и т. д.) - это шестиугольное число. Подобно треугольному числу цифровой корень в основании 10 гексагонального числа может быть только 1, 3, 6 или 9. Шаблон цифрового корня, повторяющийся каждые девять членов, - «1 6 6 1 9 3 1 3 9».

Каждый даже идеальное число гексагонален, задаваемый формулой

${ Displaystyle M_ {p} 2 ^ {p-1} = M_ {p} { frac {M_ {p} +1} {2}} = h _ {(M_ {p} +1) / 2} = h_ {2 ^ {p-1}}}$

куда M_п это Мерсенн прайм. Нечетные совершенные числа неизвестны, поэтому все известные совершенные числа шестиугольные.

Например, 2-е гексагональное число 2 × 3 = 6; 4-й - 4 × 7 = 28; 16-е - 16 × 31 = 496; а 64-й - 64 × 127 = 8128.

Наибольшее число, которое нельзя записать как сумму не более четырех шестиугольных чисел, - это 130. Адриан-Мари Лежандр в 1830 г. доказал, что любой целое число таким образом можно выразить больше 1791.

Шестиугольные числа не следует путать с центрированные шестиугольные числа, которые моделируют стандартную упаковку Венские сосиски. Чтобы избежать двусмысленности, гексагональные числа иногда называют «гексагональными числами с загнутыми углами».

Тест на гексагональные числа

Можно эффективно проверить, действительно ли положительное целое число Икс гексагональное число путем вычисления

${ displaystyle n = { frac {{ sqrt {8x + 1}} + 1} {4}}.}$

Если п целое число, тогда Икс это пгексагональное число. Если п не является целым числом, тогда Икс не шестиугольный.

Другие свойства

Выражение с использованием сигма-нотации

В п-й номер гексагональной последовательности также можно выразить с помощью Обозначение сигмы в качестве

${ displaystyle h_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n-1} {(4k + 1)}}$

где пустая сумма принимается равным 0.

Сумма обратных шестиугольных чисел

Сумма обратных шестиугольных чисел равна 2лн (2). пер является Натуральный логарифм.

${ Displaystyle { begin {align} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (2k-1)}} & = lim _ {n to infty} 2 sum _ {k = 1} ^ {n} left ({ frac {1} {2k-1}} - { frac {1} {2k}} right) & = lim _ {n to infty} 2 sum _ {k = 1} ^ {n} left ({ frac {1} {2k-1}} + { frac {1} {2k}} - { frac {1 } {k}} right) & = 2 lim _ {n to infty} left ( sum _ {k = 1} ^ {2n} { frac {1} {k}} - sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} right) & = 2 lim _ {n to infty} sum _ {k = 1} ^ {n } { frac {1} {n + k}} & = 2 lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {1 + { frac {k} {n}}}} & = 2 int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1 + x}} dx & = 2 [ ln (1 + x)] _ {0} ^ {1} & = 2 ln {2} & приблизительно {1.386294} end {выровнено}}}$

Шестиугольное квадратное число

Последовательность чисел, состоящих одновременно из шестиугольников и полных квадратов, начинается с 1, 1225, 1413721, ... OEIS: A046177.

Смотрите также

• Центрированное шестиугольное число

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольное число». MathWorld.